探尋對(duì)稱 優(yōu)化運(yùn)算
——以解析幾何中的定點(diǎn)定值問題為例

陳銀輝

(江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué),225009)

解析幾何中的定點(diǎn)定值問題是高考的熱點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).問題引入?yún)⒆兞亢?許多學(xué)生有時(shí)花費(fèi)了大量運(yùn)算時(shí)間卻不得其果,難點(diǎn)難以突破.本文結(jié)合典型問題,試圖通過數(shù)與形的對(duì)稱或相似結(jié)構(gòu),優(yōu)化此類問題中的復(fù)雜運(yùn)算,從而培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

一、運(yùn)算困難呈現(xiàn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線分別與橢圓E交于A,B兩點(diǎn).求證:直線AB過定點(diǎn),并求此定點(diǎn)坐標(biāo).

解法2設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).

二、對(duì)稱優(yōu)化策略

在定點(diǎn)定值問題中,我們首先可以從幾何圖形上找尋對(duì)稱性,探究圖形在運(yùn)動(dòng)變化過程中的不變性;其次,在代數(shù)運(yùn)算上充分利用地位平等的點(diǎn)構(gòu)建具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的式與方程,運(yùn)用“同理可得”的解題策略或相似求解過程使問題獲解.

解法1的優(yōu)化同解法1可得

如圖2,在PA⊥PB的條件下,動(dòng)直線AB運(yùn)動(dòng)到關(guān)于x軸對(duì)稱的位置A′B′時(shí)仍符合題意,由此猜想直線AB恒過的定點(diǎn)在x軸上.

解法2的優(yōu)化同解法2先得① ② ③ 三式, 再?gòu)拇鷶?shù)上構(gòu)建含x1x2,x1+x2,y1y2的對(duì)稱目標(biāo)式,會(huì)使問題柳暗花明運(yùn)算化繁為簡(jiǎn).

④

三、對(duì)稱策略在模考、高考中應(yīng)用舉例

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)T(t,0)(t>a)作斜率為k(k<0)的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且F1M//F2N,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,求k1k2的值.

(2)由題知AM:y=k1(x+2),BN:y=k2(x-2).

評(píng)注直接設(shè)直線l:y=k(x-t)運(yùn)算較繁瑣.若利用對(duì)稱策略,巧用對(duì)稱形,如圖4,作點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)N1,則?F1N1O≌?F2NO,由F1N1∥F2N,F1M∥F2N,得N1,F1,M三點(diǎn)共線. 又?AN1O≌?BNO,則AN1∥BN,得k2=kAN1可看出例2實(shí)質(zhì)為例1的逆問題:已知?jiǎng)又本€MN1過定點(diǎn)F1,求證kAMkAN1為定值.設(shè)MN1:x=my-1運(yùn)算則比較方便,過程不再贅述題中給的解法更側(cè)重代數(shù)上的對(duì)稱,點(diǎn)M,N可對(duì)稱求解,化簡(jiǎn)kF1M=kF2N又得到k1與k2工整對(duì)稱的關(guān)系式,運(yùn)算過程簡(jiǎn)潔漂亮,讓人賞心悅目.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

解設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),直線CD:y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立,可得

綜上,得證.