剖析分數(shù)傅里葉變換及其應用

左嵐

湖北省咸寧職業(yè)技術學院 （咸寧437100）

隨著科學技術的發(fā)展，人們的生活水平不斷提高，各種基于計算機科學技術、通信技術的產品充斥在我們的生活中，已經成為我們現(xiàn)代化生活的不可獲取的重要部分。尤其是互聯(lián)網絡的快速發(fā)展，更是極大地改變了人們的生活方式以及思維方式，對于人們的生活水平來說，具有非常重要的意義。然后在這些產品的背后，是由各種數(shù)學以及物理理論基礎作支撐而發(fā)展起來的。在我們的通信設施中，如何將各種低頻率的語音、文字信號千里迢迢輕松地傳送到千里之外，如何將各種視頻、聲音、圖片信號如何通過互聯(lián)網絡方便、快捷地并且突破地域的限制來高效省時地無障礙安全傳輸?shù)龋@些問題的解決都是依賴于數(shù)學基本理論和物理基礎技術來實現(xiàn)的。其中，分數(shù)傅里葉變換就是其中一個最重要的數(shù)學基礎理論，通過分數(shù)傅里葉變換，實現(xiàn)了各種信號的時間領域和頻率領域的變換，極大地簡化了人們對信號的認識，從根本上改變了對信號處理的方式，使得人們通過處理信號的某些頻率即可實現(xiàn)對傳統(tǒng)時域信號的處理和控制。分數(shù)傅里葉變換對于互聯(lián)網通信來說是非常重要的，尤其是實現(xiàn)互聯(lián)網安全通信的數(shù)字水印加密算法上，為互聯(lián)網的通信加密提供了最重要的理論依據(jù)，從而為互聯(lián)網的安全可靠的通信奠定了堅實基礎。

1 分數(shù)傅里葉變換簡述

傅里葉變換是傳統(tǒng)的信號分析方法，簡單地理解，就是將一個信號可以拆分成多個信號的集合疊加。如果一個時域信號f(t)為時間t的周期函數(shù)，并且滿足，在t的周期范圍內，f(t)是連續(xù)的且處在第一類間斷點的個數(shù)是可數(shù)的，則有如下公式：

其中，f(t)為t的函數(shù)，又稱為時域函數(shù)，F(xiàn)(ω)是該f(t)函數(shù)的頻域信號表現(xiàn)形式，即頻域函數(shù)，而上述兩個公式，由時域轉變成頻域的稱之為傅里葉變換，而頻域轉變成時域的則稱之為傅里葉逆變換。

而分數(shù)傅里葉變換則是傳統(tǒng)的傅里葉變換的繼續(xù)和延·伸，是在分數(shù)級別上的傅里葉擴展，即現(xiàn)在的廣義上的傅里葉變換。由上述傅里葉變換公式可知，有

其中F為傅里葉變換的表示符號。

在該，假如對f(t)信號進行多次次傅里葉變換，假如經過n次傅里葉變換，我們使用Fn來表示，則很容易得出以下公式。

其實，每一次傅里葉變換，對于f(t)函數(shù)來說就是在坐標軸內進行一次π/2的旋轉角的旋轉，經過兩次的傅里葉變換則有原始時域函數(shù)旋轉 180°，經過四次傅里葉變換，則有原始時域函數(shù)旋轉 360°，故而有上述公式。分數(shù)傅里葉變換則是在此多次傅里葉變換的基礎上提出來的。在很多分數(shù)傅里葉變換中，有兩種類型的分數(shù)傅里葉變換較為出名，一是 Namias型的分數(shù)傅里葉變換，一是 Shih型的分數(shù)傅里葉變換。

其中Namias型的分數(shù)傅里葉變換是對一維輸入信號f(t)來說，其p階分數(shù)傅里葉變換公式如下：

Shih型的分數(shù)傅里葉變換使用級態(tài)函數(shù)的疊加方法，表達式如下：

結合上述兩種分數(shù)傅里葉變換，基于傳統(tǒng)的傅里葉變換可知，分數(shù)傅里葉變換對時域和頻域中表現(xiàn)出最基本的3個性質。

第一就是連續(xù)性，即在整個變換域中，分數(shù)傅里葉變換是連續(xù)的，無斷點的。

第二就是邊界性，即對于分數(shù)傅里葉變換來說，屬于廣義的傅里葉變換，包含了傳統(tǒng)的傅里葉變換，也成狹義的傅里葉變換，對于某些特殊的邊界，如分數(shù)階級p為整數(shù)時，此時即為狹義的傅里葉變換。

第三是可疊加性，即對于一個分數(shù)傅里葉變換的任意分數(shù)階級P1，P2來說，其可以任意疊加，既有

2 分數(shù)傅里葉變換的應用

現(xiàn)代的年代是數(shù)據(jù)泛濫的年代，尤其是在現(xiàn)在版權聲明叫囂的年代，更應該加強版權保護意識，對于圖像、圖片等直觀的數(shù)據(jù)信息來說，添加數(shù)字水印是常用的一種版權保護的方式。分數(shù)傅里葉變換在互聯(lián)網中的應用非常廣泛，可以通過分數(shù)傅里葉變化，將互聯(lián)網中的各種數(shù)據(jù)信息加上版權標識，以此來防止互聯(lián)網數(shù)據(jù)被竊取商用，尤其是對于數(shù)字水印添加來說，更是方便實現(xiàn)。

簡單地理解，數(shù)字水印就是對原有的圖像、圖片信息添加上版權標識，即在畫面上添加該數(shù)據(jù)所屬單位等版權信息。利用數(shù)字圖像處理的方法，將原有的圖像數(shù)據(jù)通過添加某些數(shù)據(jù)信息，使得在對原始圖像顯示的時候，會將添加的信息表現(xiàn)出來。如果該添加的數(shù)據(jù)信息就是版權標識信息，那么即可實現(xiàn)數(shù)字水印的添加。實際上，在原始數(shù)據(jù)上嵌入水印信息，是在原始圖像的強信號上，有效地疊加一個水印數(shù)據(jù)的弱信號，如果該信號的頻率幅度足夠小，低于人類視覺系統(tǒng)的HVS對比度，那么就可實現(xiàn)讓人類的視覺系統(tǒng)撲捉到，即可實現(xiàn)在不改變原有視覺效果的情況下為數(shù)據(jù)圖像信息嵌入版權標識的數(shù)字水印。

假如原始的圖像、圖片數(shù)據(jù)為I，待添加的版權表示為W，為圖像進行加密的數(shù)據(jù)為K，那么添加水印后的圖像、圖片數(shù)據(jù)表達式則為：

對于實現(xiàn)水印嵌入的系統(tǒng)結構來說，需要三部分構成，第一部分即為原始圖像信號輸入端，第二部分即為待添加的版權標識的數(shù)字水印信號輸入端，第三部分即為圖像加密的數(shù)據(jù)信號輸入端。如圖1.所示，為原始圖像信號添加數(shù)字水印的結構示意圖。如圖1.的結構圖所示，圖像信號數(shù)字水印添加需要三個信號的輸入，分別是原始圖像信號 I，加密數(shù)據(jù)信號K以及水印信號W，然后通過數(shù)字水印嵌入算法即可實現(xiàn)數(shù)字水印的添加，最后生成添加水印的圖像進行傳播。

圖1 原始圖像信號添加數(shù)字水印系統(tǒng)結構示意圖

在整個數(shù)字水印嵌入系統(tǒng)中，最重要的部分即為水印嵌入算法的實現(xiàn)。由于原始圖像信號 I，加密數(shù)據(jù)信號K以及水印信號W均為數(shù)字信號，首先我們可以通過分數(shù)傅里葉變換將三個信號都轉換成頻域信號，可以利用 Namias型的分數(shù)傅里葉變換公式來實現(xiàn)，然后將三者的頻域信號進行疊加，即可實現(xiàn)原始圖像信號I，加密數(shù)據(jù)信號K以及水印信號W三者的頻域疊加，由于在頻域中，不同的信號可由多個不同頻域的信號構成，而不同頻域信號的強弱則表示了原始信號的主信號，并且某一個時域信號的多個不同頻域信號是線性疊加的，即通過向加減即可實現(xiàn)，所以原始圖像信號I，加密數(shù)據(jù)信號K以及水印信號W的頻域信號的疊加，就是處在相同頻率的信號的系數(shù)增加，最終整體表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是在頻域中不同頻率的信號幅度值有所改變。所以，采用分數(shù)傅里葉變換的來實現(xiàn)三者信號的疊加的關鍵是，必須要求三者時域信號的主頻率必須不能相同，轉換到頻域中，即疊加后的信號會在三個主要的頻段中幅度出現(xiàn)高峰。這就為后期的圖像還原奠定了基礎，即通過過濾原始信號的主頻段范圍內的信號即可生成原始圖像。這是非常容易實現(xiàn)了，數(shù)字水印要求的頻段本來就是要求低于人類視覺系統(tǒng)的撲捉門限，而原始圖像必須在人類視覺性對比度門限內，所以數(shù)字水印信號不會與原始圖像信號的主頻段沖突，至于加密數(shù)據(jù)的頻率只需要區(qū)別于數(shù)字水印頻段以及原始信號頻段即可是實現(xiàn)利用分數(shù)傅里葉變換來實現(xiàn)互聯(lián)網圖像的數(shù)字水印嵌入技術。

[1]金偉民,顏才杰.變形分數(shù)傅里葉變換雙隨機相位加密技術[J].應用激光. 2005(06)

[2]陳寅偉. 基于分數(shù)傅里葉變換的數(shù)字水印技術[D].吉林大學.2010.

[3]文亮. 分數(shù)傅里葉變換及其應用[D].重慶大學,2008.