基于輔助粒子濾波波動率估計算法

陳 影， 蔡如華， 楊 標(biāo)， 吳孫勇

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

金融資產(chǎn)收益波動性的準(zhǔn)確估計對投資組合管理、風(fēng)險管理和期權(quán)定價具有重要意義。到目前為止，人們已經(jīng)清楚地認(rèn)識到，波動既是時變的，在一定程度上也是可預(yù)測的。近年來，金融資產(chǎn)收益波動性估計的重要性和廣泛應(yīng)用使得波動率建模成為金融時間序列分析中一個非?；钴S的研究領(lǐng)域。常用的波動率建模方法是隨機波動(stochastic volatility，簡稱SV)模型[1]，但是傳統(tǒng)SV模型不適合于波動率迅速變化到一個新水平的情況。這就促使人們對其進行擴展，以利用高頻交易價格數(shù)據(jù)提供的額外波動信息。在高頻交易價格數(shù)據(jù)和已實現(xiàn)測度的背景下，許多學(xué)者對SV模型進行了擴展和廣泛研究，將已實現(xiàn)測度引入SV模型[2-4]。雖然現(xiàn)有SV模型引入了已實現(xiàn)測度，但是現(xiàn)有的研究較少綜合考慮波動率的非對稱性與長記憶性?；诖耍瑓泅斡萚5]綜合考慮了波動率的非對稱性和長記憶性，構(gòu)建了雙因子非對稱已實現(xiàn)隨機波動(two-factor asymmetric realized stochastic volatility，簡稱2FARSV)模型，該模型是SV模型的一個擴展，其在基本SV模型中引入了基于高頻數(shù)據(jù)構(gòu)建的已實現(xiàn)測度。雖然擴展后的SV模型能夠更好地利用高頻交易價格數(shù)據(jù)提供的額外波動信息，但由于高頻交易價格數(shù)據(jù)的非線性及非高斯，使得傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析方法在此種情況下無法很好地解決金融時間序列的相關(guān)問題。

目前，解決非線性非高斯問題的常用方法是粒子濾波[6]。粒子濾波是一種基于貝葉斯理論的估計方法，該方法通過一組采樣粒子逼近概率密度函數(shù)，并通過加權(quán)粒子的平均值得到最小方差的狀態(tài)估計。標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波采用序貫粒子采樣，可很好地適應(yīng)非線性系統(tǒng)。近年來，因粒子濾波在非線性非高斯問題估計中的優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域。張高煜等[7]采用粒子濾波技術(shù)對波動率進行估計和預(yù)測；Djuric等[8]提出了一種利用杠桿模型估計隨機波動率的粒子濾波方法。但由于標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波采用轉(zhuǎn)移密度作為重要性采樣密度，使得抽樣粒子在更新之后，似然度較小的粒子大量丟失，重采樣后的粒子集中于某幾種權(quán)重較大的粒子簇上，若一些模型在某些情況下是強非線性的，使得似然峰變化頻繁，隨著迭代的進行會導(dǎo)致濾波失敗[9]。鑒于此，提出了輔助粒子濾波波動率估計(auxiliary particle filter volatility estimation，簡稱APFVE)算法，相比于標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波，輔助粒子濾波利用當(dāng)前時刻的量測信息，考慮當(dāng)前時刻量測值的影響，進行二次采樣和二次權(quán)重計算，修正粒子的分布，使粒子向高似然區(qū)域移動，使得更新后的粒子權(quán)重更穩(wěn)定，其狀態(tài)估計值更接近于真實狀態(tài)。

1 雙因子非對稱已實現(xiàn)隨機波動(2FARSV)模型

由文獻[5]可知，雙因子非對稱已實現(xiàn)SV模型的形式為：

rt=μ+exp(θt/2)εt,θt=c+h1,t+h2,t,

εt～i.i.d.N(0,1)，t=1,2,…,T;

(1)

(2)

hj,t+1=φjhj,t+τj(εt)+ηj,t,

j=1,2,t=1,2,…,T-1；

(3)

(4)

其中：rt為t時刻的資產(chǎn)收益率；xt為t時刻的對數(shù)已實現(xiàn)測度；ht為均值調(diào)整的對數(shù)波動率，服從高斯一階自回歸過程；θt為對數(shù)波動率；φ為度量波動率的持續(xù)性參數(shù)，|φ|<1表示波動率過程是平穩(wěn)的；εt與ηt相互獨立，ut與εt、η1,t和η2,t均相互獨立。該模型在2個波動率因子過程式(3)中均引入了非對稱效應(yīng)函數(shù)τj(εt),假設(shè)其形式為：

τj(εt)=τj,1εt+τj,2(|εt|-E|εt|),

E(τi(εt))=0，

2 粒子濾波波動率估計算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波波動率估計算法

2.2 APFVE算法

雖然粒子濾波易于獲取和采樣，但是粒子濾波算法只從前一量測和狀態(tài)采樣，未考慮當(dāng)前時刻的量測值，也未考慮當(dāng)前框架中可用的粒子，這可能導(dǎo)致大量的低權(quán)重粒子丟失，最終導(dǎo)致較高的蒙特卡洛方差以及較差的濾波性能[12]。

輔助粒子濾波[13]以粒子濾波為基礎(chǔ)，引入了重要性密度函數(shù)q(ht,ik)，其中ik為上一時刻的粒子序列索引。2FARSV模型的APFVE算法實現(xiàn)步驟為：

3 仿真實驗

利用文獻[5]的真實參數(shù)值模擬資產(chǎn)收益率，參數(shù)向量的真實值為Θ=(0.001,-8.500,-0.500,0.080,0.980,0.030,0.080,0.020,0.400,-0.800,0.040,0.080)，將標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法和輔助粒子濾波算法分別用于2FARSV模型，對模擬得到的資產(chǎn)收益波動率進行估計。圖1為仿真模擬的1 000 d的資產(chǎn)收益時間序列，圖2為標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法對資產(chǎn)收益進行波動率估計的濾波估計。從圖2可看出，資產(chǎn)收益的變化幅度較大，利用標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法得到的資產(chǎn)收益波動率變化較為平緩，不能很好地刻畫資產(chǎn)收益的變化特征。圖3為APFVE算法對資產(chǎn)收益進行波動率估計的濾波估計。從圖3可看出，資產(chǎn)收益的變化幅度較大，而波動率的變化趨勢較為符合資產(chǎn)收益的變化特征，說明APFVE算法能夠更好地捕獲資產(chǎn)收益的波動率。從圖2、3可知，在資產(chǎn)收益的變化特征方面，與標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法相比，APFVE算法的效果更好。

圖4為標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法與APFVE算法資產(chǎn)收益波動率估計誤差，表1為標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法與APFVE算法均方根誤差(RMSE)和平均絕對誤差(MAE)。從圖4和表1可看出，無論是資產(chǎn)收益波動率誤差還是RMSE、MAE，APFVE算法均比標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法小，說明APFVE算法估計精度比標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法精確。

圖1 資產(chǎn)收益時間序列

圖2 標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法資產(chǎn)收益波動率的濾波估計

圖3 APFVE算法資產(chǎn)收益波動率的濾波估計

圖4 標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法與APFVE算法濾波波動率估計誤差

表1 標(biāo)準(zhǔn)PFVE算法與APFVE算法的均方根誤差和平均絕對誤差

4 結(jié)束語

針對由于利用轉(zhuǎn)移密度作為重要性采樣密度，未采用當(dāng)前時刻的量測信息，造成了標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波對異常值敏感和效率低下等問題，提出了輔助粒子濾波波動率估計算法。輔助粒子濾波利用當(dāng)前時刻的量測信息對重要性采樣密度進行實時調(diào)整，并實時修正粒子分布，使得更新后的粒子更穩(wěn)定。將該算法用于2FARSV模型，仿真實驗表明，該算法能夠更好地刻畫資產(chǎn)收益率的變化特征，更好地對波動率進行估計。