基于強混樣本的帶偏差密度模型的小波估計

崔凱利， 寇俊克

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

在實際問題中，由于噪聲的存在，無法獲得真實的測量數(shù)據(jù)，只能獲取含有偏差的數(shù)據(jù)。考慮基于強混樣本的帶偏差密度估計模型，即對m∈{1,2，…,M}，隨機變量Ym,1,Ym,2,…,Ym,nm是同分布且強混的，其密度函數(shù)為

(1)

針對上述模型，利用小波方法構(gòu)造了線性小波估計器，并在積分均方誤差意義下討論該估計器的收斂階。

1 小波估計器

為了構(gòu)造小波估計器，首先引入多分辨率分析。

定義1平方可積函數(shù)空間L2(R)的一個多分辨率分析(multiresolution analysis，簡稱MRA)[5-6]是指一列線性閉子空間{Vj}j∈Z滿足以下條件：

1)單調(diào)性：Vj?Vj+1,?j∈Z;

3)伸縮性：f(y)∈V0?f(2jy)∈Vj,?j∈Z;

4)基的存在性：存在φ∈L2(R)，使得{φ(y-k)}k∈Ζ為V0的標準正交基，其中φ為該MRA對應(yīng)的尺度函數(shù)。

另外，對任意f∈L2(R)且suppf=[0,1]，

其中，Λ={k∈Ζ,suppf∩suppφj0,k≠?}，Λj={k∈Ζ,suppf∩suppψj,k≠?}，αj0,k=〈f,φj0,k〉，βj,k=〈f,ψj,k〉。選取Daubechies小波[7]D2 N，其中suppφ=[0,2N-1]，suppψ=[-N+1,N]。由于f與φ都具有緊支性，易得集合Λ的基數(shù)|Λ|～2j0，集合Λj的基數(shù)|Λj|～2j。設(shè)AB表示A≤cB，c>0為某一常數(shù)，A?B表示BA，A～B表示AB且BA。

小波作為L2(R)的一組標準正交基，還可以用來刻畫Besov空間。

引理1[6]設(shè)φ為m(m>s>0)階正則的尺度函數(shù)，且ψ為相應(yīng)的小波函數(shù)，若f∈Lp(R)(1≤p≤∞)，則

2){2js‖Pjf-f‖p}j≥0∈lq，

在非參數(shù)估計問題中，通常假定

其中常數(shù)H>0。

定義2[8]對正整數(shù)k，嚴平穩(wěn)隨機過程{Yi,i∈Z}的k階強混系數(shù)定義為

在構(gòu)造小波估計器前，還需對模型作以下假設(shè)：

H2：存在一個常數(shù)c3>0，使得f(y)有正的上界，即0

H3：對任意k∈Z，強混系數(shù)滿足α(k)≤γe-c|k|θ,其中γ>0,c>0,θ>0。

H4：對任意m∈{1,2，…,M}及i∈{1,2，…,nm}，設(shè)(Ym,1,Ym,i+1)的密度函數(shù)為g(Ym,1,Ym,i+1)，則存在c4>0，使得

|g(Ym,1,Ym,i+1)(y,y′)-g(y)g(y′)|≤c4。

H1在帶偏差密度估計模型中是必不可少的[1-4]，H3、H4可以看作是對隨機變量強混的不同表述[9-10]。

線性小波估計器

(2)

其中：

(3)

(4)

2 2個引理

引理2針對密度估計模型(1)，

仿真中A相勵磁涌流第1個波峰峰值為231 A，實測中A相勵磁涌流第1個波峰峰值為218 A，仿真相對實測誤差僅為6%。此外，兩者波形變化趨勢保持高度一致，充分證明了基于電壓積分法的剩磁評估方法和PSCAD變壓器飽和模型的可用性，以及所提剩磁施加方法的正確性，為變壓器合閘勵磁涌流評估以及主變壓器消磁效果評價提供了一種手段。

證明由于Ym,1,Ym,2,…,Ym,nm同分布，

根據(jù)式(1)可得

類似地，

引理3假設(shè)模型(1)滿足H1～H4，且2j≤nm，則

(5)

(6)

證明對于式(5)，由方差的性質(zhì)可得

(7)

依據(jù)式(1)和H1、H2，

(8)

因為Ym,1,Ym,2,…,Ym,nm是嚴平穩(wěn)，且2j≤nm，則不等式(7)的第2項可轉(zhuǎn)化為

首先估計T1。由H1、H4可得

|?(y,y′)∈[0,1]2(g(Ym,1,Ym,l+1)(y,y′)-g(y)g(y′))·

?(y,y′)∈[0,1]2|g(Ym,1,Ym,l+1)(y,y′)-g(y)g(y′)|·

因此，

(9)

估計T2。利用Davydov不等式(p=q=4)以及H1，則

進而，

(10)

聯(lián)合式(9)、(10)，不等式(7)右端第2項的上界為

再結(jié)合式(7)和(8)可得

對于式(6)，依據(jù)式(7)和H1可得

(11)

利用Davydov不等式(p=q=4)和H1可得

3 定理

證明由三角不等式知，

(12)

(13)

(14)

聯(lián)合式(13)和(14)可得

(15)

因此，對于1≤p<∞，式(15)恒成立。

(16)

另外，利用凹函數(shù)的性質(zhì)可知，

(17)

利用引理2和引理3可知，

(18)

即

聯(lián)合式(16)和(17)可得

4 結(jié)束語