建模二次函數(shù)， 巧解初中數(shù)學(xué)圖形規(guī)律觀察題

杜艷麗 國(guó)煜

摘要：縱觀近幾年的中考，圖形規(guī)律觀察題是一個(gè)高頻考點(diǎn)。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用建?！岸魏瘮?shù)”，通過數(shù)形結(jié)合的方法來解決圖形規(guī)律觀察題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);建模;圖形規(guī)律觀察題

初中數(shù)學(xué)中的探索規(guī)律問題，是指發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律，從而探索出規(guī)律性的問題。其特點(diǎn)是：給出一些數(shù)、一些等式或一些圖形的前幾個(gè)，然后通過觀察、分析、綜合、歸納等方法探索出其規(guī)律性。課標(biāo)提出：通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。學(xué)生這些能力的培養(yǎng)，必須以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，立足基礎(chǔ)問題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律進(jìn)行探究，從而促進(jìn)每個(gè)學(xué)生的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的提高。這就必須提高學(xué)生探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力。縱觀近幾年的中考，圖形規(guī)律觀察題是一個(gè)高頻考點(diǎn)，現(xiàn)在我們利用建模二次函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合的方法來“計(jì)算”圖形中的規(guī)律，從而巧解初中數(shù)學(xué)圖形規(guī)律觀察題。

例1：若按如圖方式擺放桌子和椅子：

（1）一張桌子可坐6人，2張桌子可坐? ? ? ?人。

（2）按照上圖方式繼續(xù)排列桌子，完成下表：

桌子張數(shù) 3 4 5 6 ? ?n

可坐人數(shù)

解：（1）1張桌子可坐6人，2張桌子可坐? ?10? ?人。

（2）按照上圖方式繼續(xù)排列桌子，完成下表：

解析：通過觀察可以看出：1張桌子可以坐6人，2張桌子可以坐10人，3張桌子可以坐14人…我們把“桌子張數(shù)n”作為自變量，“可坐人數(shù)y”就是“桌子張數(shù)”的函數(shù)。

即把（1，6）（2，10）（3，14）作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=4n+2。所以，n張桌子可坐4n+2人。

把桌子的數(shù)量n代入上式，完成表格

桌子張數(shù) 3 4 5 6 n

可坐人數(shù) 14 18 22 26 4n+2

例2：下圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè) 圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖案由? ? ? ? ?個(gè)基礎(chǔ)圖形組成。

解析：第1個(gè) 圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第3個(gè)圖案由10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成……

我們把“圖形序號(hào)n”作為自變量，“基礎(chǔ)圖形個(gè)數(shù)y”就是“圖形序號(hào)n”的二次函數(shù)。

即把（1，4）（2，7）（3，10）作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=3n+1。所以，第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖案由? y=3n+1 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成。

例3：下圖是用棋子擺成的圖案，擺第1個(gè)圖案需要7枚棋子，擺第2個(gè)圖案需要19枚棋子，擺第3個(gè)圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第6個(gè)圖案需要? ? ? ?枚棋子，擺第n個(gè)圖案需要

枚棋子。

解析：擺第1個(gè)圖案需要7枚棋子，擺第2個(gè)圖案需要19枚棋子，擺第3個(gè)圖案需要37枚棋子……

我們把“圖形序號(hào)n”作為自變量，“棋子個(gè)數(shù)y”就是“圖形序號(hào)n”的二次函數(shù)。

即把（1，7）（2，19）（3，37）作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)y=an2+bn+c中，得：

解得：

即：y=3n2+3n+1

按照這樣的方式擺下去，則擺第6個(gè)圖案需要的棋子數(shù)就是：把n=6代入解析式得： 127? 枚棋子，擺第n個(gè)圖案需要? 3n2+3n+1? 枚棋子。

例4：如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是? ? ? ? ?。

解析：三角形有3個(gè)棋子，四邊形有8個(gè)棋子，五邊形有15個(gè)棋子……

我們把“圖形邊數(shù)n”作為自變量，“棋子個(gè)數(shù)y”就是“圖形序號(hào)n”的二次函數(shù)。

即把（3，3）（4，8）（5，15）作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=n2-2n，

則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是? n2-2n? 。

例5：下圖都是由若干盆花組成的形如三角形的圖案，則組成第n個(gè)圖案所需花盆的總數(shù)是? ? ? ? ? ?。

解析：我們通過觀察發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)圖形有3盆花，第2個(gè)圖形有6盆花，第3個(gè)圖形有10盆花……

我們把“圖形序號(hào)n”作為自變量，“花盆數(shù)量y”就是“圖形序號(hào)n”的二次函數(shù)。

即把（1，3）（2，6）（3，10）作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)y=an2+bn+c中，得：

解得：

即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。所以，第個(gè)圖案所需花盆的總數(shù)是

。

例6：用同樣規(guī)格的黑、白兩色的正方形方塊鋪成下圖模樣，用n的代數(shù)式表示出第n幅圖中黑色正方形塊數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ，白色正方形塊數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

n=1? ? ? n=2? ? ? ?n=3

解析：第1幅圖有12個(gè)方塊，其中黑色的有10塊;第2幅圖有20個(gè)方塊，其中黑色的有14塊;第3幅圖有30個(gè)方塊，其中黑色的有18塊……

我們把“圖形序號(hào)n”作為自變量，“方塊總數(shù)y”就是“圖形序號(hào)n”的二次函數(shù)。

即把（1，12）（2，20）（3，30）作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=n2+5n+6。所以，第個(gè)圖形方塊總數(shù)是（n2+5n+6）塊。

我們把“圖形序號(hào)n”作為自變量，“黑色方塊個(gè)數(shù)y”就是“圖形序號(hào)n”的二次函數(shù)。

即把（1，10）（2，14）（3，18）作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，代入y=an2+bn+c二次函數(shù)中，得：

解得：

即y=4n+6。

用n的代數(shù)式表示出第n幅圖中的黑色正方形塊數(shù)是y=4n+6，白色正方形塊數(shù)就是總數(shù)減去黑色塊數(shù)? n2+n。

總之，解決初中數(shù)學(xué)的圖形規(guī)律觀察題的方法很多，可謂仁者見仁、智者見智。筆者是從函數(shù)的角度，利用數(shù)形結(jié)合的思想來“計(jì)算”其規(guī)律的，希望對(duì)廣大教師有所啟示。

（責(zé)任編輯：韓曉潔）