關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)“最多”“至少”教學(xué)的思考

李雪飛

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生在解答“最多”和“至少”這一類題型時(shí)往往因?yàn)閷?duì)問題解讀不到位，出現(xiàn)解題困難。因此，引導(dǎo)學(xué)生去辨析問題中的“最多”和“至少”的意義對(duì)解題至關(guān)重要。同時(shí)，“最多”和“至少”這類題型往往與生活實(shí)際相聯(lián)系，因此在教學(xué)過程中，教師以創(chuàng)設(shè)情境的方式引導(dǎo)學(xué)生理解“最多”和“至少”，能有效地提高學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生解決問題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);“最多”;“至少”;數(shù)學(xué)教學(xué)

解決問題關(guān)鍵是對(duì)信息做出解讀，這個(gè)能力非常重要。本次課程聚焦解決問題領(lǐng)域，研究的課例是《有余數(shù)除法解決問題》，例題內(nèi)容為：22個(gè)學(xué)生去劃船，每條船最多坐4人，他們至少要租多少條船？

教學(xué)中學(xué)生自主嘗試后，就把坐滿的5條船當(dāng)作至少的答案，這是為什么呢？首先學(xué)生覺得5比6要少，其次學(xué)生覺得第6條船租來就浪費(fèi)了，應(yīng)該舍去。

這個(gè)例題的信息中的“最多”和“至少”這兩個(gè)詞語，字面解讀很簡單，但是結(jié)合具體情境需要“去尾”還是“進(jìn)一”的時(shí)候?qū)W生就出現(xiàn)了困難。對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生而言，他們剛接觸有余數(shù)的除法，本身對(duì)余數(shù)的理解就有些困難，再加上還要思考如何調(diào)整余數(shù)，可謂是難上加難。可見，學(xué)生的理解不能單單停留在詞語的字面理解上，那么教師如何結(jié)合情境讓學(xué)生能更好地理解詞語的意思，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力呢？

一、問題的剖析

（一）追根溯源，找出學(xué)生的起點(diǎn)

《有余數(shù)除法解決問題》需要結(jié)合具體的情境，一般題目表征同時(shí)呈現(xiàn)“最多”和“至少”，其實(shí)“最多”和“至少”這兩個(gè)詞語在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)頻率還是比較高的。

據(jù)筆者統(tǒng)計(jì)，“最多”第一次出現(xiàn)在一年級(jí)下冊(cè)（如圖1），這里的“最多”通過讓學(xué)生圈一圈，畫一畫，辨一辨得到答案。此外，在練習(xí)中出現(xiàn)了與“最多”意義相同的詞——“限載”（如圖2），學(xué)生在理解“限載”的時(shí)候，一般會(huì)有兩種想法：一種是只能坐60人，一種是最多坐60人，一年級(jí)的學(xué)生通過辨析，也理解過最多坐60人的意思。

“至少”最早滲透在同數(shù)連減課堂練習(xí)中，但沒有再直接出現(xiàn)。

如：20只小兔，6只住一個(gè)小屋，3間小屋夠嗎？

再如：媽媽買了18個(gè)梨，4個(gè)裝1袋，需要（ ）個(gè)袋子才能全部裝完？

學(xué)生是利用圈一圈，畫一畫來解決問題，圖（3）是一年級(jí)學(xué)習(xí)同數(shù)連減后學(xué)生探究作業(yè)的部分作品。

綜上所述，二年級(jí)學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，但是情境分析是難點(diǎn)，之前的學(xué)習(xí)中，“最多”和“至少”都是單獨(dú)出現(xiàn)的，問題指向比較清晰。而二年級(jí)《有余數(shù)除法解決問題》中是同時(shí)呈現(xiàn)的，且信息中的“最多”不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)范圍，學(xué)生理解起來有困難。另外“至少”學(xué)生的理解誤區(qū)是認(rèn)為每條坐滿的船只才是需要租賃的船只，這是學(xué)生對(duì)于問題辨析的混淆。

（二）序列分析，體現(xiàn)解讀的必要

從上表不難發(fā)現(xiàn)，“最多”“至少”貫穿整個(gè)小學(xué)學(xué)習(xí)階段。分布脈絡(luò)清晰，可以分成三條主線。第一條有余數(shù)除法，需要學(xué)生對(duì)余數(shù)根據(jù)實(shí)際情況做出合理處理;第二條，在學(xué)習(xí)了幾何圖形以后，求周長、總棱長、表面積等，但這塊內(nèi)容，“至少”更多是為了說明材料的損耗忽略不計(jì)。

如：一個(gè)長、寬、高分別為40cm、30cm、20cm的小紙箱，在所有的棱上粘上一圈膠帶，至少需要多長的膠帶？

第一條，學(xué)生在二年級(jí)的時(shí)候經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)情境分析不明確，導(dǎo)致最終結(jié)果判定失誤，但隨著學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)生最終能夠合理處理;第二條，幾何圖形的學(xué)習(xí)沒有什么大的問題，這也說明選擇合適的情景更有利于學(xué)生對(duì)這兩個(gè)詞語的理解。

第三條，在處理四年級(jí)上冊(cè)的運(yùn)籌問題、五年級(jí)下冊(cè)的找次品問題以及六年級(jí)下冊(cè)的鴿巢問題時(shí)，解決問題時(shí)都要考慮“至少”的問題，需要在多種解決方案中尋找最佳最優(yōu)的策略。但這塊內(nèi)容也是教師最費(fèi)心思的。究其原因，就是學(xué)生對(duì)“至少”“最多”理解不到位。

如：五年級(jí)下冊(cè)利用最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)來解決問題。學(xué)生很容易抓住關(guān)鍵詞“最多…‘至少”來進(jìn)行解決。但很多學(xué)生僅僅著眼于關(guān)鍵詞。例如下面這組題目：

1.用48盒核桃和36盒開心果裝成禮盒裝，且正好裝完，如果各禮盒裝中的核桃和開心果的盒數(shù)分別相同，每盒禮盒裝里至少有幾盒核桃，幾盒開心果？

2.把一張長20厘米，寬12厘米的長方形截成同樣大小，面積盡可能大的正方形，紙沒有剩余，至少可以截（4 12 15 60）。

對(duì)于這兩題解答情況我們做了抽樣分析，第1題正確率為37.8%，主要原因是很多學(xué)生看到“至少”就下意識(shí)地求最小公倍數(shù);第2題正確率85.3%，也有部分學(xué)生看到“至少”直接求最小公倍數(shù)，但也有看到“盡可能大”求最大公因數(shù)。這恰恰證明了他們并沒有真正理解“至少”在這些題中的含義。

二、解決策略

（一）關(guān)注情境創(chuàng)設(shè)，放大多元表征

課前針對(duì)性地對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測，“46個(gè)同學(xué)去春游，每輛車限坐8人，至少需要用幾輛車？”目的是想了解學(xué)生的圖示表征、分析問題和解決問題的能力。 基于教材和前測分析，大多數(shù)學(xué)生還是能很好地理解，只有部分學(xué)生還存在困惑。調(diào)查發(fā)現(xiàn)這部分學(xué)生不明白46人要全部上車，只關(guān)注了問題中的“至少”兩字，認(rèn)為剩余的人不上車才能達(dá)到車輛最少。這部分學(xué)生對(duì)于有余數(shù)除法算式各部分意義不夠理解，所以在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)的時(shí)候創(chuàng)設(shè)了有效的情境吸引學(xué)生自主參與，也有利于學(xué)習(xí)過程中的動(dòng)態(tài)生成，在較短時(shí)間內(nèi)解決問題。所以，我們兩節(jié)課分別設(shè)計(jì)了以“租船問題”“烘焙房中的數(shù)學(xué)問題”為情境依托展開任務(wù)設(shè)計(jì)。

“烘焙店里有22個(gè)香甜面包，每包最多裝4個(gè)，至少需要裝多少包？”

“22個(gè)學(xué)生去劃船，每條船限乘4人。他們至少要租多少條船？”

對(duì)于余數(shù)的調(diào)整都是放在具體情境中展開的，激起學(xué)生探究的欲望，有效引導(dǎo)學(xué)生具象表征，包括圖示表征、語言表征和算式表征，然后做具體的分析溝通。

（二）厘清任務(wù)指向，分散學(xué)習(xí)難點(diǎn)

讓學(xué)生解讀信息之后，通常教師就讓學(xué)生嘗試解決問題。但是這個(gè)問題相對(duì)來說比較難以理解，所以教師要幫助學(xué)生一起解讀，并進(jìn)一步厘清任務(wù)的指向。

首先學(xué)生找完信息后，先確認(rèn)乘船人數(shù)，必須“全部上船”;再解讀信息“限乘”，學(xué)生的回答不外乎兩種：只能坐4人或最多坐4人，那么這兩種答案有區(qū)別嗎？要讓學(xué)生進(jìn)一步辨析，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“限乘”和“最多”的對(duì)接。然后再把“限乘”改為“最多”，最多4人，就是不能超過4人，可以坐4人，也可以坐少于4人。那么要使船最少，又該怎么坐呢？引導(dǎo)學(xué)生思考必須“盡量坐滿”，抓住這兩條，學(xué)生在具體圖示表征的時(shí)候就有了抓手，不會(huì)偏離方向。

通過圖示表征和算式表征，然后比較辨析理解“+1”。學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，自主體驗(yàn)：畫一畫、寫一寫、算一算、比一比，使不同思維水平的學(xué)生以不同的方式尋求答案，然后進(jìn)行匯集，交流，促使學(xué)生更好地理解：只有盡量每條船坐滿，才會(huì)出現(xiàn)船的數(shù)量最少，從而更好地理解了“至少…‘進(jìn)1”的道理，掌握解決問題的方法。從而讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)，從生活經(jīng)驗(yàn)與常識(shí)中的提煉和發(fā)展。

（三）題組對(duì)比強(qiáng)化，豐富情境體驗(yàn)

一個(gè)例題被解決了，并不代表學(xué)生就學(xué)會(huì)了，教師要通過豐富的情境模擬，使學(xué)生對(duì)具體的情境有一定的辨析力。通過題組對(duì)比、快速選擇等，進(jìn)一步讓學(xué)生內(nèi)化“最多”“至少”，拓展知識(shí)，鍛煉思維。

1.有17元錢，買3元一本的筆記本，最多可以買幾本筆記本？

17÷3=5（本）……2（元）

2.春游搭帳篷，一共有17人，每個(gè)帳篷住3人，至少要搭幾頂帳篷？

17÷3=5（頂）……2（人）

5 +1=6（頂）

總之，學(xué)習(xí)需要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的全過程，在經(jīng)歷知識(shí)的形成過程中感悟，在感悟中思考，在思考中鍛煉思維、建構(gòu)知識(shí)。但教師也應(yīng)該明白很多問題應(yīng)關(guān)注序列、關(guān)注細(xì)節(jié)。讓教師和學(xué)生一起經(jīng)歷知識(shí)獲取的過程，與學(xué)生共同分享獲得知識(shí)的快樂。

■參考文獻(xiàn)

[1]陳瑛.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2014（09）.

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