混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有時(shí)變參數(shù)的再裝期權(quán)定價(jià)

胡倩倩， 周 霞

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

1973年Black和Scholes首次提出著名的Black-Scholes(B-S)模型[1]。同年Merton改進(jìn)了模型假設(shè)條件使其更符合實(shí)際，建立Black-Scholes-Merton模型[2]。這一研究工作于1997年10月獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股票價(jià)格服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)，然而大量的實(shí)證研究表明，股票價(jià)格具有長期依賴性和自相似性等特征，這些特征與分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的某些特征相符合。于是學(xué)者們提出用分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的B-S方程代替由標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的B-S方程來研究期權(quán)定價(jià)。

然而當(dāng)Η≠1/2時(shí)，分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)不是半鞅，直接將分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)運(yùn)用于金融市場會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)[3-4]。為了更好地刻畫金融市場，一些學(xué)者提出用混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)代替Brown運(yùn)動(dòng)?；旌戏?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)是Brown運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的線性組合，它有著與半鞅類似的性質(zhì)，并且當(dāng)赫斯特參數(shù)Η∈(1/2,1)時(shí)，由混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的金融市場是完備的且無套利[5]，從而由混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的金融市場更具有實(shí)際意義。

近年來，混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)問題一直備受學(xué)者們的關(guān)注。隨著金融市場的不斷發(fā)展，一些標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)已不再滿足市場的需要，于是現(xiàn)實(shí)金融市場涌現(xiàn)出了各種各樣的新型期權(quán)。再裝期權(quán)與歐式看漲期權(quán)不同的是它允許期權(quán)的持有者在到期日之前的特定日期執(zhí)行歐式看漲期權(quán)。Johnson等[6]首次給出了標(biāo)的資產(chǎn)服從標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)下的再裝期權(quán)定價(jià)公式。由于用分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)代替標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)研究資產(chǎn)價(jià)格變化更符合實(shí)際情況，徐峰等[7]運(yùn)用Esscher變換的方法提出了分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為常數(shù)以及非隨機(jī)函數(shù)的情況下的再裝期權(quán)的定價(jià)公式。傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)方法對(duì)金融市場要求很高，計(jì)算過程也比較復(fù)雜。1998年Bladt和Rydberg[8]首次運(yùn)用保險(xiǎn)精算方法解決期權(quán)定價(jià)問題，該方法的優(yōu)點(diǎn)是其不需要對(duì)金融市場做任何經(jīng)濟(jì)假設(shè)。近年來，有關(guān)保險(xiǎn)精算方法在再裝期權(quán)中的應(yīng)用已經(jīng)取得了一些理論成果，如何永紅等[9]運(yùn)用保險(xiǎn)精算方法研究了分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的再裝期權(quán)，Xu等[10]使用保險(xiǎn)精算的方法來估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在跳-擴(kuò)散過程下的再裝期權(quán)。為此，假設(shè)股票價(jià)格服從混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)，利用保險(xiǎn)精算的方法，給出了帶時(shí)變參數(shù)的再裝期權(quán)定價(jià)公式。

1 混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場模型

假定金融市場由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)2種資產(chǎn)組成。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)價(jià)格(P(t)，t≥0)滿足方程

dP(t)=r(t)P(t)dt，

(1)

其中r(t)為無風(fēng)險(xiǎn)利率函數(shù)。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)價(jià)格(S(t)，t≥0)滿足方程

dS(t)=μ(t)S(t)dt+σS(t)dBH(t)+

ε(t)S(t)dB(t)，

(2)

其中：μ(t)為t時(shí)刻的股票價(jià)格的期望收益率函數(shù)；σ>0為股票價(jià)格的波動(dòng)率；ε(t)為波動(dòng)率函數(shù)；B(t)和BH(t)為定義在完備概率空間(Ω，F(xiàn)，R)上的Brown運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)，假設(shè)二者相互獨(dú)立。本研究假設(shè)赫斯特參數(shù)H∈(1/2,1)，μ(t)和r(t)均為[0,+∞)→R上的函數(shù)，并滿足

引理1帶時(shí)變參數(shù)的B-S方程(2)的解為

(3)

證明設(shè)V(t)=V(t,S(t))，V(t)為二元可微函數(shù)，根據(jù)Taylor公式有

因?yàn)镋[B(t)]2=t，E[BH(t)]2=t2H，所以可近似地認(rèn)為[dB(t)]2=dt，[dBH(t)]2=2Ht2H-1dt，則有

(dS(t))2=[μ(t)S(t)dt+σS(t)dBH(t)+

ε(t)S(t)dB(t)]2=μ2(t)S2(t)(dt)2+

σ2S2(t)(dBH(t))2+ε2(t)S2(t)(dB(t))2+

2S2(t)[μ(t)σdBH(t)dt+μ(t)ε(t)dB(t)dt+σε(t)dBH(t)dB(t)]=

2Hσ2t2H-1S2(t)dt+ε2(t)S2(t)dt+o(dt)。

忽略高階無窮小，于是有

(4)

將隨機(jī)過程V(t)=lnS(t)代入式(4)，

σdBH(t)+ε(t)dB(t)，

(5)

對(duì)式(5)兩邊取積分得，

證畢。

2 混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下帶時(shí)變參數(shù)的再裝期權(quán)

定義1[10]在到期日T之前只考慮再裝一次情況下，再裝期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)為：在再裝日期T1(0

當(dāng)T1→T時(shí)，再裝期權(quán)就退化為歐式看漲期權(quán)。

定義2[9]再裝期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

其中I(·)為示性函數(shù)。

定理1帶時(shí)變參數(shù)的混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下再裝期權(quán)保險(xiǎn)精算價(jià)格為

KN(d4,d5,ρ1)-KN(d1,d3,ρ1)×

(6)

計(jì)算C1，執(zhí)行條件為

(7)

由式(3)可得

(8)

將式(8)代入式(7)，

(9)

對(duì)式(9)兩邊取對(duì)數(shù)，

因此

令

則

計(jì)算C2，由執(zhí)行條件

-d3，

且

所以

KN(d4,d5,ρ1)-KN(d1,d3,ρ1)×

計(jì)算C3，由于

(x<-d1)，

(z>-d6)，

且

E(x,z)=ρ2，

所以

由C=C1+C2+C3，因此式(6)得到證明。

推論1當(dāng)ε(t)=0,μ(t)=μ,r(t)=r為常數(shù)時(shí)，式(1)和式(2)退化為

dP(t)=rP(t)dt，

(10)

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dBH(t)，

(11)

滿足式(10)和式(11)的再裝期權(quán)定價(jià)公式為

C=S(0)N(d2)-Kexp(-rT1)N(d1)+

KN(d4,d5,ρ1)-Kexp(-rT1)N(d1,d3,ρ1)+

S(0)N(-d7,d8,-ρ2)-Kexp(-rT)×

N(-d1,d6,-ρ2)。

(12)

d7=d1+ρ2σTH，d8=d6+σTH，

運(yùn)用與定理1相同的方法，可得到推論1的結(jié)果，詳細(xì)證明略。特別地，當(dāng)ε(t)=0,μ(t)=μ,r(t)=r為常數(shù)時(shí)，式(12)的再裝期權(quán)定價(jià)公式與文獻(xiàn)[9]的定理1一致。

推論2當(dāng)μ(t)=μ，ε(t)=0，r(t)=r，H=1/2時(shí)，式(1)和式(2)退化為

dP(t)=rP(t)dt，

(13)

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dB(t)，

(14)

滿足式(13)和式(14)的再裝期權(quán)定價(jià)公式為

C=S(0)N(d2)-Kexp(-rT1)N(d1)+

KN(d4,d5,ρ1)-Kexp(-rT1)N(d1,d3,ρ1)+

S(0)N(-d7,d8,-ρ2)-

Kexp(-rT)N(-d1,d6,-ρ2)。

(15)

類似于定理1的證明方法，可得到推論2的結(jié)果，詳細(xì)證明略。特別地，當(dāng)μ(t)=μ，ε(t)=0，r(t)=r，H=1/2時(shí)，式(15)的再裝期權(quán)定價(jià)公式與文獻(xiàn)[12]的命題一致。

3 結(jié)束語

在股票價(jià)格遵循混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的B-S方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用保險(xiǎn)精算的方法，推導(dǎo)了混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)下帶時(shí)變參數(shù)的再裝期權(quán)的定價(jià)公式，今后將重點(diǎn)研究如何處理波動(dòng)率σ=σ(t)的情況。