自由曲面?zhèn)茹姷毒咻喞c軌跡同步優(yōu)化方法

王晶，羅明，張定華，陳冰

1.西北工業(yè)大學(xué) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)高性能制造工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072 2.中國(guó)科學(xué)院 西安光學(xué)精密機(jī)械研究所，西安 710119

數(shù)控加工中，按照刀具參與切削部分的不同，可將其分為端銑和側(cè)銑兩大類。端銑是利用刀具端部切削刃切削工件的被加工曲面，由于刀具參與切削的區(qū)域較小，加工過(guò)程中誤差容易控制，因此其加工效率低，但加工精度高。側(cè)銑則是利用刀具側(cè)刃切削工件被加工曲面，由于刀具參與切削的范圍大，但刀具與曲面間的相對(duì)位置關(guān)系復(fù)雜，加工誤差控制困難，因此其加工精度相對(duì)端銑要低，但加工效率更高、加工表面質(zhì)量更好。一般在復(fù)雜零件精加工中常使用端銑方式，而側(cè)銑由于上述原因，其工程應(yīng)用難度較大，使用范圍也僅限于直紋面、螺旋槳葉片等特定形狀或特殊應(yīng)用場(chǎng)合。在實(shí)際加工中，由于干涉等原因，對(duì)于自由曲面的凹面區(qū)域一般無(wú)法實(shí)現(xiàn)真正意義上的側(cè)銑加工[1]。

近年來(lái)，為了提高加工效率和工件表面質(zhì)量，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)側(cè)銑進(jìn)行了大量的研究。Wang和Yu[2]根據(jù)曲面的局部幾何性質(zhì)，給出了圓柱銑刀側(cè)銑加工自由曲面的方法和加工帶寬計(jì)算方法，對(duì)于凸面區(qū)域，要求刀軸方向盡量與曲面的主曲率最小絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的方向一致，以獲得最大的加工帶寬。曹利新等[3]提出二階密切法，從微分幾何角度研究了五軸加工中圓柱銑刀線接觸自由曲面的幾何原理，實(shí)現(xiàn)了刀具表面和被加工曲面的密切或近似密切。吳寶海和王尚錦[4]針對(duì)具有嚴(yán)格凸切削刃的側(cè)銑加工刀具，提出了不發(fā)生局部干涉的充要條件是切觸點(diǎn)處刀具曲面的正向杜邦指標(biāo)線位于被加工曲面的正向杜邦指標(biāo)線之內(nèi)，并給出了實(shí)施干涉檢查的判斷準(zhǔn)則以及消除干涉的修正方法。蔡永林等[5-7]基于鼓形刀殘留高度的軌跡計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了任意曲面葉輪葉片五軸數(shù)控加工刀具軌跡的計(jì)算。李志強(qiáng)和陳五一[8]建立了圓環(huán)面刀具的實(shí)際切削刃數(shù)學(xué)表達(dá)式，分析了主曲率匹配法在圓環(huán)面刀具加工中的刀具刃形誤差。陳良驥和王永章[9]則研究了五軸側(cè)銑整體葉輪的刀軸矢量確定方法，即對(duì)相鄰葉片的母線進(jìn)行插值，從而確定無(wú)干涉的刀軸矢量。Harik等[10]總結(jié)了包括刀具選擇在內(nèi)的五軸側(cè)銑加工的研究現(xiàn)狀。

在自由曲面?zhèn)茹娂庸ぶ校捎谇娓魑恢蒙锨什煌?，如果刀具選擇不合適，一方面容易發(fā)生局部曲率干涉，影響曲面加工質(zhì)量，另一方面也會(huì)降低加工效率。因此合理選擇刀具顯得非常重要。而目前在刀具軌跡規(guī)劃過(guò)程中，刀具形狀及尺寸均由工藝人員根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)試選，這對(duì)工藝人員能力素質(zhì)要求非常高，同時(shí)選擇結(jié)果也較為保守。文獻(xiàn)[11-14]研究了刀具尺寸的選擇，然而這些研究主要集中于圓柱刀具直徑的優(yōu)化，對(duì)于側(cè)銑加工中刀具形狀設(shè)計(jì)的研究則較少。Chaves-Jacob等[15]提出了一種刀具形狀自適應(yīng)計(jì)算方法(Computation of Adapted Tool Shape, CATS)來(lái)優(yōu)化直紋面?zhèn)茹娂庸ぶ械牡毒?，繼而減少給定軌跡上刀具與曲面的干涉。Li等[16]為確保曲面能夠用于側(cè)銑加工，根據(jù)鼓形刀包絡(luò)面設(shè)計(jì)了相應(yīng)的自由曲面，利用該鼓形刀能夠?qū)崿F(xiàn)設(shè)計(jì)曲面的高精度加工。Monies等[17]提出了一種優(yōu)化直紋面?zhèn)茹娂庸ぶ绣F形刀具尺寸的方法，其底圓半徑和錐角通過(guò)計(jì)算刀具曲面和設(shè)計(jì)曲面間的加工誤差確定。Yan和Luo等[18-19]基于曲面自適應(yīng)曲率匹配，結(jié)合曲面擬合技術(shù)，建立了整體葉盤(pán)側(cè)銑加工鼓形刀輪廓設(shè)計(jì)優(yōu)化算法。上述算法僅能用于標(biāo)準(zhǔn)形狀刀具的尺寸優(yōu)化，不能用于非標(biāo)準(zhǔn)刀具的設(shè)計(jì)。Li等[20]提出了一種用于整體葉盤(pán)五軸加工中新的鼓球銑刀(Barrel-Ball Milling, BBM)，該刀具可以看作底面為球狀的鼓錐形刀具。BBM刀具的尺寸可以通過(guò)自由曲面最大主曲率的最大值確定，這與文獻(xiàn)[7]中的選擇原理類似。Zheng等[21]將傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)刀具近似為一組球體，繼而提出了一種新的無(wú)干涉的刀具尺寸優(yōu)化方法。與此類似，Zhu等[22]為降低加工誤差，利用球掃掠刀具回轉(zhuǎn)面，并結(jié)合基于距離的刀具軌跡優(yōu)化函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了五軸數(shù)控加工中刀具形狀和軌跡的優(yōu)化。然而，受刀具表達(dá)方式的限制，上述方法主要基于已知形狀的刀具設(shè)計(jì)。

對(duì)于整體葉盤(pán)、整體葉輪等自由曲面類零件，其中通常包含幾十個(gè)形狀相同的葉片，而設(shè)計(jì)一種專用刀具能夠有效提高加工質(zhì)量和效率。但目前刀具設(shè)計(jì)方面的研究主要集中于給定形狀下刀具參數(shù)的優(yōu)化，對(duì)于未知刀具形狀下的側(cè)銑加工軌跡規(guī)劃問(wèn)題的研究還較少。在國(guó)外，普惠公司[23-24]開(kāi)發(fā)了ASFM/S系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了針對(duì)自由曲面葉片的側(cè)銑加工葉片曲面重構(gòu)、成型刀具設(shè)計(jì)以及對(duì)應(yīng)的軌跡生成，目前已成功用于50種零件的加工中，其中包含39種發(fā)動(dòng)機(jī)零件。然而，由于該系統(tǒng)在刀具設(shè)計(jì)和軌跡規(guī)劃中并沒(méi)有充分考慮刀軸的影響，這可能造成側(cè)銑加工過(guò)程中相鄰刀軸的突變，從而導(dǎo)致刀具破損、表面質(zhì)量下降等問(wèn)題的發(fā)生。而在國(guó)內(nèi)，目前該方面的研究還較少，因此迫切需要針對(duì)以上問(wèn)題，給出一種刀具輪廓設(shè)計(jì)與側(cè)銑軌跡規(guī)劃方法。

本文以自由曲面四軸側(cè)銑加工為對(duì)象，開(kāi)展刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化方法的研究。首先，通過(guò)給出刀具形狀和加工軌跡的表達(dá)形式，分別建立了加工誤差優(yōu)化模型和刀軸光順性優(yōu)化模型，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化模型；其次，為計(jì)算同步優(yōu)化模型初值，分別給出了初始刀位和刀具輪廓計(jì)算方法，并結(jié)合序列逼近法，實(shí)現(xiàn)了同步優(yōu)化模型的求解，獲得了最優(yōu)刀具輪廓及對(duì)應(yīng)的側(cè)銑加工軌跡；最后，以自由曲面為對(duì)象，驗(yàn)證了該同步優(yōu)化方法在自由曲面?zhèn)茹娂庸さ毒咻喞O(shè)計(jì)及加工軌跡規(guī)劃中的有效性。

1 刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化建模

對(duì)于自由曲面的側(cè)銑加工中主要存在的問(wèn)題有兩點(diǎn)：一是刀具與工件間的干涉問(wèn)題；二是刀軸光順問(wèn)題。其中干涉問(wèn)題主要為了在保證加工精度的前提下，防止刀具與工件間發(fā)生過(guò)切或欠切現(xiàn)象。而刀軸光順問(wèn)題則是為了防止相鄰刀軸間角度變化過(guò)大，而導(dǎo)致瞬時(shí)加速度或切削力增大，繼而影響切削表面質(zhì)量甚至引發(fā)斷刀風(fēng)險(xiǎn)。為解決上述加工中存在的問(wèn)題，需要建立一種同時(shí)考慮加工精度和刀軸光順性的刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化模型。

1.1 運(yùn)動(dòng)刀具描述

為實(shí)現(xiàn)圖1所示通用刀具形狀的描述，以刀尖點(diǎn)Ot為原點(diǎn)，刀軸方向?yàn)閦t軸建立刀具坐標(biāo)系Ot-xtytzt，并設(shè)刀具徑向參數(shù)θ∈[0, 2π)，刀具軸向參數(shù)u∈[us,ue]，xtOtzt平面上的刀具母線Ct(u) =[Cx(u),Cz(u)]，則對(duì)應(yīng)的刀具回轉(zhuǎn)面St(u,θ)可表示為

St(u,θ)=[Cx(u)cosθ,Cx(u)sinθ,Cz(u)]T

(1)

圖1 通用刀具模型Fig.1 General tool model

定義刀軸軌跡面為刀具軸線沿加工軌跡線掃掠形成的曲面，由于其中包含了加工過(guò)程中刀尖點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的刀軸矢量，因此可由其描述加工軌跡。同時(shí)，由于刀具軸線通常為直線段，故刀軸軌跡面一般為直紋面。定義刀具運(yùn)動(dòng)方向的參數(shù)t∈[ts,te]，Qs(t)和Qe(t)分別為刀軸軌跡面上刀尖和刀根運(yùn)動(dòng)形成的軌跡線，則刀軸軌跡面可表示為

(2)

式中:

(3)

其中：Nj,k(t)為k次B樣條基函數(shù)；Vs,j為Qs(t)上的控制頂點(diǎn)；Ve,j為曲線Qe(t)上的控制頂點(diǎn)；n+1為邊界曲線上控制點(diǎn)數(shù)量。

則t時(shí)刻，刀軸的瞬時(shí)方向T(t)可以表示為

(4)

參考文獻(xiàn)[25]，并結(jié)合刀具回轉(zhuǎn)面方程和刀軸軌跡面方程，可以得到任意形狀刀具沿加工軌跡運(yùn)動(dòng)形成的刀具包絡(luò)面，如圖 2所示。

圖2 刀軸軌跡面及刀具包絡(luò)面Fig.2 Tool axis trajectory surface and tool envelope surface

1.2 四軸加工軌跡整體優(yōu)化模型

1.2.1 基于加工誤差的優(yōu)化模型

對(duì)于四軸加工而言，由于刀軸始終在固定的擺刀平面Π內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)Π對(duì)應(yīng)的法矢為nΠ，則有T(t)·nΠ=0，結(jié)合式(4)可以得到

(5)

則式(5)恒成立的充分條件是

(6)

(7)

式中：m+1為工件曲面上的采樣點(diǎn)pi的數(shù)量；di為pi點(diǎn)到刀具包絡(luò)面的有向最短距離；[ξ1,ξ2]為加工過(guò)程中工件允許的偏差范圍。

1.2.2 基于刀軸光順性的優(yōu)化模型

為保證刀軸在加工過(guò)程中平滑過(guò)渡，應(yīng)保證刀軸軌跡面Sa(u,t)盡可能光順。曲面的幾何光順性通?？梢杂们娴膽?yīng)變能量來(lái)表示，為簡(jiǎn)化計(jì)算，這里引入薄板能量模型E(w)[26-27]近似該曲面能量來(lái)表示軌跡面Sa(u,t)的光順性。

(8)

將式(2)代入式(8)整理后可得

E(w)=wTMw

(9)

式中:M為6(n+1)×6(n+1)的剛度矩陣，可表示為

(10)

B為3×6(n+1)的矩陣，可表示為

B=[>B00,…,Bi 0,…,Bn0,B01,…,Bi1,…,Bn1]

(11)

式中:

(12)

加工過(guò)程中為保證刀軸整體光順，依然可以通過(guò)調(diào)整w中的控制頂點(diǎn)位置，在保證加工精度的前提下，降低曲面應(yīng)變能以達(dá)到光順刀軸軌跡面，繼而實(shí)現(xiàn)刀軸整體光順的目的。因此，建立如下基于刀軸光順性的側(cè)銑軌跡優(yōu)化模型：

(13)

1.2.3 加工軌跡整體優(yōu)化模型

為提高加工精度、改善切削狀態(tài)、提升零件表面質(zhì)量，這里基于加工誤差優(yōu)化模型和刀軸光順優(yōu)化模型，建立側(cè)銑加工軌跡整體優(yōu)化模型:

(14)

式中：α∈[0, 1]為權(quán)系數(shù)，用于控制加工誤差和刀軸光順性在優(yōu)化過(guò)程中所占的比重；D*為模型式(7)優(yōu)化結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)D(w)的值；E*為模型式(13)優(yōu)化結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)E(w)的值。

由于D*為模型式(7)優(yōu)化結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)D(w)的值，并且兩式具有相同的約束條件，因此D(w)≥D*恒成立；同理，對(duì)于E(w)≥E*也恒成立。因此，模型式(14)可簡(jiǎn)化為

(15)

1.3 刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化模型

(16)

為實(shí)現(xiàn)刀具參數(shù)與刀軸整體光順的同步優(yōu)化，結(jié)合式(9)可知

(17)

參考模型式(13)，可以建立刀具輪廓與刀軸光順性同步優(yōu)化模型

(18)

為實(shí)現(xiàn)同時(shí)優(yōu)化側(cè)銑加工中刀具輪廓和加工軌跡的目的，這里參考模型式(15)建立同步優(yōu)化模型：

(19)

由于該同步優(yōu)化模型在使用過(guò)程中需要根據(jù)不同曲面形狀，設(shè)計(jì)相應(yīng)的刀具輪廓，并規(guī)劃側(cè)銑加工軌跡。因此，在考慮生產(chǎn)周期和成本等因素的情況下，本文提出的方法主要適用于加工具有大量相同或類似結(jié)構(gòu)的零件中，如整體葉盤(pán)或整體葉輪等。這類零件中通常包含幾十張形狀相同的葉片曲面，并且由于材料難加工，故其加工周期通常較長(zhǎng)，且刀具需求量大，加工成本高。

2 同步優(yōu)化模型求解

2.1 模型求解策略

對(duì)于刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化模型式(19)而言，由于其目標(biāo)函數(shù)中包含刀具包絡(luò)面與工件曲面間干涉量d(x)，一般情況下其很難用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表達(dá)來(lái)描述，因此不能直接采用傳統(tǒng)的線性規(guī)劃法(圖形法、單純形法等)、非線性規(guī)劃法(黃金分割法、最速下降法、Newton法、Powell法、Lagrange乘子法和序列無(wú)約束極小化法等)或二次規(guī)劃法(罰函數(shù)法、Wolfe算法和Lemke算法等)來(lái)求解，為此這里基于序列逼近法(Successive Approximation Method, SAM)給出其具體求解過(guò)程。序列逼近法的基本思路是在當(dāng)前解處將目標(biāo)函數(shù)和約束條件Taylor展開(kāi)，并構(gòu)造已有數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的求解，并進(jìn)行反復(fù)迭代直至算法收斂，繼而得到原問(wèn)題的最優(yōu)解。其具體步驟為

1) 初始解為x(0)，計(jì)算原始目標(biāo)函數(shù)值F(x(0))，并令i=0。

2) 將目標(biāo)函數(shù)和約束條件在x(i)處二階Taylor展開(kāi)，并構(gòu)造新的關(guān)于Δx的優(yōu)化問(wèn)題，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為典型的二次規(guī)劃問(wèn)題。

3) 利用二次規(guī)劃法求解新的優(yōu)化問(wèn)題，得到相應(yīng)的最優(yōu)解Δx*。

4) 取x(i+1)=x(i)+Δx*，并計(jì)算x(i+1)處原始目標(biāo)函數(shù)值F(x(i+1))。

5) 判斷計(jì)算結(jié)果是否滿足終止條件，當(dāng)滿足時(shí)，令最優(yōu)解x*=x(i+1)，并結(jié)束計(jì)算；否則，令i=i+1，并返回2)。

因此，為求解刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化模型，需要分別將模型式(16)、式(18)和式(19)轉(zhuǎn)化為典型二次規(guī)劃問(wèn)題。令x(s)為第s次序列逼近得到的最優(yōu)解，將d(x)在x(s)處一階Taylor展開(kāi)，有

O((x(s))2)

(20)

則考慮微分?jǐn)_動(dòng)x(s)+Δx下，模型式(16)的非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性最小二乘問(wèn)題：

(21)

式中：Δxj=[Δx3j, Δx3j+1, Δx3j+2]。

定義x=x(s)+Δx，并令

(22)

在考慮微分?jǐn)_動(dòng)x(s)+Δx下，模型式(18)的非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題

(23)

同理，在考慮微分?jǐn)_動(dòng)x(s)+Δx下，將式(21) 和式(23)代入式(19)，則對(duì)應(yīng)的刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題:

(24)

2.2 初始刀軸軌跡面控制參數(shù)計(jì)算

為減少優(yōu)化問(wèn)題求解過(guò)程的迭代步數(shù)，應(yīng)盡可能保證初始刀軸軌跡面控制參數(shù)w0與最優(yōu)值近似，故這里給出基于兩點(diǎn)偏置的初始刀軸軌跡面計(jì)算方法。如圖3所示，設(shè)工件曲面Sp(u,v)的參數(shù)u×v∈[us,ue]×[vs,ve]。

令邊界線Cs上第j個(gè)點(diǎn)Ps,j=Sp(uj,vs)，邊界線Ce上第j個(gè)點(diǎn)Pe,j=Sp(uj,ve)，點(diǎn)Ps,j在曲面Sp上的法矢為ns,j，點(diǎn)Pe,j在曲面Sp上的法矢為ne,j，刀具平均半徑期望值為R0，采樣點(diǎn)數(shù)量為a+1，則有

(25)

圖3 初始刀軸軌跡面控制參數(shù)計(jì)算Fig.3 Calculation of control parameters on initial tool axis trajectory surface

對(duì)于四軸加工而言，為將初始刀軸約束在擺刀平面Π內(nèi)，令

(26)

則Q′s,jQ′e,j為當(dāng)前位置上對(duì)應(yīng)的初始刀軸矢量。為計(jì)算初始刀軸矢量對(duì)應(yīng)參數(shù)w0，利用兩端具有重節(jié)點(diǎn)的k次B樣條曲線擬合點(diǎn)集{Q′s,0,Q′s,1,…,Q′s,j, …,Q′s,a}和{Q′e,0,Q′e,1,…,Q′e,j, …,Q′e,a}，令擬合后的控制點(diǎn)為{Vs,0,Vs,1,…,Vs,i, …,Vs,n}和{Ve,0,Ve,1,…,Ve,i, …,Ve,n}，為保證點(diǎn)Q′s,j和Q′e,j在各自擬合曲線上有相同參數(shù)，可按照式(27)和式(28)配置樣條節(jié)點(diǎn)向量。

利用弦長(zhǎng)參數(shù)化法分別對(duì)兩組擬合點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化處理，即

(27)

為保證擬合曲線上參數(shù)一致性，結(jié)合統(tǒng)一平均技術(shù)給出如下節(jié)點(diǎn)配置公式[28]

ui=

(28)

2.3 初始刀具輪廓參數(shù)計(jì)算

將圖3中的直線Qs,jQe,j按照等間距離散，得到離散點(diǎn)qj,i，則有

(29)

如圖4所示，以Qs,jQe,j為法矢構(gòu)造平面ΠQs,jQe,j，并計(jì)算平面ΠQs,jQe,j上離散點(diǎn)qj,i到工件曲面的最近距離點(diǎn)pj,i，則其滿足

(30)

上述計(jì)算過(guò)程中當(dāng)沒(méi)有得到點(diǎn)qj,i上的Rj,i時(shí)，從點(diǎn)集{pj,i|i=0, 1, …,n}中刪除該點(diǎn)，得到新的點(diǎn)集{pj,l|l=0, 1, …,nj}時(shí)，則其對(duì)應(yīng)的Rj,l為平面ΠQs,jQe,j上qj,l點(diǎn)到曲面Sp的最短距離。令

(31)

圖4 刀具初始輪廓參數(shù)計(jì)算Fig.4 Calculation of parameters on initial tool contour

(32)

參考初始刀軸軌跡面控制參數(shù)計(jì)算方法，在不需要保證點(diǎn)集{Pt,f}與得到擬合曲線控制點(diǎn)集首尾點(diǎn)重合的前提下，進(jìn)行最小二乘擬合，得到控制頂點(diǎn){Vt,i|i=0,1,…,r}，并由此確定初始刀具輪廓參數(shù)τ0，結(jié)合前面確定的初始刀軸軌跡面控制參數(shù)w0，即可獲得同步優(yōu)化模型的初值x0。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文算法在刀具輪廓設(shè)計(jì)與加工軌跡優(yōu)化中的正確性及有效性，以圖5所示試件中的自由曲面S為對(duì)象，分別進(jìn)行指定刀具下的側(cè)銑加工軌跡規(guī)劃實(shí)驗(yàn)，以及未知刀具形狀下的刀具輪廓設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)。

圖5 自由曲面試件Fig.5 Specimen with freeform surface

3.1 加工軌跡規(guī)劃實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證利用本文方法生成的側(cè)銑加工軌跡正確性及有效性，針對(duì)圖5所示試件中的自由曲面S，在給定圖6所示橢圓形刀具的基礎(chǔ)上規(guī)劃四軸側(cè)銑加工軌跡，相應(yīng)的刀具參數(shù)如表1所示。

按照2.1節(jié)中給出的初始刀軸軌跡面控制參數(shù)計(jì)算方法，得到刀軸軌跡面控制頂點(diǎn)如表2所示，相應(yīng)的刀軸軌跡面及刀具位姿如圖7所示，可以看出這時(shí)刀具與工件間的偏差較大。

令側(cè)銑加工過(guò)程允許的偏差范圍為[-0.02, 0.20] mm，利用1.2節(jié)中給出的基于加工誤差的軌跡優(yōu)化模型式(7)，計(jì)算相應(yīng)的側(cè)銑加工軌跡并進(jìn)行分析，能夠得到曲面S上的誤差分布如圖8(a)所示，則工件上的加工誤差控制在[-0.02, 0.06] mm范圍內(nèi)，相應(yīng)的平均誤差為0.005 mm，均方差為0.011 mm。利用基于刀軸光順性的軌跡優(yōu)化模型式(13)計(jì)算相應(yīng)的側(cè)銑加工軌跡，能夠得到曲面S上的誤差分布如圖8(b)所示，則相應(yīng)的加工誤差為[-0.02, 0.14] mm，平均誤差0.020 mm，均方差0.023 mm。取加權(quán)系數(shù)α=0.8，并利用加工軌跡整體優(yōu)化模型式(15)計(jì)算相應(yīng)的側(cè)銑加工軌跡，能夠得到曲面S上的誤差分布如圖8(c)所示，則相應(yīng)的加工誤差為[-0.01, 0.07] mm，平均誤差0.011 mm，均方差0.010 mm。為方便與本文方法進(jìn)行對(duì)比，這里利用UG軟件生成相應(yīng)的側(cè)銑加工軌跡，可以得到曲面S上的誤差分布如圖8(d)所示，則相應(yīng)的加工誤差為[-0.05, 0.10] mm，平均誤差0.023 mm，均方差0.024 mm。

圖6 橢圓形刀具Fig.6 Oval form tool

表1 橢圓形刀具參數(shù)Table 1 Parameters of oval form tool

圖7 初始側(cè)銑加工軌跡Fig.7 Initial tool path of flank milling

表2 初始刀軸軌跡面控制頂點(diǎn)Table 2 Initial control points of tool axis trajectory surface

可以看出，采用基于加工誤差的軌跡優(yōu)化模型和加工軌跡整體優(yōu)化模型生成的側(cè)銑軌跡加工時(shí)，工件上的平均誤差和均方差均較小，說(shuō)明誤差集中在平均誤差附近，且整體較小。

圖9所示為在XYZA結(jié)構(gòu)四坐標(biāo)機(jī)床上加工時(shí)，不同軌跡優(yōu)化方式得到的側(cè)銑加工軌跡下，機(jī)床A角隨切削軌跡長(zhǎng)度的變化情況。

由計(jì)算結(jié)果可以看出，采用基于刀軸光順性的軌跡優(yōu)化模型和加工軌跡整體優(yōu)化模型生成的側(cè)銑加工軌跡加工時(shí)，刀軸整體較光順。因此，利用本文提出的軌跡整體優(yōu)化模型，能夠在保證刀軸光順前提下，盡可能減小加工誤差，繼而提高加工精度和工件表面質(zhì)量。表3所示為采用整體優(yōu)化模型得到的刀軸軌跡面控制頂點(diǎn)，相應(yīng)的側(cè)銑加工軌跡如圖10所示。

在YH850Z四坐標(biāo)加工中心上，利用圖6所示的橢圓刀具進(jìn)行實(shí)際加工，試件材料為環(huán)氧樹(shù)脂，能夠得到圖11所示的加工結(jié)果，可以看出切削完成后的表面較光順。

圖8 不同方法下被加工曲面上的側(cè)銑加工誤差分布Fig.8 Error distribution of different flank milling on sculptured surface

圖9 不同算法下的機(jī)床轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)變化關(guān)系Fig.9 Rotation coordinate changes of different methods on machine tool

表3 優(yōu)化后的刀軸軌跡面控制頂點(diǎn)

圖10 優(yōu)化后的側(cè)銑加工軌跡Fig.10 Optimized toolpath of flank milling

圖11 橢圓形刀具側(cè)銑加工結(jié)果Fig.11 Flank milling results with oval form tool

3.2 刀具輪廓設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證利用本文方法設(shè)計(jì)的刀具加工時(shí)，能夠進(jìn)一步提高加工質(zhì)量，這里同樣以圖5所示試件中的自由曲面S為對(duì)象，并取刀具平均半徑的期望值R0=5 mm，則根據(jù)2.3節(jié)給出的初始刀具輪廓參數(shù)計(jì)算方法可以得到圖12所示刀具母線。

可以看出這時(shí)刀具切削刃長(zhǎng)14.5 mm，為保證刀具能夠最大限度的切削被加工曲面，可將刀具母線適當(dāng)向兩端延伸，這里令刀具母線z∈[-5, 20]mm，同時(shí)將刀具母線沿z軸向右移動(dòng)5 mm，則這時(shí)初始刀具輪廓母線上的控制點(diǎn)坐標(biāo)如表4所示。

令加工過(guò)程中工件允許的偏差范圍為[-0.02, 0.20] mm，并取優(yōu)化過(guò)程中的加權(quán)系數(shù)α=0.8，則根據(jù)1.3節(jié)中給出的刀具輪廓與加工軌跡的同步優(yōu)化方法，可以得到表5所示的刀具輪廓母線上的控制點(diǎn)。

根據(jù)表5中的控制頂點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的刀具輪廓母線，同時(shí)為擴(kuò)展刀頭部分的可加工性，在刀具端部增加球頭部分，可設(shè)計(jì)圖13所示的刀具。

同步優(yōu)化結(jié)果中同時(shí)還會(huì)得到表6所示的刀軸軌跡面控制頂點(diǎn)，則相應(yīng)的側(cè)銑加工軌跡如圖14 所示。

通過(guò)分析能夠得到曲面S上的誤差分布如圖15 所示，則工件上的加工誤差控制在[-0.01, 0.04] mm范圍內(nèi)，相應(yīng)的平均誤差為0.003 mm，均方差為0.007 mm。與圖8(c)所示給定橢圓形刀具下軌跡整體優(yōu)化模型得到的側(cè)銑加工結(jié)果對(duì)比，可以看出其加工結(jié)果平均誤差和均方差均得到了大幅下降。因此，利用同步優(yōu)化模型設(shè)計(jì)的刀具和生成的軌跡進(jìn)行加工，能夠大幅提高加工結(jié)果精度。

圖12 初始刀具輪廓母線Fig.12 Initial generatrix of tool contour

表4 初始刀具輪廓母線上的控制點(diǎn)Table 4 Initial control points of tool generatrix

表5 優(yōu)化后刀具輪廓母線上的控制點(diǎn)Table 5 Optimized control points of tool generatrix

圖13 同步優(yōu)化下的刀具形狀Fig.13 Simultaneous optimized tool contour

表6 同步優(yōu)化下的刀軸軌跡面控制頂點(diǎn)

圖14 同步優(yōu)化下的側(cè)銑加工軌跡Fig.14 Simultaneous optimized toolpath of flank milling

圖16所示為在XYZA結(jié)構(gòu)四坐標(biāo)機(jī)床上加工時(shí)，機(jī)床A角隨切削軌跡長(zhǎng)度的變化情況?？梢钥闯?，相比于給定橢圓形刀具下軌跡整體優(yōu)化模型得到的側(cè)銑加工軌跡，刀軸變化更加光順，這在一定程度上進(jìn)一步提高了加工精度和工件表面質(zhì)量。

在YH850Z四坐標(biāo)加工中心上利用上述設(shè)計(jì)的刀具和生成的側(cè)銑加工軌跡進(jìn)行試件的加工，試件材料為環(huán)氧樹(shù)脂，能夠得到圖17所示的加工結(jié)果，可以看出切削完成后的表面較光順。

綜上所述，可以看出利用本文提出的刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化方法，設(shè)計(jì)的刀具形狀和生成的側(cè)銑加工軌跡加工時(shí)，能夠在保證刀軸光

圖15 同步優(yōu)化下被加工曲面上的誤差分布Fig.15 Error distribution of simultaneous optimization methods on sculptured surface

圖16 同步優(yōu)化下的機(jī)床轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)變化情況Fig.16 Rotation coordinate changes of simultaneous optimization methods on machine tool

圖17 設(shè)計(jì)刀具的側(cè)銑加工結(jié)果Fig.17 Flank milling results with designed tool

順前提下，進(jìn)一步降低試件表面上的加工誤差，提高加工精度和表面質(zhì)量。

4 結(jié) 論

1) 給出了刀具形狀和側(cè)銑加工軌跡的表達(dá)方法，建立了四軸側(cè)銑加工軌跡整體優(yōu)化模型，并在此基礎(chǔ)上給出了刀具輪廓與加工軌跡同步優(yōu)化方法。

2) 提出了基于序列逼近的同步優(yōu)化模型求解方法，并分別給出了模型優(yōu)化初值中刀軸軌跡面控制參數(shù)和刀具輪廓參數(shù)計(jì)算方法。

3) 以自由曲面試件為對(duì)象，分別通過(guò)指定刀具下的側(cè)銑加工軌跡規(guī)劃實(shí)驗(yàn)和未知刀具形狀下的刀具輪廓設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文提出的同步優(yōu)化方法在自由曲面四軸側(cè)銑加工刀具輪廓設(shè)計(jì)和加工軌跡規(guī)劃中的正確性和有效性。