邏輯推理的心理學(xué)研究及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

林曉榕 喻平

摘要：邏輯推理包括演繹推理、歸納推理和類比推理。邏輯推理的心理學(xué)研究，主要涉及推理的心理機(jī)制、發(fā)展時(shí)期及影響因素。從相關(guān)研究成果中得到啟示，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以嘗試運(yùn)用如下策略來(lái)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力：關(guān)注發(fā)展關(guān)鍵時(shí)期，加強(qiáng)邏輯推理訓(xùn)練;適當(dāng)揭示邏輯規(guī)則，固化演繹推理思維;設(shè)置合情推理情境，培養(yǎng)歸納類比能力。

關(guān)鍵詞：邏輯推理 演繹 歸納 類比 教學(xué)策略

邏輯推理是由一個(gè)或多個(gè)判斷推出一個(gè)新判斷的思維過(guò)程，作為人的一種重要認(rèn)知方式，一直受到心理學(xué)和教育學(xué)的關(guān)注。邏輯推理的心理機(jī)制、發(fā)展時(shí)期、影響因素等是心理學(xué)研究的熱點(diǎn)課題，而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力是教育的重要目標(biāo)。本文對(duì)邏輯推理的相關(guān)心理學(xué)研究做一些簡(jiǎn)介，并由此得出對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示。

一、心理學(xué)對(duì)邏輯推理的一些研究

邏輯推理包括三種形式：演繹推理、歸納推理和類比推理。對(duì)邏輯推理的研究主要圍繞這三種形式展開(kāi)。

（一）學(xué)生邏輯推理的發(fā)展研究

有研究表明，學(xué)生的邏輯推理能力隨年齡增長(zhǎng)而持續(xù)發(fā)展，在小學(xué)階段有初步表現(xiàn)，在初中和高中階段達(dá)到成熟。

李丹等人對(duì)兒童假言推理（一般有兩種形式：一是充分條件的假言推理，它是一個(gè)充分條件的假言判斷，即“如果……則……”;二是必要條件的假言推理，它是一個(gè)必要條件的假言判斷，即“只有……才……”）能力的發(fā)展特點(diǎn)進(jìn)行了研究。研究顯示，兒童假言推理能力從小學(xué)三年級(jí)到初中三年級(jí)隨年級(jí)的升高而增長(zhǎng)，小學(xué)三年級(jí)開(kāi)始已有初步表現(xiàn)，在小學(xué)六年級(jí)到初中一年級(jí)期間有一個(gè)加速階段。其增長(zhǎng)速度和水平，一方面受年齡階段和推理格式的影響，另一方面也因?qū)Σ煌}具體內(nèi)容的熟悉程度而有所差異。這是由于假言推理中事物的因果關(guān)系具有復(fù)雜性，而兒童的辯證思維尚未成熟所致。總體上看，假言推理能力的發(fā)展時(shí)間要比直言三段論推理能力推遲一年左右。

李國(guó)榕和胡竹菁對(duì)中學(xué)生直言三段論推理能力的現(xiàn)狀進(jìn)行了調(diào)查。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的直言三段論推理能力在初中階段發(fā)展較快，且每升高一個(gè)年級(jí)，其推理能力都有明顯的提高;高中各年級(jí)之間，學(xué)生的推理能力雖有差異，但不顯著;而由初中升入高中，學(xué)生的推理能力會(huì)有一個(gè)飛躍。而且，男、女學(xué)生之間的推理能力無(wú)顯著差異，但理科學(xué)生的推理能力高于文科學(xué)生。此外，中學(xué)生在進(jìn)行直言三段論推理時(shí)，對(duì)不同格式推理能力的發(fā)展水平并不完全一致。

全國(guó)青少年心理研究協(xié)作組于1985年對(duì)全國(guó)23個(gè)省、市初一、初三和高二學(xué)生的邏輯推理能力做了測(cè)試，內(nèi)容包括歸納推理和演繹推理（又分為直言推理、假言推理、選言推理、復(fù)合推理和連鎖推理）兩類，同時(shí)還測(cè)試了辯證推理能力。結(jié)果表明，初一學(xué)生就已具備各種推理能力;三個(gè)年級(jí)之間，推理能力發(fā)展水平和運(yùn)用水平都存在顯著差異。此外，凡是需要調(diào)動(dòng)感性知識(shí)的試題，學(xué)生解答起來(lái)就容易;反之，則感到困難;其中，歸納推理依賴學(xué)生感性知識(shí)的程度比演繹推理更高。

黃煜烽等人在全國(guó)19個(gè)省、市不同類型的學(xué)校隨機(jī)抽取初一、初三、高二學(xué)生17098名，開(kāi)展歸納推理和演繹推理的測(cè)試。結(jié)果顯示，進(jìn)入中學(xué)以后，學(xué)生基本上掌握了邏輯推理的常用規(guī)律，其思維水平開(kāi)始進(jìn)入抽象邏輯思維占主導(dǎo)的階段;在整個(gè)中學(xué)階段，學(xué)生的推理能力隨著年級(jí)的升高都在持續(xù)地發(fā)展，在初二階段尤其迅速;在整個(gè)中學(xué)階段，歸納推理能力的發(fā)展水平要高于演繹推理能力;在演繹推理能力中，學(xué)生的直言推理能力發(fā)展較好，而連鎖推理能力發(fā)展較差。

方富熹等人采用口頭測(cè)試的方式，考查9—15歲兒童充分條件的假言推理能力的發(fā)展。結(jié)果表明，大部分9歲（小學(xué)三年級(jí)）兒童的有關(guān)推理能力已經(jīng)開(kāi)始發(fā)展，但水平較低;大部分12歲（小學(xué)六年級(jí)）兒童的假言推理能力處于過(guò)渡階段;大部分15歲（初中三年級(jí)）兒童的假言推理能力達(dá)到成熟水平。在之后的進(jìn)一步研究中，他們又發(fā)現(xiàn)，12歲兒童對(duì)充分條件假言推理有關(guān)規(guī)則的掌握，取決于他們形式運(yùn)演思維的發(fā)展水平。

林崇德教授將中學(xué)生的論證推理能力分為四級(jí)水平（也可以看作四個(gè)發(fā)展階段）：直接推理、間接推理、迂回推理、綜合性推理。研究發(fā)現(xiàn)，在正常的教育教學(xué)情況下，中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力隨年級(jí)升高而提升;初二和高二是推理能力發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，初二學(xué)生普遍能按照公式進(jìn)行推理，高二學(xué)生的抽象綜合推理能力則得到顯著的發(fā)展。

（二）影響邏輯推理的因素研究

1.關(guān)于演繹推理。

張慶林等人的研究表明，在條件推理（利用條件性命題——通常為假言判斷——進(jìn)行的推理）中，推理的內(nèi)容會(huì)影推理形式規(guī)則的運(yùn)用，進(jìn)而影響推理的過(guò)程和結(jié)果。這主要是由于日常生活經(jīng)驗(yàn)會(huì)影響人們對(duì)具有實(shí)際生活意義的大前提的語(yǔ)義加工或心理表征，具體表現(xiàn)為對(duì)問(wèn)題空間的影響;人們?cè)诓煌膯?wèn)題空間中進(jìn)行分析和判斷，就會(huì)得到不同的推理結(jié)論。這是一種直覺(jué)的推理形式。因此，人們?cè)谶M(jìn)行涉及日常生活的推理時(shí)往往會(huì)受到經(jīng)驗(yàn)的影響。

胡竹菁和胡笑羽認(rèn)為，推理行為是推理者在現(xiàn)有推理知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上解決具有一定結(jié)構(gòu)的推理題的心理加工結(jié)果。而演繹推理問(wèn)題和推理者所掌握的有關(guān)推理的知識(shí)結(jié)構(gòu)都由推理形式、推理內(nèi)容兩方面構(gòu)成，進(jìn)而基于形式和內(nèi)容兩種判定標(biāo)準(zhǔn)，提出了“推理題與推理知識(shí)雙重結(jié)構(gòu)模型”：推理行為會(huì)受到四個(gè)方面的影響，用公式表示為BR=f[IS（form），IS（content），KS（form），KS（content）]，其中BR代表推理行為，IS（form）代表試題形式結(jié)構(gòu)，IS（content）代表試題內(nèi)容結(jié)構(gòu)，KS（form）代表推理者所掌握的形式知識(shí)結(jié)構(gòu)，KS（content）代表推理者所掌握的內(nèi)容知識(shí)結(jié)構(gòu)。

Senk研究了中學(xué)生在幾何證明中的演繹推理表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)如果學(xué)生證明過(guò)程的書(shū)寫能力比較薄弱，會(huì)影響學(xué)生的推理能力。

Jansson通過(guò)訪談，研究了初中生在假言命題、選言命題、聯(lián)言命題、否命題等不同邏輯形式任務(wù)上的發(fā)展及先后層次結(jié)構(gòu)。研究顯示，學(xué)生缺乏處理那些正式、真實(shí)、有趣的“暗示”的能力，且同一邏輯運(yùn)算的不同語(yǔ)言形式會(huì)對(duì)邏輯推理產(chǎn)生影響。

Hoyles和Kuchemann考察了學(xué)生假言推理能力的發(fā)展，指出在特定的數(shù)學(xué)情境中，對(duì)“暗示”的理解是否到位和演繹推理能否成功之間存在某種聯(lián)系。

根據(jù)演繹推理相關(guān)的認(rèn)知與腦機(jī)制研究，左、右腦在演繹推理中的功能差異主要表現(xiàn)為言語(yǔ)系統(tǒng)和視空系統(tǒng)在演繹推理中的不同作用，而且這兩種系統(tǒng)對(duì)幾種演繹推理類型的影響可能是不同的。不同性質(zhì)的內(nèi)容在影響被試推理過(guò)程時(shí)，所激活的腦區(qū)域是有差異的，如推理內(nèi)容具體或抽象、推理材料包含更多具有顯著情緒特征或社會(huì)規(guī)則的內(nèi)容、形式邏輯規(guī)則是否與個(gè)體信念沖突等。因此，個(gè)體的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、信念偏向等對(duì)演繹推理也有一定的影響。

2.關(guān)于歸納推理。

多數(shù)研究證明，歸納推理受到前提項(xiàng)目多樣性的強(qiáng)烈影響，材料類別與概念范疇、屬性特征及其呈現(xiàn)方式、推理形式、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等因素都會(huì)對(duì)歸納推理產(chǎn)生不同程度的影響。而近年來(lái)，許多研究開(kāi)始關(guān)注歸納推理的心理效應(yīng)。根據(jù)歸納論斷中不同因素對(duì)個(gè)體做出歸納結(jié)論時(shí)把握性大小的影響，歸納推理的心理效應(yīng)主要分為三種：類別效應(yīng)、屬性效應(yīng)、交互效應(yīng)。當(dāng)前，關(guān)于類別效應(yīng)中多樣性效應(yīng)的研究較為集中，即人們意識(shí)到前提更加多樣的論斷具有更大的歸納推理力度，從而在歸納推理過(guò)程中傾向于尋找差異更大的證據(jù)來(lái)支持將要得出的結(jié)論。有研究結(jié)果表明，在適合的條件下，兒童在歸納推理中能夠表現(xiàn)出多樣性效應(yīng)。

根據(jù)一些前提類別具有某一特征而推測(cè)結(jié)論類別也具有這一特征時(shí)，要推測(cè)的特征叫作歸納特征，結(jié)論類別具有這一特征的可能性程度叫作歸納強(qiáng)度。目前，對(duì)基于類別的特征歸納的解釋主要有相似性解釋和知識(shí)解釋兩類。相似性解釋認(rèn)為，人們的歸納推理能力基于前提類別與結(jié)論類別的相似性，并隨著這種相似性的增加而增強(qiáng)。

王墨耘和莫雷提出關(guān)聯(lián)相似性模型，即描述人們根據(jù)歸納特征關(guān)聯(lián)項(xiàng)的相似性來(lái)做歸納推理的抽象模型。這一模型將特征關(guān)聯(lián)知識(shí)與相似性整合到一起，認(rèn)為基于關(guān)聯(lián)相似性的歸納推理包含三個(gè)環(huán)節(jié)：首先尋找與歸納特征相關(guān)聯(lián)的特征（即關(guān)聯(lián)特征），然后比較評(píng)估結(jié)論類別與前提類別在關(guān)聯(lián)特征上的相似性（即關(guān)聯(lián)相似性），最后根據(jù)這種關(guān)聯(lián)相似性程度得出結(jié)論類別是否具有歸納特征和在多大程度上具有歸納特征。這一模型還認(rèn)為歸納強(qiáng)度的大小可用公式來(lái)預(yù)測(cè)：歸納強(qiáng)度=關(guān)聯(lián)特征與歸納特征的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度×關(guān)聯(lián)特征的相似性程度（即關(guān)聯(lián)相似性程度）。

王墨耘和高坡通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了，歸納強(qiáng)度與關(guān)聯(lián)相似性、關(guān)聯(lián)相似性變化的影響效果與關(guān)聯(lián)強(qiáng)度、歸納信心與關(guān)聯(lián)強(qiáng)度之間均為正相關(guān)。

3.關(guān)于類比推理。

類比推理與類比遷移有關(guān)。已有研究表明，12歲以下兒童的類比推理能力不足，是由于他們所掌握的概念知識(shí)有限（特別是相對(duì)于類比推理任務(wù)的難度），缺乏類比遷移的動(dòng)機(jī)。

除了自身年齡特征、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、信念之外，工作記憶也是類比推理的重要影響因素。工作記憶是一種對(duì)信息進(jìn)行暫時(shí)性加工和儲(chǔ)存的能量有限的記憶系統(tǒng)，由語(yǔ)音回路、視空間模板和中央執(zhí)行器三個(gè)部分組成。其中，語(yǔ)音回路負(fù)責(zé)以語(yǔ)音為基礎(chǔ)的信息的儲(chǔ)存和控制，它分為語(yǔ)音儲(chǔ)存系統(tǒng)和發(fā)音復(fù)述系統(tǒng)兩個(gè)部分;視空間模板主要負(fù)責(zé)處理視覺(jué)空間信息，它包含視覺(jué)元素（與顏色、形狀有關(guān)）和空間元素（與位置有關(guān)）;中央執(zhí)行器負(fù)責(zé)各個(gè)子系統(tǒng)之間以及它們與長(zhǎng)時(shí)記憶之間的聯(lián)系，也負(fù)責(zé)主要資源的協(xié)調(diào)和策略的選擇與計(jì)劃。

唐慧琳和劉昌采用雙因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，發(fā)現(xiàn)工作記憶是影響類比推理的重要因素：在圖形類比推理中，主要有視空間模板中的空間成分、語(yǔ)音回路中的發(fā)音成分以及中央執(zhí)行器的參與;而在言語(yǔ)類比推理中，則是視空間模板中的空間成分起主要作用。

此外，王亞南和劉昌通過(guò)數(shù)字推理測(cè)驗(yàn)，探討了數(shù)字推理能力發(fā)展的心理機(jī)制，發(fā)現(xiàn)加工速度和工作記憶在數(shù)字推理能力的發(fā)展過(guò)程中都發(fā)揮著重要的作用，且工作記憶的作用大于加工速度;推測(cè)加工速度可能是年齡與工作記憶的中介，僅對(duì)工作記憶的發(fā)展起一種直接調(diào)節(jié)作用，而工作記憶可能對(duì)數(shù)字推理能力的發(fā)展起直接調(diào)節(jié)作用。

問(wèn)題之間的相似性能夠影響類比檢索的過(guò)程，因而對(duì)類比推理也有重要影響：相似度越高，越能促進(jìn)類比遷移。問(wèn)題之間的相似性包括抽象原則、問(wèn)題內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)環(huán)境三個(gè)方面。其中，抽象原則在正規(guī)問(wèn)題中指公式，在無(wú)法定義的問(wèn)題中指圖式和深層結(jié)構(gòu);問(wèn)題內(nèi)容主要包括語(yǔ)義領(lǐng)域和表面元素兩個(gè)方面;實(shí)驗(yàn)環(huán)境則包括實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的背景、實(shí)驗(yàn)者和實(shí)驗(yàn)程序等。

二、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（一）關(guān)注發(fā)展關(guān)鍵時(shí)期，加強(qiáng)邏輯推理訓(xùn)練

邏輯推理的相關(guān)研究表明，中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力隨年級(jí)升高而提升;初二和高二是推理能力發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（關(guān)鍵期）;假言推理能力在小學(xué)三年級(jí)到初中三年級(jí)之間隨年級(jí)的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，在小學(xué)三年級(jí)已有初步表現(xiàn)，在小學(xué)六年級(jí)到初中一年級(jí)之間有一個(gè)加速階段，在初中二年級(jí)普遍接近成熟水平;總體歸納推理能力的迅速發(fā)展在初一到初三階段，演繹推理能力的迅速發(fā)展在初三到高二階段。這些研究結(jié)論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的直接啟示是，要關(guān)注學(xué)生邏輯推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期，在關(guān)鍵期內(nèi)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的邏輯推理訓(xùn)練。因?yàn)?，如果錯(cuò)過(guò)了關(guān)鍵期，再要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，可能會(huì)事倍功半。

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是理解運(yùn)算法則，依據(jù)法則進(jìn)行運(yùn)算。這是典型的演繹推理，但是，依據(jù)的法則往往是單一的，而且推理的步驟很少。這符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。到了初中階段，平面幾何的證明成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。雖然也是演繹推理，但與小學(xué)階段有了明顯的不同：依據(jù)的法則、定理較多，選用難度較大，同時(shí)，推理的步驟明顯增多。如果初中生不能適應(yīng)這種變化，也就是邏輯推理能力的增長(zhǎng)沒(méi)有與學(xué)習(xí)內(nèi)容復(fù)雜程度的增加同步，就會(huì)造成學(xué)習(xí)困難——實(shí)踐表明，初中往往是學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)分化的起始時(shí)期。因此，在這一邏輯推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期開(kāi)展有針對(duì)性的訓(xùn)練十分必要。

第一，保證一定量的推理練習(xí)。量變引起質(zhì)變，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的哲學(xué)原理。沒(méi)有量的積累，何來(lái)質(zhì)的改變？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須做一定量的題，這是一個(gè)硬道理。當(dāng)然，一定量的推理練習(xí)并不意味著“題海訓(xùn)練”，可以理解為“題海訓(xùn)練”量的下限。也就是說(shuō)，如果一個(gè)學(xué)生的推理訓(xùn)練達(dá)到了一定的量，那么他的邏輯推理能力就能實(shí)現(xiàn)質(zhì)的提升。對(duì)“一定量的推理練習(xí)”的理解，還要注意這樣兩個(gè)問(wèn)題。其一，量（的下限）不是一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生需要的訓(xùn)練量是有差異的：學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生訓(xùn)練量可能小一些，學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生訓(xùn)練量可能大一些。其二，量與質(zhì)是相關(guān)的。一個(gè)基本的觀點(diǎn)是，一道高質(zhì)量題目的訓(xùn)練功能強(qiáng)于幾道低質(zhì)量題目的訓(xùn)練功能。例如，讓學(xué)生做一道有理數(shù)的四則混合運(yùn)算題目，其邏輯推理訓(xùn)練功能明顯強(qiáng)于讓學(xué)生反復(fù)做幾道同一類型的有理數(shù)加法運(yùn)算題目。這兩個(gè)問(wèn)題正是教師在教學(xué)實(shí)踐中需要研究的：如何針對(duì)不同學(xué)生的實(shí)際水平確定訓(xùn)練量的標(biāo)準(zhǔn)？如何編制高質(zhì)量的邏輯推理訓(xùn)練題？

第二，協(xié)調(diào)發(fā)展多種推理形式。演繹推理、歸納推理、類比推理之間有一定的相關(guān)性，但更具有相對(duì)獨(dú)立的特質(zhì)。也就是說(shuō)，不能指望通過(guò)一種推理能力的訓(xùn)練來(lái)帶動(dòng)其他推理能力的發(fā)展，專門的訓(xùn)練是必要的。

例1老師在黑板上寫出了三個(gè)算式：52-32=8×2、92-72=8×4、152-32=8×27。王華接著寫出了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式：112-52=8×12、152-72=8×22。

（1）請(qǐng)你再寫出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式;

（2）用文字寫出上述算式反映的規(guī)律;

（3）證明這個(gè)規(guī)律的正確性。

本題題干分兩次給出5個(gè)算式，啟發(fā)學(xué)生在觀察、認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，初步猜想。第（1）問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生舉出一些例子（如112-92=8×5、132-112=8×6等），從而驗(yàn)證猜想。第（2）問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做一般化描述：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)。第（3）問(wèn)則要求學(xué)生給出形式化的數(shù)學(xué)證明。前兩問(wèn)都屬于合情推理，最后一問(wèn)則屬于演繹推理。本題的解答過(guò)程中，既包含了對(duì)已知條件的觀察、分析和類比，又包含了對(duì)規(guī)律的探索、歸納及證明，為學(xué)生進(jìn)行合情推理和演繹推理提供了可能，能較為全面地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

此外，本題條件還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，即不給出算式的結(jié)果，而讓學(xué)生先自行計(jì)算52-32、92-72、152-32，再嘗試尋找規(guī)律，從而給學(xué)生更大的探索空間。

第三，協(xié)調(diào)運(yùn)用演繹推理方法。在演繹推理中，綜合法和分析法是兩種常用的證明方法。分析以綜合為目的，綜合又以分析為基礎(chǔ)，二者互相滲透、互相依存。訓(xùn)練中，應(yīng)當(dāng)注意兼顧兩種方法。

例2已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，求證：BC=1/2AB。

本題需要證明的結(jié)論是，一條線段的長(zhǎng)度等于另一條線段長(zhǎng)度的一半。教師可適當(dāng)提示學(xué)生有兩種證明思路：第一種是延長(zhǎng)BC至原來(lái)長(zhǎng)度的兩倍，再證明其等于AB;第二種是縮短AB至原來(lái)長(zhǎng)度的一半，再證明其等于BC。

針對(duì)第一種證明思路，可延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD=BC（見(jiàn)圖1），此時(shí)只需要證明BD=AB。教師可進(jìn)一步提問(wèn)學(xué)生如何證明，啟發(fā)學(xué)生尋找BD與AB之間的關(guān)系，作出輔助線AD，使得問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明△ABD為等腰三角形。針對(duì)這一命題，學(xué)生很容易判斷出可利用三角形全等來(lái)證明。至此，教師帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)分析法得到了證明思路，學(xué)生也能較為順利地寫出證明過(guò)程。

針對(duì)第二種證明思路，可取AB的中點(diǎn)D（見(jiàn)圖2），此時(shí)只需要證明AD=BC或BD=BC。教師可讓學(xué)生自己嘗試采用綜合法證明：連接CD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出CD=AD=BD，再由∠B=60°，得到△BDC是等邊三角形，進(jìn)而得出結(jié)論。

（二）適當(dāng)揭示邏輯規(guī)則，固化演繹推理思維

形式邏輯有專門的知識(shí)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，這些知識(shí)通常不是系統(tǒng)地講授給學(xué)生的，而是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)潛移默化地掌握的。但是，對(duì)有些邏輯知識(shí)，有必要做適當(dāng)?shù)慕榻B，以幫助學(xué)生形成清晰的思路，固化“言必有據(jù)”的演繹推理思維。

例如，判斷的四種形式是全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。學(xué)生必須理解它們之間的關(guān)系，否則，在推理時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

再如，直言三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成，有四“格”，其中，第一格如下頁(yè)圖3所示（大前提必須是全稱的，小前提必須是肯定的），第二、三、四格稍微復(fù)雜一些。中學(xué)數(shù)學(xué)中的演繹推理幾乎都采用直言三段論的第一格。因此，學(xué)生必須理解清楚這個(gè)規(guī)則，方能正確進(jìn)行演繹推理。

在學(xué)習(xí)演繹推理的初級(jí)階段，有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行推理過(guò)程的補(bǔ)充理由訓(xùn)練。一種方式是寫出全部推理過(guò)程，讓學(xué)生填寫每一步推理的依據(jù);另一種方式是給出有一些空缺步驟的推理過(guò)程，讓學(xué)生補(bǔ)全推理過(guò)程，并寫明理由。許多研究表明，這是行之有效的推理訓(xùn)練方式。

例3如圖4，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE，求證：△BCE≌△ADF。

本題是一道常見(jiàn)的初中幾何證明題，涉及平行線、平行四邊形及全等三角形的有關(guān)知識(shí)，難度適中。教師可以讓學(xué)生獨(dú)立思考并給出證明，同時(shí)在每個(gè)步驟之后寫清理由，如使用的定理、性質(zhì)等，從而幫助學(xué)生理解其中的邏輯關(guān)系。在這一過(guò)程中，教師還要關(guān)注數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的準(zhǔn)確性、嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性，及時(shí)糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤。

（三）設(shè)置合情推理情境，培養(yǎng)歸納類比能力

合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”。教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，充分挖掘教學(xué)資源，靈活創(chuàng)設(shè)合情推理情境，充分展現(xiàn)推理思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的歸納和類比能力。

第一，情境要具有探究性。歸納和類比是探究中常用的推理;反過(guò)來(lái)說(shuō)，只有通過(guò)探究活動(dòng)，才能培養(yǎng)學(xué)生的歸納和類比能力。探究活動(dòng)中，要完成的目標(biāo)（要證明的結(jié)論）應(yīng)該是不明確的，需要通過(guò)合情推理來(lái)發(fā)現(xiàn)。教師可以通過(guò)提問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究;通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，完成目標(biāo)。

例如，“余弦定理”的教學(xué)大多采用演繹推理的方式，利用向量法或幾何法推導(dǎo)出余弦定理，但這種做法容易造成合情推理能力培養(yǎng)的缺失。對(duì)此，可采用“先猜后證”的方式，讓學(xué)生先利用合情推理進(jìn)行探究，再利用演繹推理加以證明，從而體現(xiàn)合情推理能力和演繹推理能力的共同發(fā)展。

具體地，可以從類比推理的角度設(shè)計(jì)。通過(guò)勾股定理的復(fù)習(xí)引入，然后提出下列問(wèn)題：（1）勾股定理揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，那么一般三角形的三邊是否有類似的關(guān)系呢？（2）勾股定理中的三邊關(guān)系有何特點(diǎn)？直角三角形和任意三角形有何關(guān)系？（3）請(qǐng)同學(xué)們觀察等式中的“abcosC”，我們以前似乎研究過(guò)這個(gè)量，它還可以怎樣表示？（4）如果把這個(gè)式子中的量都用向量表示，應(yīng)該是什么形式？（5）你能證明這個(gè)式子嗎？（6）還有其他證明方法嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生類比、分析勾股定理的形式，猜想、證明余弦定理的形式。