探求規(guī)律,破解數(shù)列新穎題

◇ 山東 崔洪濤

(作者單位:山東省滕州市第一中學(xué))

雖然高中階段我們只重點(diǎn)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列和等比數(shù)列,但在高考中由它們派生出來(lái)的數(shù)列新穎題卻層出不窮.面對(duì)這類問(wèn)題,我們?cè)撛趺辞蠼饽? 本文進(jìn)行舉例說(shuō)明.

1 從圖形的變化中探求規(guī)律

有時(shí)數(shù)列是由圖象給出的,而圖象的變化過(guò)程蘊(yùn)含了數(shù)列的通項(xiàng),我們可以通過(guò)對(duì)圖形變化趨勢(shì)的分析得到數(shù)列通項(xiàng)形式.

例1如圖1所示,線段AB 的長(zhǎng)度為a,在線段AB 上取兩個(gè)點(diǎn)C,D,使得以CD為一邊在線段AB 的上方作一個(gè)正六邊形,然后去掉線段CD,得到圖2中的圖形;對(duì)圖2中的最上方的線段EF 進(jìn)行相同的操作,得到圖3 中的圖形.依此類推,就可以得到一系列圖形.把第n 個(gè)圖形的所有線段的長(zhǎng)度加起來(lái),它的和記為Sn(注:圖1視為第1個(gè)圖形),這里給出關(guān)于數(shù)列{Sn}的4個(gè)命題:

① {Sn}為等比數(shù)列;

② {Sn}單調(diào)遞增;

③ 一定存在最小正數(shù)a,使得對(duì)一切正整數(shù)n,Sn＞2019都成立;

④ 一定存在最大正數(shù)a,使得對(duì)一切正整數(shù)n,Sn＜2019都成立.

其中真命題的序號(hào)是________(請(qǐng)寫出所有真命題的序號(hào)).

根據(jù)題意,S1＝a.圖2中的正六邊形的邊長(zhǎng)是于是圖3中那個(gè)最小的正六邊形的邊長(zhǎng)是所以

又S1＝a＜5a,所以存在最大的正數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)n,都有Sn＜2019,即③錯(cuò)誤,④正確.故答案為②④.

本題要求我們能根據(jù)圖形的變化規(guī)律求解通項(xiàng)公式,并會(huì)用累加求和的方法.解答時(shí)可根據(jù)題意先找出前幾個(gè)圖形間的關(guān)系,再推導(dǎo)出第n 個(gè)圖形與第n－1個(gè)圖形間的關(guān)系,從而得出遞推公式進(jìn)行求解.

2 從數(shù)列的遞推式中探求規(guī)律

在現(xiàn)行課本中,對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)研究較多,也比較透.有些數(shù)列雖然不是“純粹”的等差數(shù)列或等比數(shù)列,但通過(guò)探究規(guī)律、合理轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)也可以利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的知識(shí)與方法加以解決.

例2已知從2開(kāi)始的連續(xù)偶數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表,第1行為2,第2行為4,6,第3行為12,10,8,第4行為14,16,18,20.如圖5,在寶塔形數(shù)表中位于第i 行、第j 列的數(shù)記為ai,j,比如a3,2＝10,a4,2＝16,a5,4＝24,若ai,j＝2020,則i＋j＝( ).

圖5

A.65 B.70 C.71 D.72

由圖5可知,第1行放1個(gè)偶數(shù),第2行放2個(gè)偶數(shù),第3行放3個(gè)偶數(shù)……又因?yàn)閍i,j＝2020指圖中擺放的第i 行第j 列,所以先求第m 行的最后一個(gè)偶數(shù),該偶數(shù)小于2020且是最接近的,并且還能成為每一行的最后一個(gè)數(shù)字則m≤44,當(dāng)m≤44時(shí),44(1＋44)＝1980,則第44行的最后一偶數(shù)是1980,第45行的第45個(gè)偶數(shù)為1982,利用等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)之間關(guān)系可知2020應(yīng)處于該行的第45－19＝26列,故j＝26,所以i＋j＝45＋26＝71.故選C.

根據(jù)題意知正偶數(shù)an構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,研究圖形可以發(fā)現(xiàn),圖中每一行排列的數(shù)、每一行的數(shù)字總數(shù)與本數(shù)列的每一項(xiàng)的關(guān)系都是有規(guī)律可循的,這就是我們解題的切入口.

3 從等差與等比的類比中探求規(guī)律

類比是解數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑,解題時(shí)通過(guò)類比等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì),往往會(huì)有新發(fā)現(xiàn).

例3已知真命題A:在等差數(shù)列{an}中,若m,n,p,q∈N,且m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq;真命題B:在等比數(shù)列{an}中,若m,n,p,q∈N,且m＋n＝p＋q,則am·an＝ap·aq.我們稱這兩個(gè)真命題具有“加?乘”類比關(guān)系.請(qǐng)?jiān)诘炔顢?shù)列和等比數(shù)列的范圍內(nèi),分別寫一個(gè)具有“加?乘”類比關(guān)系的命題,而且它們必須是真命題.

等差數(shù)列和等比數(shù)列中一般的類比規(guī)律如表1所示.

表1

于是我們可寫出如下兩個(gè)真命題.

真命題A:設(shè)a＜b,在a,b 之間插入n 個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,使這n ＋2 個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則有成立.

真命題B:若0＜a＜b,在a,b 之間插入n 個(gè)正數(shù)y1,y2,…,yn,使這n＋2 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則有成立.

類比是一種創(chuàng)新思維,是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)思想.

從以上三類問(wèn)題可以看出,從表面上看是在考查數(shù)列知識(shí),其實(shí)是在考查考生的創(chuàng)新思維,所以這類問(wèn)題具有一定的難度,應(yīng)引起大家的注意.