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    用基本不等式求最值的破題五措施

    2020-11-20 05:49:50甘肅省武威第十八中學(xué)733000高述文
    關(guān)鍵詞:換元分式式子

    甘肅省武威第十八中學(xué) (733000) 高述文

    在運用基本不等式求最值時,要注意使用“一正、二定、三相等”條件,而在尋找定值時,有時條件不夠明顯,常需要采用拆項、添項、變形、化簡、換元等的技巧,這樣化隱為顯,使問題快速解決,本文通過舉例分析、介紹幾種常見的變換技巧,供參考.

    1.適當(dāng)拼湊:考察所給的表達式,看如何能通過進行適當(dāng)?shù)淖冃问怪_到正確使用基本不等式的條件,完成解題目標(biāo).

    評注:本題容易出現(xiàn)誤判,即沒有抓住x+s>0進行正確的配湊,而是把x+t當(dāng)著變元,使解題造成混亂得出錯解或使解題無法進行下去.

    2.配方配項:在題設(shè)中如果在分式的分子或分母中含有類似于二式三項式的,可通過及時配成關(guān)于父母(或分子)的二式三項式,這樣后面的解題方法就能夠顯露出來了.

    評注:在理解題意的基礎(chǔ)上,通過對分子配方(關(guān)于分母的平方),構(gòu)造出能使積為定值式子,這是找準(zhǔn)了解題的切入點.

    例4 若實數(shù)a、b滿足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.

    評注:本題中沒有直接告訴相關(guān)的分式,通過挖掘已知條件,對條件等式和欲求的式子進行重新整理,再合理配方,構(gòu)造出可用均值不等式求解式子,化解了問題的難點.

    3.及時相除:在一些分式求最值問題中,通過對分式的分子、分母同時除一個適當(dāng)?shù)氖阶?,可以發(fā)現(xiàn)能使用基本不等式解題的契機.

    評注:通過分子、分母同除以x,使分子為常數(shù)(必須是),同時也能使此時分母的積為定值,這樣就達到了使用基本不等式解題的條件了.

    評注:通過對題目的深入研究,挖掘了其中隱含的關(guān)系,即一個乘積式的符合確定,再整體思考、整體變形配湊,使問題終于得到解決,這是科學(xué)有序的思維品質(zhì)的體現(xiàn).

    4.連續(xù)放縮:在一些相對復(fù)雜的式子中,經(jīng)過一次放縮可能達不到目的,可以再一次進行放縮變換,直到符合要求,這里必須注意連續(xù)放縮所需的相等條件是一致的.

    評注:本題雖然用了基本不等式放縮兩次,但由于等號成立的條件是一樣的且縮小的方向一致,故而并不影響最小值的確定,如果等號成立的條件不一樣或方向不一致,則得出的結(jié)果肯定是錯誤的,必須引起重視.

    評注:本題中的字母較多,條件也不少,如何適當(dāng)使用是解題關(guān)鍵,而本解法中分兩次運用基本不等式求解,方法獨到,簡便合理.

    5.靈活換元:抓住題設(shè)中的某些特殊結(jié)構(gòu)進行類比聯(lián)想,再通過換元對原式進行改造,可發(fā)現(xiàn)破題的機會,完成解題任務(wù).

    評注:若在題設(shè)中含有兩個正項和為1(或某個特定的值),可以選用三角換元,這樣就可以利用三角函數(shù)的知識進行變形求解,達到解題目的.

    評注:本題通過對所給的式子進行變形,然后對其中的特定結(jié)構(gòu)進行換元處理,用新變量替換原來的變量,揭露了隱含的關(guān)系,為順利解題創(chuàng)造了條件.

    上面講述了使用基本不等式求最值的五個破題措施,常見而實用,如果我們在教學(xué)中能夠讓學(xué)生掌握并領(lǐng)會了這些解題方法,那么學(xué)生在應(yīng)試時遇到這些題目可能就信心滿滿了.

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