多元聯(lián)結(jié)：讓數(shù)學(xué)理解真正發(fā)生

李毅

【摘要】數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生在“關(guān)聯(lián)”中學(xué)習(xí)，要以合適的方式，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的各要素之間創(chuàng)建“聯(lián)結(jié)”，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)本質(zhì)準(zhǔn)確建構(gòu)心理意義，形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解。本文通過對(duì)幾個(gè)教學(xué)片段的賞析，試圖提出創(chuàng)建“學(xué)習(xí)聯(lián)結(jié)”的多元方式：“沖突”聯(lián)結(jié)、“溯源”聯(lián)結(jié)、“遷移”聯(lián)結(jié)。

【關(guān)鍵詞】多元聯(lián)結(jié) 數(shù)學(xué)理解 數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是以一定的方式進(jìn)行聯(lián)結(jié)，以一定的邏輯關(guān)系組成的一個(gè)有機(jī)整體。這一特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生在“關(guān)聯(lián)”中學(xué)習(xí)，要以合適的方式，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的各要素之間創(chuàng)建“多元聯(lián)結(jié)”，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)本質(zhì)準(zhǔn)確建構(gòu)心理意義，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)科知識(shí)的深度理解。

一、“沖突”聯(lián)結(jié)：借助顯性理解隱性

“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”，抽象是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征，直觀的圖形、數(shù)據(jù)等載體背后往往隱藏著抽象的特征、規(guī)律，有些數(shù)學(xué)知識(shí)本身的含義更是內(nèi)隱，難以理解。隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，如何才能讓它直觀地顯化？

案例：平均數(shù)的虛擬性

情境：2分鐘投籃比賽

借助小丁丁，明確了通過“比平均數(shù)”判斷投籃水平高低后，教師分三個(gè)層次引導(dǎo)學(xué)生找4個(gè)同學(xué)五輪投籃個(gè)數(shù)的平均數(shù)，在找的過程中探索平均數(shù)的求法，同時(shí)體驗(yàn)平均數(shù)的重要特性——虛擬性。

1.特殊數(shù)列，發(fā)現(xiàn)“移多補(bǔ)少”

師：小胖投籃的平均數(shù)是多少？小亞呢？

生：小胖每輪都是5個(gè)，所以平均每輪投中5個(gè);而小亞投籃的個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，在直觀統(tǒng)計(jì)圖的“刺激”下，學(xué)生想到了 “移多補(bǔ)少”的方法，并在課件中的統(tǒng)計(jì)圖上動(dòng)手操作驗(yàn)證。

2.制造沖突，引出“求和平均”

教師趁熱打鐵：小巧投籃的平均數(shù)是多少？學(xué)生爭(zhēng)著要在電腦上移多補(bǔ)少，幾次下來，卻發(fā)現(xiàn)居然“平均不了”！高漲的熱情頓時(shí)被澆了冷水，但同時(shí)更激起學(xué)生的思考欲望，稍加思索，學(xué)生便提出了“求和平分”的計(jì)算方法。借助計(jì)算器，出乎意料地得到了小數(shù)結(jié)果：（8+8+4+7+5）÷5=6.4（個(gè)）。

3.再設(shè)沖突，體驗(yàn)“虛擬性”

師：6.4個(gè)，是實(shí)實(shí)在在投進(jìn)的個(gè)數(shù)嗎？

生1：不是投進(jìn)的個(gè)數(shù)，投籃個(gè)數(shù)沒有小數(shù)的。

生2：投籃個(gè)數(shù)不可能是半個(gè)的。

師：是啊，實(shí)際根本投不出6.4個(gè)，那6.4個(gè)到底是什么意思？

生1：6.4個(gè)是把5輪投的個(gè)數(shù)勻的一樣多的個(gè)數(shù)。

生2：6.4個(gè)就是5輪投的個(gè)數(shù)的平均數(shù)，不是真實(shí)投的個(gè)數(shù)。

生3：它表示的是這幾次投籃平均后的個(gè)數(shù)，不是哪一次投的個(gè)數(shù)。

師（總結(jié)）：平均數(shù)是一個(gè)虛擬的統(tǒng)計(jì)量。

師：小亞第三輪投的6個(gè)和平均數(shù)6個(gè)意思一樣嗎？

……

這段精彩的教學(xué)是顧亞龍老師執(zhí)教《平均數(shù)》一課時(shí)呈現(xiàn)的一個(gè)片段。顧老師的教學(xué)，創(chuàng)造性地給了學(xué)生“小數(shù)”這一直觀化的“思維拐杖”，“真實(shí)的個(gè)數(shù)”與“虛擬的個(gè)數(shù)”就此自然聯(lián)結(jié)，“6.4個(gè)是實(shí)實(shí)在在投進(jìn)的個(gè)數(shù)嗎？6.4個(gè)到底是什么意思？”精準(zhǔn)的兩次導(dǎo)疑，讓學(xué)生借助“小數(shù)”深刻體會(huì)到了平均數(shù)的虛擬性，真正理解了平均數(shù)的含義。

給隱性的知識(shí)以恰當(dāng)?shù)姆绞秸覍わ@性的“拐杖”，借助顯性聯(lián)結(jié)隱性，使內(nèi)隱的知識(shí)直觀外顯，理解自然發(fā)生。

二、“溯源”聯(lián)結(jié)：借助學(xué)具理解工具

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要掌握一些數(shù)學(xué)工具的使用，例如，直尺、量角器、圓規(guī)。那么，學(xué)生對(duì)這些工具的學(xué)習(xí)，是否僅需停留在操作使用技能的熟練程度上？會(huì)使用工具，是否就說明學(xué)生完全理解了操作的過程？ 我們?cè)鯓硬拍芙o學(xué)生一種完整、豐富、透徹的工具學(xué)習(xí)經(jīng)歷？

案例：圓規(guī)畫圓

1.畫圓的本質(zhì)

師：剛才我們一起認(rèn)識(shí)了圓一中同長(zhǎng)的獨(dú)一無二的本質(zhì)特征，你會(huì)畫一個(gè)圓嗎？

師：你能想到哪些畫圓的方法？（課件播放釘繩畫圓動(dòng)畫）畫圓時(shí)怎樣保證畫得圓？（一中，同長(zhǎng)——繩長(zhǎng)不變）

2.學(xué)具的缺陷

師（硬幣畫圓）：老師這兒有兩支鉛筆、一枚硬幣，誰能來畫一畫？

師：用硬幣畫圓有什么缺點(diǎn)？（畫不出大小不同的圓）

師（兩支鉛筆）：若只用這兩支鉛筆，能畫一個(gè)圓嗎？（實(shí)物投影展示）

師：這樣畫圓有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，就是可以畫出大小不同的圓。

師：你想不想來試試？看誰畫得又快又好。

師：用兩支鉛筆畫圓有什么感受？要注意什么？

師（小結(jié)）：要做到“一中”，這第一支鉛筆能不能移動(dòng)位置？要做到“同長(zhǎng)”，這兩支鉛筆的間距能不能改變？

3.工具的產(chǎn)生

師：聰明的人類，為了做到以上兩點(diǎn)，用針代替了這第一支鉛筆，便于固定位置，又用特殊的機(jī)械裝置，使這兩支筆既能自由調(diào)整間距又相對(duì)固定，這就是現(xiàn)在人們常用的專業(yè)的畫圓工具：圓規(guī)。

4.圓規(guī)的使用

師：拿出信封中的圓規(guī)，請(qǐng)你畫一個(gè)圓。 感覺怎么樣？用圓規(guī)畫圓既方便，又可以畫出大小不同的圓。

圓規(guī)畫圓的教學(xué)，我們往往偏重于使用技巧的教學(xué)：如何捏、如何旋轉(zhuǎn)才能畫得更好，很少去思考圓規(guī)這個(gè)工具背后所關(guān)聯(lián)的知識(shí)本質(zhì)、發(fā)明創(chuàng)造的由來以及承載的精神文化。上述的片段，深刻追溯圓規(guī)的構(gòu)造原理，利用簡(jiǎn)易學(xué)具巧妙聯(lián)結(jié)專業(yè)工具，使學(xué)生對(duì)工具的認(rèn)識(shí)也能“知其然，也知其所以然”：首先借助釘繩畫圓說明畫圓的本質(zhì)就是圓的特征“一中同長(zhǎng)”;接著設(shè)計(jì)了硬幣畫圓和兩支鉛筆畫圓兩次畫圓活動(dòng)，這兩件自制學(xué)具用來畫圓，存在著各自的缺陷：不能畫大小不同的圓，難以保持兩腳間的距離不變，在學(xué)生體會(huì)到了學(xué)具的缺陷后，再引出專業(yè)畫圓工具——圓規(guī)，對(duì)比之下，學(xué)生對(duì)圓規(guī)的構(gòu)造原理不言自明，理解清晰;而經(jīng)歷了學(xué)具到工具的改進(jìn)過程，也能讓學(xué)生感受到前人的智慧和不斷追求發(fā)展的數(shù)學(xué)精神。

對(duì)已然定型固化的工具，溯其構(gòu)造根源，創(chuàng)造恰當(dāng)?shù)脑蛯W(xué)具，借助學(xué)具聯(lián)結(jié)工具，使工具“活化”，理解自然發(fā)生。

三、“遷移”聯(lián)結(jié)：借助已知理解未知

數(shù)學(xué)知識(shí)是前后關(guān)聯(lián)、邏輯嚴(yán)密的一個(gè)系統(tǒng)整體，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、螺旋上升的過程。對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，“未知”都可由相關(guān)聯(lián)的“已知”發(fā)展而來。如何才能找準(zhǔn)已知和未知的結(jié)合點(diǎn)，并構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的遷移學(xué)習(xí)，從而構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？

案例：分?jǐn)?shù)單位

1.已知：自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位

師：一個(gè)長(zhǎng)方形用自然數(shù)1表示，那么兩個(gè)長(zhǎng)方形是幾（圖1）？為什么？

生：是2，因?yàn)樗?個(gè)一組成的。

師（出示圖2）：現(xiàn)在是幾了？為什么？

生：是5，它由5個(gè)一組成。

師：是啊，一是自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位，有幾個(gè)一組成的數(shù)就是幾。除了一，我們還學(xué)過其他的計(jì)數(shù)單位嗎？

2.遷移：分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位

師：現(xiàn)在圖3中的陰影部分該用哪個(gè)數(shù)表示？為什么？

分?jǐn)?shù)單位是緊跟分?jǐn)?shù)的意義之后一個(gè)“淺顯易懂”的概念，但分?jǐn)?shù)單位的數(shù)學(xué)意義僅僅是“分子是1的分?jǐn)?shù)”嗎？學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解還有什么缺失嗎？上述的教學(xué)片段給我們以新的教學(xué)視角：分?jǐn)?shù)單位的本質(zhì)是一種計(jì)數(shù)單位，以計(jì)數(shù)單位為上位概念聯(lián)結(jié)分?jǐn)?shù)單位，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)數(shù)系統(tǒng)的拓展。上述片段中首先借助直觀圖激活學(xué)生關(guān)于自然數(shù)計(jì)數(shù)單位的經(jīng)驗(yàn)，然后順勢(shì)將“1”平均分，得到分?jǐn)?shù)，以“它能像自然數(shù)一樣數(shù)出來嗎？用多少來數(shù)？”啟發(fā)學(xué)生將自然數(shù)的計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)遷移類推到分?jǐn)?shù)中來，在多次的“數(shù)一數(shù)”的過程中，學(xué)生真切體驗(yàn)到了幾分之一這類分?jǐn)?shù)的特殊性——它們是組成分?jǐn)?shù)的基本單位。最后通過求同比較“它們有什么共同點(diǎn)？”，分?jǐn)?shù)單位的概念就水到渠成了。由已知的“計(jì)數(shù)單位”生長(zhǎng)出未知的“分?jǐn)?shù)單位”，學(xué)生獲得的就不僅僅是一個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)，而是形成了一個(gè)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，真正理解了概念的本質(zhì)。

抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的核心本質(zhì)，依據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知水平，借助已知聯(lián)結(jié)未知，合理構(gòu)建已知到未知的變化序列，理解自然發(fā)生。