在推理中深度理解數(shù)學(xué)模型
——“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)紀(jì)實(shí)與反思

山東省臨沂市蘭山區(qū)教研室 臧曉梅

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”。

課前思考：教材通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中植樹(shù)問(wèn)題的研究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而抽象出這類(lèi)植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。在平時(shí)的教學(xué)中，我們常常看到，在對(duì)三種植樹(shù)情況（兩端都栽、只栽一端、兩端不栽）進(jìn)行分析，建立起棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系后教學(xué)就止步了。上課教師之所以這樣處理，有一定的原因：從知識(shí)難易上看，植樹(shù)問(wèn)題的難度比較大，在編入教材之前屬于經(jīng)典的奧數(shù)知識(shí)，在一節(jié)課上能學(xué)完三種類(lèi)型已經(jīng)是大容量教學(xué)了；從承載的思想方法上看，化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)、模型、推理等都是要體現(xiàn)的思想，不易做好有機(jī)整合?；谏鲜隹紤]，筆者重新進(jìn)行了設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)模型的有效建構(gòu)，在具體的教學(xué)實(shí)踐中也取得了很好的教學(xué)效果。

教學(xué)過(guò)程：

一、情境導(dǎo)入，初步感知三種類(lèi)型

1.聯(lián)系實(shí)際，理解間隔

師：（讓前后兩位學(xué)生起立）大家看，這兩位同學(xué)之間產(chǎn)生了一個(gè)……

生：間隔、空。

師：我們一般說(shuō)成一個(gè)間隔。

（師依次讓學(xué)生說(shuō)出這樣站立的4 人、100 人分別有幾個(gè)間隔。）

師：如果產(chǎn)生了這樣的101 個(gè)間隔，你知道有多少名學(xué)生嗎？

生：有102 名學(xué)生。

2.引出課題，感知三種植樹(shù)方式的存在

師：這節(jié)課，我們要研究和間隔有關(guān)的問(wèn)題，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為植樹(shù)問(wèn)題。（師板書(shū)，出示下圖。）

師：植樹(shù)節(jié)到了，少先隊(duì)員在公園內(nèi)通往涼亭的小路一側(cè)義務(wù)植樹(shù)，小路全長(zhǎng)45 米，每隔5 米栽一棵，由五年級(jí)三個(gè)班完成，按班級(jí)順序每班各栽15 米，請(qǐng)你算一算每班各栽了多少棵？

【意圖】借助“三個(gè)班級(jí)各栽了多少棵”這個(gè)大問(wèn)題引出了在直線上植樹(shù)的三種類(lèi)型，讓學(xué)生初步感知到解決植樹(shù)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義。和單一地呈現(xiàn)一種植樹(shù)類(lèi)型相比，這樣更便于學(xué)生在后續(xù)的探究中進(jìn)行分析、比較，讓學(xué)生能從整體上理解把握。

二、主動(dòng)探究，感悟模型

1.學(xué)生嘗試解決

師：三個(gè)班各栽了多少棵呢？大家可以想一想、畫(huà)一畫(huà)。

（學(xué)生在線段圖上用畫(huà)點(diǎn)或畫(huà)小樹(shù)的方式表示出要栽的棵數(shù)，師選擇有代表性的作品投影。）

師：你能看懂這些方法嗎？

（學(xué)生對(duì)15 米處、30 米處栽的樹(shù)歸哪個(gè)班產(chǎn)生了爭(zhēng)執(zhí)，對(duì)45 米處栽不栽有疑問(wèn)，師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意和圖去理解，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。）

2.命名三種植樹(shù)類(lèi)型

師：為了便于我們進(jìn)一步研究，老師把三個(gè)班級(jí)的植樹(shù)情況單獨(dú)列了出來(lái)，請(qǐng)看屏幕。

師：請(qǐng)你觀察，這三幅圖有什么不同？

生：栽的棵樹(shù)不同。

生：栽的方法不同。

師：那你能給它們起個(gè)名字嗎？

（根據(jù)學(xué)生發(fā)言，師總結(jié)出兩端都栽、只栽一端、兩端不栽，并在圖上顯示出來(lái)。）

3.猜測(cè)棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系

師：觀察這三種植樹(shù)方式，相同點(diǎn)在哪里？

生：間隔數(shù)都是3，每班都栽了15 米。

師：（指著圖）3 個(gè)間隔 4 棵樹(shù)，3 個(gè)間隔 3 棵樹(shù)，3 個(gè)間隔2 棵樹(shù)，看來(lái)，棵數(shù)和什么有關(guān)？

生：和間隔數(shù)有關(guān)。

師：在不同的植樹(shù)類(lèi)型下，棵數(shù)和間隔數(shù)又會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？我們進(jìn)一步來(lái)研究。

【意圖】學(xué)生對(duì) 15 米、30 米、45 米處的“爭(zhēng)執(zhí)”，是學(xué)生在初步感知后對(duì)三種植樹(shù)類(lèi)型的進(jìn)一步理解。在學(xué)生統(tǒng)一認(rèn)識(shí)后，教師又把三種類(lèi)型分開(kāi)呈現(xiàn)，讓學(xué)生結(jié)合自己的理解給予命名，并引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：為什么同樣的15米，三個(gè)班栽的棵數(shù)卻不一樣呢？不同植樹(shù)方式下棵數(shù)和間隔數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？核心問(wèn)題就此啟動(dòng)了起來(lái)，學(xué)生的探究由表面轉(zhuǎn)向深入。

三、對(duì)比分析，建立模型

1.任選一種小組內(nèi)研究

師：小組內(nèi)任選一種類(lèi)型解決，看看棵數(shù)和間隔數(shù)到底有怎樣的關(guān)系。（出示合作要求：（1）任選一種類(lèi)型，解決后也可以想想其他類(lèi)型如何解決。（2）畫(huà)出線段圖并列出算式。）

2.匯報(bào)交流，深化理解

師：老師先調(diào)查一下，你選擇了哪種植樹(shù)情況來(lái)解決的？（研究?jī)啥硕荚缘挠? 個(gè)小組，只栽一端的有9 個(gè)小組，兩端不栽的有1 個(gè)小組。）

師：那就先請(qǐng)研究只栽一端的這個(gè)小組前來(lái)匯報(bào)。

生1：大家好，我們小組研究的是只栽一端的情況。先用15 米除以5 米得到3 個(gè)間隔，要栽3 棵，發(fā)現(xiàn)了間隔數(shù)等于棵數(shù)的關(guān)系，同學(xué)們有什么疑問(wèn)嗎？

生2：15 米除以5 米得到的是3 個(gè)間隔，怎么是3 棵樹(shù)呢？

師：（匯報(bào)學(xué)生剛要解釋?zhuān)瑤熓疽庀鹊鹊龋┻@個(gè)問(wèn)題問(wèn)得好啊，明明是3 個(gè)間隔嗎？怎么成了3 棵樹(shù)呢？（全班學(xué)生思考后指名學(xué)生發(fā)言。）

師：（對(duì)著生1）他們的回答說(shuō)出了你的意思了嗎？還是你來(lái)說(shuō)說(shuō)吧！

生1：這里雖然是3 個(gè)間隔，從圖上看也是3 棵數(shù)。（還有部分學(xué)生不明就理。）

師：給你個(gè)建議，如果你能在圖上畫(huà)一畫(huà)、指一指大家就更明白了。

（生1 畫(huà)出箭頭，并說(shuō)明了間隔數(shù)和棵數(shù)存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。）

師：大家明白了嗎？根據(jù)一一對(duì)應(yīng)，這里的單位“個(gè)”可以改成什么了？

（生 1 把“個(gè)”改成“棵”。）

【意圖】為什么絕大多數(shù)小組都選擇了只栽一端的方式？這并非意外，而是教師意料之中的事情。因?yàn)樯险n的班級(jí)是5 年級(jí)2 班，學(xué)生對(duì)自己班級(jí)的認(rèn)同度比較高，才會(huì)做出這種選擇。更重要的是，通過(guò)對(duì)這種植樹(shù)方式的深度探究，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生用這個(gè)發(fā)現(xiàn)由此及彼、推理出其他方式做了鋪墊。

把3 個(gè)間隔改成3 棵樹(shù)的過(guò)程是學(xué)生由表面理解深入到知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程。在部分學(xué)生對(duì)生1 的發(fā)言提出質(zhì)疑后，教師制止了生1 的回答，這樣就把問(wèn)題拋給了全體學(xué)生，給了全體學(xué)生思考的機(jī)會(huì)。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“一一對(duì)應(yīng)”的思想，生動(dòng)地建立起3 個(gè)間隔和3 棵樹(shù)的關(guān)系，有效地生成了數(shù)學(xué)知識(shí)。

四、溝通推理，深化模型

1.用只栽一端推理出其他類(lèi)型

師：同學(xué)們大多數(shù)都研究了只栽一端的情況，結(jié)合你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能不能推理出另外兩種情況？

生：只栽一端時(shí)，棵數(shù)等于間隔數(shù)，兩端都栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再加一棵，所以棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

生：兩端不栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再減一棵，所以?xún)啥瞬辉詴r(shí)，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

師：大家同意嗎？（同意）這兩位同學(xué)發(fā)言好在哪？

生：根據(jù)一種情況就推出了另兩種情況。

生：沒(méi)用線段圖也解決了問(wèn)題。

生：只要知道間隔數(shù)是幾，就能推理出所有情況。

師：推理確實(shí)是好方法，它不僅能讓我們脫離具體的直觀圖來(lái)解決問(wèn)題，還讓我們了解了這三種植樹(shù)類(lèi)型的聯(lián)系，掌聲送給這些同學(xué)。

2.分析三種類(lèi)型，概括數(shù)學(xué)本質(zhì)

師：大家再觀察這三種類(lèi)型，它們有什么相同點(diǎn)嗎？

生：都是先算出間隔數(shù)。

生：都用到了除法算出間隔數(shù)。

師：（圈出三種類(lèi)型中的除法算式）是的，都是先計(jì)算15÷5=3（個(gè)），那你覺(jué)得植樹(shù)問(wèn)題就是哪一類(lèi)計(jì)算？

生：用除法解決的一類(lèi)問(wèn)題。

師：都是先算出間隔數(shù)，再用一一對(duì)應(yīng)的方法確定棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。植樹(shù)問(wèn)題并不神秘，它就是用除法解決的一類(lèi)問(wèn)題。

【意圖】重點(diǎn)理解只栽一端的作用就是讓學(xué)生用它來(lái)推理，通過(guò)推理溝通三種植樹(shù)類(lèi)型的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)植樹(shù)問(wèn)題的整體感悟，并最終抽象出植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)——研究棵數(shù)與間隔數(shù)之間數(shù)量關(guān)系的除法計(jì)算。當(dāng)然，用任何一種植樹(shù)類(lèi)型都可推理出另外類(lèi)型，選用只栽一端做為基本模型，是因?yàn)樵谶@種類(lèi)型下棵數(shù)恰好等于間隔數(shù)，而且和另外兩種類(lèi)型存在著間隔數(shù)加一、間隔數(shù)減一的簡(jiǎn)單關(guān)系，便于學(xué)生理解掌握。

五、回歸生活，運(yùn)用模型

1.解決生活中的實(shí)際問(wèn)題（略）

2.引發(fā)思考，將探究拓展到課外

師：這節(jié)課我們研究的是在直直小路上的植樹(shù)問(wèn)題，還會(huì)有什么樣的植樹(shù)問(wèn)題？（曲線）假如在60 米長(zhǎng)的圓形花壇四周植樹(shù)，也是每隔5 米栽一樣，能栽幾棵呢？留給大家課后解決。

【意圖】解決曲線上的植樹(shù)問(wèn)題需要將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線問(wèn)題，這道題不僅要求學(xué)生靈活地運(yùn)用本課所學(xué)知識(shí)，還將學(xué)生的探究由課內(nèi)引向了課外。

反思：

模型思想是數(shù)學(xué)三大基本思想之一，又位列十大核心概念之中，其在教學(xué)中的重要性不言而喻。植樹(shù)問(wèn)題不僅蘊(yùn)含著典型的模型思想，更有一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等思想，有效地整合這些思想方法，更好地凸顯模型思想才是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。模型思想的建立不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷模型的建立過(guò)程，更要實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的深度理解和本質(zhì)把握。

1.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是一個(gè)生動(dòng)深刻的過(guò)程

學(xué)生對(duì)模型思想的感悟需要學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程，這就要先從現(xiàn)實(shí)世界中找到原型，逐漸剝離現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的非數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終抽象出數(shù)學(xué)模型。本課由“三個(gè)班各栽了多少棵”這一現(xiàn)實(shí)情境引發(fā)思考，讓學(xué)生初步感知到植樹(shù)類(lèi)型的存在和不同，學(xué)生用畫(huà)線段圖的方式把現(xiàn)實(shí)中的“樹(shù)”和“間隔”抽象成了“點(diǎn)”和“段”。再用一一對(duì)應(yīng)等思想方法得出了簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)關(guān)系式，初步建立了數(shù)學(xué)模型。但教學(xué)并未就此止步，而是進(jìn)一步讓學(xué)生對(duì)比、分析三種關(guān)系式，由此及彼，實(shí)現(xiàn)了三種關(guān)系的有效溝通，深化了學(xué)生的理解，并最終抽象出植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)模型的深度理解。

2.數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是簡(jiǎn)潔的、便于理解運(yùn)用的

植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型不是留在黑板上的學(xué)生總是混淆的三個(gè)關(guān)系式，更不是把這三個(gè)關(guān)系式又變式成更多的公式，這不僅不利于學(xué)生理解，更會(huì)增加學(xué)習(xí)的難度，無(wú)助于模型思想的建立。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)模型應(yīng)該是理解起來(lái)簡(jiǎn)單，運(yùn)用起來(lái)方便的。在本課中，絕大多數(shù)小組選擇“只栽一端”并非偶然，而是教師的“有意為之”，學(xué)生用“只栽一端”這個(gè)基本模型就能推理出另外兩種情況，這不僅不會(huì)弱化模型思想的感悟，反而能更加凸顯出這個(gè)基本模型的優(yōu)勢(shì)一一用除法算出間隔數(shù)，棵數(shù)就等于間隔數(shù)，再用間隔數(shù)加1、減1 就算出了另外兩種植樹(shù)情況。學(xué)生只需要用除法算出間隔數(shù)，再根據(jù)實(shí)際情況就可推理解決所有類(lèi)型的植樹(shù)問(wèn)題。

可見(jiàn)，給學(xué)生一個(gè)清晰的數(shù)學(xué)模型不僅是能否建立起模型思想的關(guān)鍵，更應(yīng)是教學(xué)的不懈追求。