高中數(shù)學(xué)立體幾何中軌跡問(wèn)題探析

劉正煥

摘要：數(shù)學(xué)，是高中教學(xué)里一個(gè)重要的科目，也是高考中的重點(diǎn)科目，而立體幾何，是高中數(shù)學(xué)里一個(gè)重要的部分，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)里的連接線，掌握立體幾何，對(duì)于學(xué)生整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果都有很大的影響?；诖?，本文以軌跡問(wèn)題為角度，結(jié)合幾種典型的軌跡類型題，來(lái)分析高中數(shù)學(xué)立體幾何的教學(xué)策略與方案，淺談本人學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的思考與探究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);立體幾何;軌跡問(wèn)題;教學(xué)策略

引言：

求立體幾何里的圖形軌跡，是中學(xué)里的一個(gè)難點(diǎn)，也是高中的一個(gè)重點(diǎn)，這部分知識(shí)點(diǎn)是幫助學(xué)生們建立空間幾何概念、解析幾何理念的關(guān)鍵，它融合了立體幾何和解析幾何的知識(shí)點(diǎn)，在做這部分類型題目的時(shí)候，需要學(xué)生們發(fā)揮自己的空間想象力和理解力，發(fā)散自己的思維，運(yùn)用以往學(xué)習(xí)過(guò)的圖形知識(shí)、代數(shù)知識(shí)等綜合知識(shí)來(lái)探索幾何軌跡，從而有效的解答題目。這部分知識(shí)點(diǎn)雖然是高中的冷門知識(shí)，但是教師也不能忽視該部分的教學(xué)，因此，數(shù)學(xué)教師必須要幫助高中生理解軌跡問(wèn)題的解題思路和解題手段，提升解題正確率。本文以幾種不同的幾何軌跡問(wèn)題類型展開(kāi)探索，提供給教師教學(xué)參考。

一、軌跡為點(diǎn)的類型題

軌跡為點(diǎn)的類型題，是立體幾何軌跡問(wèn)題中一個(gè)典型的題目，該類型題主要考驗(yàn)學(xué)生們的軌跡構(gòu)建能力、空間思維。

例如：已知平面，直線l在α上，點(diǎn)，平面α和β兩個(gè)之間的距離為8，那么請(qǐng)問(wèn)直線β到P點(diǎn)之間距離應(yīng)該為10并且到l距離是9的軌跡，應(yīng)該是什么圖形（ ）

A.一個(gè)圓形B.2個(gè)點(diǎn)C.3個(gè)點(diǎn)D.4個(gè)點(diǎn)

分析：在做這個(gè)題目的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生們先將已知的條件和問(wèn)題繪畫(huà)在一個(gè)圖形里，將關(guān)鍵的點(diǎn)在圖中標(biāo)出，以此來(lái)方便學(xué)生思考和分析，如圖1所示。之后再讓學(xué)生們看圖分析，假設(shè)圖中的Q點(diǎn)為平面β內(nèi)一個(gè)會(huì)移動(dòng)的點(diǎn)，平面β和直線l的相交點(diǎn)為G點(diǎn)，連接MG，設(shè)置為l'，因?yàn)镼P的長(zhǎng)度為10，所以O(shè)Q的長(zhǎng)度根據(jù)計(jì)算得出為6。點(diǎn)Q在圓0以內(nèi)，而圓O的半徑為6。教師引導(dǎo)學(xué)生們通過(guò)點(diǎn)Q做直線，要求QM⊥l'，垂直點(diǎn)為M。又因?yàn)楦鶕?jù)題目可以看出，Q帶你到直線l'距離為9，所以QM由公式計(jì)算出為。所以，Q點(diǎn)和直線l'的直線距離在的兩條平行線上。因此得出，平行線和圓有四個(gè)交點(diǎn)，所以題目的答案為4個(gè)點(diǎn)。

結(jié)論：該題目，是典型的根據(jù)線面知識(shí)點(diǎn)和軌跡，判斷交點(diǎn)數(shù)目的題目，以空間圖形為角度，用更直觀的形式將立體圖形的知識(shí)和問(wèn)題進(jìn)行展示，借助平面的知識(shí)點(diǎn)解決軌跡問(wèn)題，教師在引導(dǎo)學(xué)生們解析該題目的時(shí)候，要學(xué)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生熟悉的判斷平面幾何點(diǎn)的軌跡，并通過(guò)作圖的形式，輔助自己的解答和分析，讓題目解答更加直觀和形象。

本題目為軌跡為點(diǎn)的典型類型題，教師可以讓學(xué)生通過(guò)本題的練習(xí)，學(xué)會(huì)舉一反三，滲透立體幾何的解題思路，幫助學(xué)生懂得如何有效的判斷軌跡的交點(diǎn)數(shù)目，提升對(duì)軌跡部分知識(shí)的理解，加強(qiáng)立體幾何概念架構(gòu)。

二、軌跡為線段的類型題

軌跡為線段的題目，是初中立體幾何和高中立體幾何里常見(jiàn)的軌跡類型題，該部分知識(shí)點(diǎn)相對(duì)而言主要考驗(yàn)學(xué)生們的作圖能力、觀察能力。

例如：如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1里，已知P點(diǎn)是在BCC1B1和邊界圖形上運(yùn)動(dòng)，除此之外，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中，一直保持著AP線段垂直BD1線段，那么請(qǐng)問(wèn)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的軌跡圖形是（ ）

A.線段B1BC

B.線段C1B

C.線段B1B中點(diǎn)和線段C1C中點(diǎn)所組成的線段

D.線段CB的中點(diǎn)和線段B1C1的中點(diǎn)所組成的線段

分析：在解答本題的時(shí)候，教師為了方便學(xué)生們理解和分析，可以引導(dǎo)學(xué)生們將已知條件串聯(lián)。鏈接B1A、AC、B1C組成三個(gè)線段，求證明出AB1⊥與面BA1D，所以可以得出，AB1⊥BD1，并通過(guò)同樣的方式，證明出AC⊥D1B，CB1⊥D1B。通過(guò)三個(gè)垂直可以推出，線段D1B會(huì)和面CA1B所垂直，若，那么AP會(huì)包含于AB1C中，所以可以得出BD1⊥AP，最終得出點(diǎn)P的軌跡是線段CB1。那么本道題選擇的答案為A。

結(jié)論：在完成本題目的解答的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生們學(xué)會(huì)對(duì)線段軌跡的概念進(jìn)行回顧，通過(guò)線面垂直，線線垂直的知識(shí)推出一些結(jié)論，得出P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而解答題目。

又例如：已知題目中圓錐的軸截對(duì)應(yīng)的面積是長(zhǎng)度為3的等邊三角形，點(diǎn)O是圓錐的底部中心點(diǎn)，M點(diǎn)為OS的中點(diǎn)，點(diǎn)P在圓錐的底面上運(yùn)動(dòng)，已知MA⊥PM，那么請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為多少？

分析：同樣的，在分析這道題目的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行詳細(xì)的探究，強(qiáng)調(diào)題目中的文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，將已知信息突出標(biāo)注，了解題目的已知條件，學(xué)會(huì)連接線段，過(guò)M點(diǎn)做AM的垂直線段，與BA的交點(diǎn)為點(diǎn)C，之后通過(guò)C在做出對(duì)應(yīng)的線段，總結(jié)出AM⊥面MDE，通過(guò)線面垂直的性質(zhì)，得出P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，在設(shè)置AD單位1，推斷出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，得出本題目的結(jié)論，提升學(xué)生們的線段軌跡解題方法和技巧。

軌跡問(wèn)題中，教師要引導(dǎo)學(xué)生們將這些語(yǔ)言進(jìn)行熟練的分析和使用，并進(jìn)行準(zhǔn)確的描述。在做立體幾何軌跡問(wèn)題的題目時(shí)，可以將命題中的文字語(yǔ)言提出來(lái)，然后聯(lián)想出圖形語(yǔ)言，最后形成符號(hào)語(yǔ)言，反映在題目的證明及計(jì)算上。在日常教學(xué)中，在證明相關(guān)問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將相應(yīng)的依據(jù)和理論知識(shí)寫(xiě)出來(lái)，保障立體幾何解題邏輯更加嚴(yán)密，軌跡的證明更加合理。將一層一層的推理關(guān)系和層次闡述清楚，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言使用的盡可能恰當(dāng)，以此來(lái)提升學(xué)生們的軌跡問(wèn)題解題正確率和效率，幫助學(xué)生鞏固該部分知識(shí)點(diǎn)

三、軌跡為直線的類型題

直線類型的軌跡問(wèn)題，是高考中常見(jiàn)的軌跡題目，掌握該類型題的解答方法，是學(xué)生們的立體幾何學(xué)習(xí)重點(diǎn)，這部分的知識(shí)點(diǎn)考核內(nèi)容相對(duì)而言比較廣泛，需要學(xué)生們有開(kāi)拓的思維和解題邏輯，才能夠準(zhǔn)確的解答題目。

例如，在北京的高考題目中曾經(jīng)出過(guò)一題：如圖3所示，AB是平面α的一條斜的線段，A是斜的線段的斜足，一直通過(guò)B點(diǎn)做出直線l，直線l和AB線段是垂直的關(guān)系，那么請(qǐng)問(wèn)，題目中直線l和平面α交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的軌跡是什么圖形？（ ）

A.圓B.圓錐C.一條直線D.一條線段

分析：在做該題目的時(shí)候，教師可以讓學(xué)生們分析題目的已知條件，通過(guò)已知條件可以看出直線l所對(duì)應(yīng)的軌跡，主要是和B點(diǎn)有關(guān)，并且已知BA直線是垂直于平面的，那么可以通過(guò)線面垂直的性質(zhì)推出交點(diǎn)的形狀為一條直線，所以本題目的答案為C。

結(jié)論：本課題主要考驗(yàn)的是學(xué)生們對(duì)性質(zhì)的掌握程度。在引導(dǎo)學(xué)生們解答該題目的時(shí)候，可以幫助學(xué)生鞏固現(xiàn)有的軌跡問(wèn)題的理論概念和相關(guān)性質(zhì)。高中立體幾何的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)比較抽象，需要學(xué)生們?cè)诶斫獾臅r(shí)候運(yùn)用一點(diǎn)的技巧，如將理論知識(shí)和立體圖形所結(jié)合，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單和直觀，有效的掌握知識(shí)點(diǎn)所反映和表達(dá)的內(nèi)容。要學(xué)習(xí)立體幾何，特別是立體幾何的軌跡問(wèn)題，就需要學(xué)生們掌握解題的方法和技巧，學(xué)會(huì)對(duì)立體幾何的理論知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用，如立體圖形的性質(zhì)、立體幾何各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而逐步構(gòu)建自己的立體幾何知識(shí)體系，然后將立體幾何的知識(shí)點(diǎn)和其他知識(shí)進(jìn)行融匯，方便學(xué)生解答軌跡問(wèn)題。最后，在開(kāi)展立體幾何教學(xué)時(shí)，教師要為學(xué)生灌輸立體幾何概念，布置與幾何概念有關(guān)的類型題，讓學(xué)生們?cè)诓粩嗟木毩?xí)中總結(jié)軌跡問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)對(duì)同種類型題目進(jìn)行舉一反三。

四、軌跡為雙曲線的類型題

雙曲線的軌跡類型題，相對(duì)而言難度有一定的提升，在高考題目中，也是一種重點(diǎn)提醒。

例如，重慶市的2010年高考題目：已知，在兩個(gè)相互垂直的不同的面上的直線里，已知兩個(gè)直線的距離相等的位置有一個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)，經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)和其中一條直線，并且會(huì)平行于另外一條直線的軌跡圖形是什么樣的？

A.圓形B.線段C.雙曲線D.圓錐

分析：在引導(dǎo)學(xué)生們解答本題目的時(shí)候，教師可以讓學(xué)生們對(duì)題目中的圖形進(jìn)行建模，按照正方形的底和高建立一個(gè)坐標(biāo)軸，針對(duì)坐標(biāo)軸展開(kāi)后續(xù)的分析。在邊長(zhǎng)為α的正方體內(nèi)，可以得出CD和A1D1線段是兩個(gè)互相垂直的不同面上的線段，而題目中的平面ABCD，是經(jīng)過(guò)CD線并且和A1D1互相平行的面。因此，教師讓學(xué)生們以正方體的D點(diǎn)作為坐標(biāo)軸的中心點(diǎn)，DA作為坐標(biāo)軸的x軸，CD作為坐標(biāo)軸的y軸，建立一個(gè)空間坐標(biāo)軸。將動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)設(shè)置為坐標(biāo)軸內(nèi)移動(dòng)的一點(diǎn)，并且到CD與A1D1線段的距離都是相同的，那么可以得出坐標(biāo)軸的曲線公式：x2-y2=a2，所以軌跡的圖形形狀為雙曲線，本題選擇C。

分析：在解答本題目的時(shí)候，教師引入了一個(gè)新的解題思路和方法，“建立空間直角坐標(biāo)系”，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，讓立體幾何中的點(diǎn)、線段，都有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，便于學(xué)生探索問(wèn)題，提升學(xué)生們的空間思維和空間理念，方便學(xué)生們展開(kāi)后續(xù)的分析和解答，讓學(xué)生們有效的判斷軌跡的形狀和數(shù)據(jù)。

五、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，高中立體幾何中的軌跡問(wèn)題，一直是同學(xué)們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是高考中的常見(jiàn)題型，作為高中數(shù)學(xué)教師，要認(rèn)真的分析軌跡問(wèn)題的命題類型、解題方法，結(jié)合學(xué)生們的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)狀況，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方案。在實(shí)際的教學(xué)里，教師可以根據(jù)題目的類型，將軌跡問(wèn)題進(jìn)行分類，針對(duì)不同的類型為學(xué)生們展開(kāi)不同的教學(xué)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和掌握同一類型的問(wèn)題應(yīng)該采用何種思路和方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)舉一反三的教學(xué)效果，有效的提升學(xué)生的空間幾何思維和理念，提高軌跡問(wèn)題的學(xué)習(xí)效果和質(zhì)量。

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