兩數(shù)列公共項問題求解的一種通法

楊育球

(湖南省岳陽縣第一中學，414100)

由兩數(shù)列的公共項構(gòu)成的新數(shù)列問題令許多學生感到困惑.本文以一道高考試題為例介紹求解這類問題一種通法,供參考.

例1(2020年全國高考題)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為______.

分析從兩數(shù)列中選取項增加“較快”的數(shù)列,假如該數(shù)列的第n項是兩個數(shù)列的公共項,然后逐一遞推驗證該數(shù)列的第n+1項，第n+2項，…是否為兩個數(shù)列的公共項,進一步從中找到規(guī)律,得到兩個數(shù)列的公共項從小到大排列的數(shù)列{an}通項公式.

解記bn=2n-1,cn=3n-2.再設bm=cn,即2m-1=3n-2,m,n∈N*.

又cn+2=3(n+2)-2=(3n-2)+6=2m-1+6=2(m+3)-1,而m+3∈N*,可知cn+2∈{bm}=cn,則ak+1=bm+3=cn+2.

上述解法是依次遞推尋找公共項的,我們不妨稱之為“遞推找項法”.運用“遞推找項法”求兩個數(shù)列{bn},{cn}的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列{an}通項的一般步驟:

(1)設bm=cn=ak,從中得到項數(shù)m,n的等式關系;

(2)在項增加“較快”的數(shù)列(如{cn})中依次驗證某個相同項(如cn+1,cn+2,…),并將其項的表達式與另一個數(shù)列({bn})的通項公式相比較,斷定后面的遞推項是否是另一個數(shù)列({bn})的項,從而發(fā)現(xiàn)項ak后續(xù)相鄰的項an+1；

(3)發(fā)現(xiàn)ak+1,ak之間的遞推關系，得出數(shù)列{an}的通項公式.

上述高考題求解的是兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成的新數(shù)列問題,其實,對于兩個等比數(shù)列的公共項問題,一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項問題,運用“遞推找項法”同樣可以解決.請見以下兩個例題.

例2數(shù)列{bn}與{cn}的通項公式分別為bn=4n,cn=8n,它們的公共項由小到大排列得到數(shù)列{an},求數(shù)列{an}的通項公式.

分析數(shù)列{cn}的增加“較快”，所以依據(jù)數(shù)列{cn}遞推找公共項.

解設bm=cn,即4m=8n,則2m=3n,m,n∈N*.

又cn+2=8n+2=82·8n=43·4m=4m+3,由m+3∈N*,可知cn+2∈{bm},即cn+2是兩個數(shù)列的公共項.

因此，若ak=bm=cn,則ak+1=bm+3=cn+2.

例3數(shù)列{bn}與{cn}的通項公式分別為bn=2n,cn=3n-16,它們的公共項由小到大排列得到新數(shù)列{an}，求數(shù)列{an}的通項公式.

解數(shù)列{bn}的增加“較快”，所以依據(jù)數(shù)列{bn}遞推找公共項.

設bm=cn,即2m=3n-16,m,n∈N*.

又bm+2=2m+2=22·2m=4(3n-16)=3(4n-16)-16,由4n-16∈N*,可知bm+2∈{cn},bm+2是兩個數(shù)列的公共項.

因此，若ak=bm=cn,則ak+1=bm+2=c4n-16.

綜上可知,“遞推找項法”是一種從整體上從一個數(shù)列中尋找公共項的解題方法,這種方法自然,通俗易懂,可操作性強,適用范圍廣泛,易于同學們理解和接受,是一種求兩個數(shù)列{bn},{cn}的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列{an}的一種“通法”.