含有理想二極管電路的交變電流有效值及功率分析

◇ 福建 鄭小小 黃長福 陳藝斌

(作者單位:福建廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū))

理想二極管具有單向?qū)щ娦?它接在變壓器副線圈回路中時(shí)會(huì)使得回路結(jié)構(gòu)發(fā)生一定的改變,使得求對(duì)應(yīng)的電壓、電流有效值時(shí)出現(xiàn)困難.此時(shí),對(duì)原副線圈電流比是否還跟匝數(shù)成反比,原線圈的功率是否還等于負(fù)載功率等問題,學(xué)生理解起來有點(diǎn)吃力,也容易混淆.本文以兩道例題采用兩種不同分析方法解出來的結(jié)果相互矛盾為切入點(diǎn),來探究含有理想二極管電路的交變電流有效值及功率關(guān)系.

1 交變電流的有效值

交變電流的有效值是為計(jì)算功率和能量問題而建立的等效概念,其原理主要是利用電流的熱效應(yīng),讓交變電流和恒定電流通過一相同電阻,經(jīng)過相同時(shí)間,如果產(chǎn)生的焦耳熱一樣,就把這一恒定電流的數(shù)值稱為該交變電流的有效值,數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為

其中t＝t2－t1,由此可知也就是說,交變電流的有效值是電流在通電時(shí)間內(nèi)的方均根值.

對(duì)正余弦交流電來說,我們可以通過簡單的積分算出有效值,在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)有

如圖1所示,當(dāng)正余弦交流電與理想二極管以及定值電阻串接在一起時(shí),由于二極管的單向?qū)щ娦?在一個(gè)周期內(nèi)將有一半時(shí)間回路中沒有電流通過,cd兩端的接收電壓隨時(shí)間的變化如圖2所示,此時(shí)根據(jù)電流的熱效應(yīng)有得cd 端電壓有效值同理可知這也是整個(gè)回路的電流有效值.

圖1

圖2

2 交變電流的功率

在高中階段,很多教師和學(xué)生都認(rèn)為交變電流的功率等于電壓有效值和電流有效值的乘積,對(duì)于純電阻而言的確如此,但是對(duì)于理想電感和電容元件而言其實(shí)際功率卻是零,具體分析如下.

2.1 視在功率和功率因數(shù)

假設(shè)某交流電的電壓和電流瞬時(shí)值分別為u＝Umsin(ωt＋φ)和i＝Imsinωt,則瞬時(shí)功率可表示為P＝ui＝UmImsinωtsin(ωt＋φ),其中

由此可知,交變電流瞬時(shí)功率

則在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率為

其中U 和I 分別為交變電流的電壓有效值和電流有效值,它們的乘積稱為視在功率,cosφ 稱為功率因數(shù).

2.2 電阻、電容和電感對(duì)交變電流功率的影響

如果讓交流電通過理想二極管,情況又會(huì)怎樣呢? 結(jié)果類似于相位差為的情況,由圖1可知,當(dāng)前半個(gè)周期正向電流通過二極管時(shí),理想二極管電阻為零,兩端沒有電壓,而后半個(gè)周期電阻無窮大,電流通不過去,盡管此時(shí)二極管兩端的電壓為交流電源電壓,因此可以說理想二極管也是一個(gè)不耗能元件.

接下來對(duì)2014年新課標(biāo)卷Ⅱ及2020 屆湖南省四校聯(lián)考中含有理想二極管電路的題目進(jìn)行分析,采用同一種方法解決同一類型的問題,其中一道題目結(jié)果正確,而另一題的結(jié)果卻是錯(cuò)誤的,到底孰是孰非,筆者針對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析!

3 試題分析與探討

例1(2014年新課標(biāo)卷Ⅱ)如圖3,一理想變壓器原、副線圈的匝數(shù)分別為n1、n2.原線圈通過一理想電流表○A 接正弦交流電源,一個(gè)二極管和阻值為R 的負(fù)載電阻串聯(lián)后接到副線圈的兩端.假設(shè)該二極管的正向電阻為零,反向電阻為無窮大.用交流電壓表測得a、b 端和c、d 端的電壓分別為Uab和Ucd,則( ).

圖3

A.Uab∶Ucd＝n1∶n2

B.增大負(fù)載電阻的阻值R,電流表的讀數(shù)變小

C.負(fù)載電阻的阻值越小,cd 間的電壓Ucd越大

D.將二極管短路,電流表的讀數(shù)加倍

分析此題參考答案為B、D,對(duì)選項(xiàng)D 爭議較大,采用兩種看似都正確的方法解答結(jié)果卻不相同.

解法1設(shè)副線圈兩端電壓為U2,則有由于二極管具有單向?qū)щ娦?根據(jù)有效值定義可知將二極管短路,變壓器的輸出功率為原來的 2 倍,由 P ＝2P1＝UabI1可知,電流表的讀數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍.

解法2假設(shè)二極管短路前,根據(jù)電流值與匝數(shù)成反比可知二極管短路后有由解法1可知因此短路后有由于匝數(shù)比不變,所以選項(xiàng) D 錯(cuò)誤.

例2如圖4-甲所示,理想變壓器原線圈匝數(shù)n1＝2200匝,副線圈匝數(shù)n2＝100匝,電流表、電壓表均可視為理想交流電表,定值電阻R＝10Ω,二極管D 正向電阻等于零,反向電阻無窮大.變壓器原線圈接入如圖4-乙所示的交流電壓,下列說法中正確的是( ).

圖4

A.電壓表的示數(shù)約為10V

B.電流表的示數(shù)約為0.032A

C.穿過變壓器鐵芯的磁通量變化率的最大值約為1.0 Wb·s－1

D.穿過變壓器鐵芯的磁通量的最大值約為4.5×10－4Wb

分析此題正確選項(xiàng)為BD.針對(duì)選項(xiàng)B 由上題中的解法1可知,原線圈的功率等于副線圈回路消耗的功率,即解得I＝0.023A.再1由解法2可知,副線圈的電流由電流與匝數(shù)成反比可知代入數(shù)據(jù)解得原線圈電流的有效值I1≈0.032A.

由上述例題可以發(fā)現(xiàn),解法1對(duì)于例題1而言是正確的,對(duì)于例題2卻是錯(cuò)誤的,而解法2恰恰反過來,那到底孰是孰非呢? 仔細(xì)一看,解法1從能量守恒的角度分析,理想變壓器輸入功率等于負(fù)載消耗的功率,符合理想變壓器的特征,解法2利用的是電流與匝數(shù)成反比公式,適用于單個(gè)副線圈,不論負(fù)載是電阻、電容、電感,還是二極管都成立.

其實(shí)在副線圈空載的情況下,電流比公式并不成立,此時(shí)副線圈電流為零,但原線圈電流為只是因?yàn)樽愿邢禂?shù)比較大,所以也接近零,此時(shí)原副線圈匝數(shù)比是一個(gè)定值,電流比公式在負(fù)載電阻遠(yuǎn)小于副線圈阻抗時(shí)成立,反觀上面例題,當(dāng)電流反向時(shí)二極管電阻無窮大,電路相當(dāng)于斷開,此時(shí)電流比公式不成立,通過電流的熱效應(yīng)算出的副線圈電流有效值與原線圈的電流一樣不滿足和匝數(shù)成反比的關(guān)系.因此,筆者認(rèn)為2020屆湖南省四校聯(lián)考這道選擇題選項(xiàng)B應(yīng)改為0.023A.

4 小結(jié)

結(jié)合上文分析,筆者認(rèn)為在含有理想二極管的變壓器電路中,計(jì)算有效值時(shí)依然嚴(yán)格遵守“三同”原則,讓交流電和直流電通過相同電阻時(shí)在相同時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相同,即可視直流電數(shù)值為交流電的有效值;在此變壓器電路中,電壓比等于匝數(shù)比成立,負(fù)載功率等于變壓器原線圈功率,不等于副線圈功率,電流也不跟匝數(shù)成反比,這個(gè)與接在副線圈的負(fù)載情況有關(guān),分析其原理涉及視在功率和功率因數(shù)等大學(xué)電磁學(xué)知識(shí),在中學(xué)階段教學(xué)過程中可讓學(xué)生記住相關(guān)結(jié)論并懂得應(yīng)用即可!