絕對值函數(shù)問題的思維起點捕捉

浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學(xué) (315000) 丁林蓬

絕對值函數(shù)問題中蘊含著分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)養(yǎng)成的有效載體，在數(shù)學(xué)問題中，能夠捕捉到絕對值問題的思維起點，有助學(xué)學(xué)生利用分段函數(shù)的觀點，充分的理解基本初等函數(shù)的性質(zhì).

1.捕捉分段點，繪制圖形解題

絕對值函數(shù)|x|在數(shù)學(xué)教材以分段函數(shù)形式首次出現(xiàn)，能夠熟練的捕捉到分段函數(shù)的分段點，是解決絕對值問題的思維起點之一.結(jié)合高考、學(xué)考對于絕對值函數(shù)問題的不同要求，這里給出分段點的捕捉思路.

若f(x)，g(x)為絕對值函數(shù)，且其分段點分別為x=x0，x1.則(1)f(x)±g(x)的分段點為x=x0和x1；(2)f(f(x))的分段點為x0與f(x)=x0的根；g(g(x))的分段點為x1與f(x)=x1的根.

例1 將下列函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式：

(1)f(x)=|x-1|+|x-2|；

(2)f(f(x))，其中f(x)=|x-1|.

評析：能夠在比較一般(如例1)的具體情形下，進行絕對值函數(shù)的分段是學(xué)考要求.相應(yīng)的，學(xué)生也應(yīng)在此基礎(chǔ)上熟悉高考的抽象化要求.

練習(xí)1f(x)=-x|x|，若mx2+m>f(f(x))恒成立，求m的取值范圍.

解析：按照已有的思維，可以得到：

2.捕捉翻折點，尋找最值解題

絕對值函數(shù)有自身的幾何意義，如|f(x)-t|是將函數(shù)f(x)的圖象向上或向下平移之后，進行翻折得到的新的圖象.在這層意義下，|f(x)-t|的最大值在原函數(shù)的f(x)的最大值或最小值處取得.

如，對于函數(shù)f(x)=|x2+t|在區(qū)間[-1,2]上的最大值求解，若t≥0，f(x)max=f(2)；若-4

例2 求下列函數(shù)最大值的最小值.

(1)f(x)=|x2-3x+t|，x∈[0,4]；(2)f(x)=|sinx+3x+t|，x∈[0,1].

評析：問題(1)原函數(shù)在所給出的定義區(qū)間上是不單調(diào)的，所以找到最大和最小值所在的位置并非端點.問題(2)原函數(shù)在所給出的區(qū)間上是單調(diào)的，所以端點處取最值.能夠利用翻折的觀點認識函數(shù)，是學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的重要培育途徑.

3.捕捉切點，利用“數(shù)”“形”解題

形如|f(x)+ax+b|這樣形式的函數(shù)，也可理解為曲線f(x)與直線-ax-b在豎直方向的差值.這時，利用切比雪夫逼近的方法，可以優(yōu)化運算結(jié)構(gòu).

例3 記f(x)=|x2-ax-b|(a,b∈R)在x∈[0,2]的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為.

共有102只眼出現(xiàn)了眼底病變,占總數(shù)的14.7%,其中22只眼視網(wǎng)膜靜脈阻塞22只眼、19眼中心性漿液性視網(wǎng)膜病變、31眼視網(wǎng)膜靜脈周圍炎、19眼年齡相關(guān)性黃斑變性,其他11眼。眼底病變組的高度近視男性患者和高齡患者比無眼底病變組高,屈光度高、眼軸長的比例比較多,(P<0.05)。眼底病變高度近視患者定期檢查,及時更換眼鏡、用藥習(xí)慣良好等比例比無眼底病變組低,(P<0.05)。

解法1：(翻折的角度)x2-ax在x∈[0,2]時，

(1)a≤0或a>4，M(a,b)=max{f(0),f(2)}=max{|b|,|4-2a-b|}≥2；

圖1

評析：這兩個解決問題的方法，也是理解這一問題的兩個角度.法1是利用曲線上下移動翻折的角度，法2是切比雪夫逼近的視角.雖然法1的運算過程較為復(fù)雜，但是這一問題的代數(shù)本質(zhì)卻蘊含在分類討論的過程中.法2是這一問題幾何本質(zhì)的體現(xiàn).一定程度上講，法1是通法，法2是巧法.

練習(xí)6記f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)記M(a,b)為|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

(1)求證：當(dāng)|a|≥2時，M(a,b)≥2；

4.捕捉銜接點，合理討論解題

形如f(x)=|g(x)|+t(x)的函數(shù)在區(qū)間[a,b]上最值得討論問題，是對學(xué)生分類討論能力進行考察的重要載體，許多參考答案中，討論的區(qū)間都是從天而降，學(xué)生能夠感嘆其精妙去不能生成共鳴.事實上，此類問題也是有跡可循的.立足于銜接點在原函數(shù)圖像中位置的分布，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-a|-ax-1，a∈R.若f(x)在[1,2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式.

解析：f(x)=|x2-a|-ax-1=

圖2

評析：利用銜接點與原函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)換點之間的關(guān)系進行討論，是解決這一問題的關(guān)鍵，也是分類討論的依據(jù).討論過程中a=1,4的出現(xiàn)是有規(guī)律可循的，并非無邏輯的閃現(xiàn).

練習(xí)7已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.求h(x)=|f(x)|+g(x)在區(qū)間[0,2]的最大值M(a).

解析：根據(jù)上述討論方法可得

練習(xí)8已知a≥3，函數(shù)F(x)=max{2|x-1|,x2-2ax+4a-2}.(1)求使得F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；(2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).

解析：(1)略；(2)根據(jù)討論方法可得

絕對值函數(shù)自身所具有的代數(shù)性質(zhì)，以及幾何圖形特征對于解決相應(yīng)的問題有重要作用.從這兩個角度出發(fā)捕捉適當(dāng)?shù)乃季S著力點，有助于提升問題解決的有效性.