例析正負(fù)相間數(shù)列的求和問(wèn)題

山東省威海市第二中學(xué) (264200) 燕 潤(rùn)

若數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有(-1)n，則是一個(gè)正負(fù)相間的數(shù)列，關(guān)于它的求和問(wèn)題需要對(duì)自然數(shù)n分為奇數(shù)或偶數(shù)等情況來(lái)討論解決．但何時(shí)進(jìn)行分類，還需根據(jù)題目的特點(diǎn)擇機(jī)而行.下面從幾類典型題目的評(píng)析入手，介紹其求解方案，希望能給讀者朋友帶來(lái)點(diǎn)收獲．

一、求有限項(xiàng)的和

雖然是有限項(xiàng)，但不易采用逐一求出每一項(xiàng)的值后再求和，也不是簡(jiǎn)單的進(jìn)行正負(fù)項(xiàng)處理能夠解決的，大多情況下，都是需要通過(guò)特值驗(yàn)算找出特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抓住這些特點(diǎn)解題．

例1 已知函數(shù)f(n)=(-1)n+1n2(n∈N*)，且an=f(n)+f(n+1)，則a1+a2+a3+…+a100等于.

解析：由題意得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100.

評(píng)注：通過(guò)對(duì)前100項(xiàng)和的分析發(fā)現(xiàn)每相鄰兩項(xiàng)都是平方差，通過(guò)應(yīng)用公式化簡(jiǎn)再分類后發(fā)現(xiàn)是兩組有規(guī)律的數(shù)分別求和，這就找到了解題的關(guān)鍵．由于是求特殊項(xiàng)的和，還需對(duì)特別的項(xiàng)如首項(xiàng)、末項(xiàng)的情況進(jìn)行重點(diǎn)關(guān)注．

例2 數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為.

評(píng)注：由于本題的內(nèi)在規(guī)律非常隱蔽，通過(guò)對(duì)三個(gè)連續(xù)的四項(xiàng)進(jìn)行求值驗(yàn)算，終于發(fā)現(xiàn)其中隱含著一個(gè)等差數(shù)列，這樣只需運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式解題就行了．

二、求前2n項(xiàng)和

由已知條件或遞推公式求出通項(xiàng)公式是解決此類問(wèn)題的前提．在求出數(shù)列的通項(xiàng)公式后，需要把握好前后兩項(xiàng)和的特點(diǎn)，再找出規(guī)律解決問(wèn)題．

評(píng)注：首先根據(jù)已知條件求出了數(shù)列的通項(xiàng)公式，抓住題目中有2n項(xiàng)的特點(diǎn)，充分利用了(-1)n的特殊性，通過(guò)相鄰兩項(xiàng)的重新分組，找到了一個(gè)新數(shù)列的求和問(wèn)題，這樣完成解題就順理成章．

(2)根據(jù){an}的關(guān)系式及遞推式可求得a1=

評(píng)注：本題也是求一個(gè)數(shù)列的前2n項(xiàng)和問(wèn)題，但無(wú)法直接求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，而通過(guò)求出-a2n-1+a2n關(guān)于n的表達(dá)式，然后再尋找其中規(guī)律成功地達(dá)到解題目的.找到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系式就是抓住了數(shù)列的前2n項(xiàng)求和問(wèn)題的特點(diǎn)．

三、求前n項(xiàng)和

此類問(wèn)題相比較求前2n項(xiàng)求和要復(fù)雜一些，其解法也可能與之不同.常規(guī)的方法是先對(duì)n為偶數(shù)時(shí)進(jìn)行求和運(yùn)算，然后再尋找n為奇數(shù)時(shí)它的前n-1項(xiàng)和與n為偶數(shù)時(shí)的關(guān)系得到表達(dá)式，再加上n項(xiàng)就是n為奇數(shù)時(shí)的表達(dá)式，最后再列出綜合表達(dá)式．還可以是通過(guò)對(duì)n為偶數(shù)時(shí)及n為奇數(shù)時(shí)分別就其特點(diǎn)求出表達(dá)式．

例5 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1·(4n-3)，求它的前n項(xiàng)和Sn．

評(píng)注：由于題中所給的數(shù)列是一個(gè)正負(fù)相間的數(shù)列，每?jī)身?xiàng)的符號(hào)規(guī)律是一致的，所以通過(guò)對(duì)幾組兩個(gè)相鄰兩項(xiàng)的和進(jìn)行驗(yàn)證，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，迅速解題．在此求和時(shí)是對(duì)自然數(shù)n分偶數(shù)、奇數(shù)討論，分別列式求和，然后再合并呈現(xiàn)出前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式．

評(píng)注：此題采取的求解方法是先求出n為偶數(shù)時(shí)和的表達(dá)式，而當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則前n-1項(xiàng)和可仿照前面n為偶數(shù)時(shí)的求和，然后再加上最后的第n項(xiàng)就得到n為奇數(shù)時(shí)的表達(dá)式了．這個(gè)解題方法也是常用，而處理好n-1時(shí)與n時(shí)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．