一類(lèi)非線性穩(wěn)態(tài)Poisson-Nernst-Planck方程的有限元方法

劉奕含， 陽(yáng) 鶯,2， 覃柳術(shù)

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué) 廣西高校數(shù)據(jù)分析與計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004)

Poisson-Nernst-Planck(PNP)方程[1]是由Poisson方程和Nernst-Planck(NP)方程耦合而成的非線性偏微分方程，用于描述溶質(zhì)生物分子體系中移動(dòng)離子的電擴(kuò)散，常應(yīng)用于生物分子[1]、電化學(xué)[2]和半導(dǎo)體[3]等相關(guān)領(lǐng)域。因PNP方程的非線性性和非對(duì)稱(chēng)性，其解析解只在極少數(shù)情況下存在，人們提出了各種數(shù)值方法求解PNP方程，如有限差分法[4]、有限體積法[5]及有限元法[6]。有限差分法廣泛用于求解描述生物離子通道等跨膜孔的電擴(kuò)散PNP方程[7-8]，但將其應(yīng)用于表面高度不規(guī)則的PNP方程時(shí)，其精度不高；有限體積法可求解不規(guī)則表面的PNP方程，但高精度有限體積控制元的構(gòu)造較困難；有限元方法可處理邊界不規(guī)則區(qū)域問(wèn)題，且其解的收斂速度依賴(lài)解的正則性。

有限元方法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散成有限個(gè)且按某些方式連接在一起的單元組合體，利用每一單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)分片表示求解區(qū)域待求的未知函數(shù)，將連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。為此，利用有限元方法的思想對(duì)非線性穩(wěn)態(tài)PNP方程進(jìn)行離散，提高其求解效率。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Ω?R3是一個(gè)多面體，且滿(mǎn)足Lipchitz連續(xù)，?Ω為其邊界，使用標(biāo)準(zhǔn)的Sobolev空間記號(hào)Ws,p(Ω)及相應(yīng)的范數(shù)和半范數(shù)[9]，當(dāng)p=2時(shí)，有

Ws,2(Ω)=Hs(Ω)，

‖·‖s,p,Ω=‖·‖Ws,p(Ω)。

定義相關(guān)的線性有限元空間：

Sh={v∈H1(Ω):v|?Ω=0∩v|e∈p1(e),

?e∈Γh(Ω)}，

SH={v∈H1(Ω):v|?Ω=0∩v|e∈p1(e),

?e∈ΓH(Ω)}，

考慮非線性穩(wěn)態(tài)的PNP方程：

(1)

方程(1)的邊界滿(mǎn)足齊次的Dirichlet邊界條件p1=p2=φ=0，其中pi(x)為第i種帶電荷量qi的粒子濃度，qi為第i種離子的電荷量，φ(x)為靜電勢(shì)，β=1/(κβT)為逆Boltzmann能量，ε(x)為電介質(zhì)常量。

c1(pi,v)+d1(pi,φ,v)+f1(pi,v)=

(2)

c2(φ,w)+d2(pi,w)=(F3,w),

(3)

其中，

c1(pi,v)=(pi,v)，

d1(pi,φ,v)=(βqipiφ,v)，

f1(pi,v)=(f(pi),v)，

c2(φ,w)=(εφ,w)，

2 有限元方法

(4)

(5)

引理1假設(shè)pi∈L∞(Ω)，則有

證明

證畢。

其中C為與h無(wú)關(guān)的任意常數(shù)。

(6)

f1(e,vh)=0，

(7)

因此，有

f1(e,pi-vh)-f1(e,e)。

(8)

由引理1及引理2可得，

(9)

同理

(10)

其中ε<1。由于f(pi)是Lipchitz連續(xù)函數(shù)，

(11)

(12)

由式(8)～(12)可得，

因此

記(pi)I=∏hpi，取vh=(pi)I，由插值誤差估計(jì)有

‖pi-(pi)I‖1,Ω≤Chs。

其中C為與h無(wú)關(guān)的任意常數(shù)。證畢。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

求解具有光滑解的非線性穩(wěn)態(tài)PNP方程：

設(shè)Ω=[0,1]3，q1=1,q2=-1，邊界條件和右端函數(shù)依賴(lài)于解析解，其中解析解定義為：

表1為H1范數(shù)下有限元解和精確解的誤差，收斂階接近1階，表明有限元法的數(shù)值結(jié)果與理論一致。

表1 有限元解和精確解在H1范數(shù)下的誤差

4 結(jié)束語(yǔ)