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    解析幾何中絢麗的一幕

    2020-11-06 20:21:16鄒海斌
    數(shù)學教學通訊·高中版 2020年9期
    關(guān)鍵詞:方程思想類比

    鄒海斌

    [摘? 要] 文章從圓中兩個性質(zhì)類比到橢圓中的兩個重要結(jié)論開始,探究了橢圓中美好的定值問題,以-■為抓手,證明了一些美妙的結(jié)論,在解析幾何里一些圖形中兩條動直線斜率乘積為定值-■;同時又說明了定值并非都是-■,可以是與a和b有關(guān)的其他值;最后研究了已知兩直線斜率乘積為-■的橢圓中的定值問題.

    [關(guān)鍵詞] 類比;特殊到一般;方程思想;定值問題

    代數(shù)和幾何是數(shù)學的兩個重要的組成部分,那么解析幾何的出現(xiàn)實現(xiàn)了代數(shù)和幾何的融合,形成了形和數(shù)的統(tǒng)一.通過建立坐標系,曲線就可以用一個代數(shù)方程來描述,解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)的方法來研究各類曲線的性質(zhì). 橢圓是圓錐曲線中不可或缺的一員,具有很好的研究價值.比如在天文學上,我們知道行星繞太陽運行的軌跡就是橢圓,太陽剛好處在橢圓的一個焦點上;在生活中,電影放映機的聚光燈泡的反射面就是橢圓面,燈絲在一個焦點上,影片門在另一個焦點上. 在高考中,橢圓也扮演著非常重要的角色,因為它可以很好地考查學生的綜合能力,特別是計算能力和問題的轉(zhuǎn)化能力,橢圓是非常好的一個考查對象,所以研究橢圓曲線的性質(zhì)是非常有意義的.

    我們知道在某種意義上可以把橢圓看成是圓的延伸,所以很多橢圓的性質(zhì)可以從圓中類比過來,比如在圓O中,AB為直徑,P為圓上異于A,B的一點,我們有kAPkBP=-1.

    那么在橢圓中,我們有性質(zhì)(1):對于橢圓■+■=1,A,B為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,P為橢圓上異于A,B的一點,我們有kAPkBP=-■.

    又比如在圓O中,AB為不過原點的弦,P為弦AB的中點,有kOPkAB=-1,這就是圓中的垂徑定理.

    那么在橢圓中,我們有性質(zhì)(2):對于橢圓■+■=1,AB為橢圓中不過原點O的一條弦,P為弦AB的中點,我們有kOPkAB=-■.

    這兩個性質(zhì)是橢圓中的兩個重要結(jié)論,兩條動直線斜率乘積為定值-■,同時也揭開了探究橢圓中美好性質(zhì)的序幕,特別是還有哪些動直線斜率乘積也為定值,定值是多少?這引發(fā)了我們探究的興趣. 當然定值問題只是橢圓美好性質(zhì)中的一部分,不過是非常絢麗的一部分.在變化中尋求不變量一直是我們數(shù)學研究的一個重要方向,而動中找定又是一個非常重要的數(shù)學思想方法,下面我們就來探究一下,橢圓中還有哪些美妙的定值.

    定值問題,變化中不變的東西,我們怎么探究呢?從哪里入手呢?我們不可能每次上來就知道哪些東西是定值,哪兩條直線斜率乘積會是定值,那么從特殊到一般的思想方法就起到了尤為關(guān)鍵的作用,當然你首先要有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛.我們來看下面一個例子.

    在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓■+■=1,A,B為橢圓上兩點,△AOB的面積為■,射線OA,OB的斜率分別為k1和k2,求k1k2的值.

    解:求k1k2的值,采用比較多的角度是用點去求k關(guān)系,我們下面就采用這個方法.

    設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則OA方程:y=■x,點B到直線OA的距離d=■,S△AOB=■■■=■,我們有x2y1-x1y2=2■. 兩邊平方得到x■y■+x■y■-2x1x2y1y2=8,即2x■y■+2x■y■-4x1x2y1y2=16,而k1k2=■,接下去如何化簡才能得到我們想要的呢?我們知道,設(shè)點必然要用到曲線方程,這里是橢圓方程,我們就有x■+2y■=4,x■+2y■=4,接下去關(guān)鍵的一步是把上面的16寫成4×4,消常數(shù)項,使等式兩邊變成齊次式,代入可得到2x■y■+2x■y■-4x■x■y■y■=x■x■+2x■y■+2x■y■+4y■y■,化簡可得(x1x2+2y1y2)2=0,所以k1k2=■=-■.

    從這個k1k2的值為-■這個結(jié)果來看,我們敏感地發(fā)現(xiàn)這個值就是-■,那么這時候我們會想,上面這個題目有沒有一個一般性的結(jié)論,能不能從這樣一個特殊的情況推廣到一般情況?這里的關(guān)鍵是“△AOB面積為■”有沒有特別的含義,經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)■=■ab,所以我們猜想得到下面的結(jié)論.

    結(jié)論1:在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓■+■=1,A,B為橢圓上兩點,△AOB的面積為■ab,射線OA,OB的斜率分別為k1和k2,求證:k1k2=-■.

    證明:同樣設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則OA方程:y=■x,點B到直線OA的距離d=■,S△AOB=■■·■=■ab,我們有x2y1-x1y2=ab. 兩邊平方得到x■y■+x■y■-2x■x■y■y■=a2b2,接下去處理有點不一樣,我們把等式變形成■(x■y■+x■y■-2x■x■y■y■)=1,把右邊的1看成1x1. 又因為■+■=1,■+■=1,代入得到■(x■y■+x■y■-2x■x■y■y■)=■+■+■+■,化簡可得■+■+■=0,即■+■■=0,所以k■k■=■=-■,證畢. 我們把結(jié)論1證明好了,是個漂亮的結(jié)果,我們感到很高興,那么我們是不是就此結(jié)束了呢?答案是否定的,我們要進一步研究,因為對于-■這個定值特別有感觸,我們想是不是還有哪些直線斜率乘積也是定值-■呢?經(jīng)過研究,運用特殊到一般的數(shù)學思想方法,我們還發(fā)現(xiàn)了下面幾個漂亮的結(jié)論.

    結(jié)論2:在平面直角坐標系xOy中,橢圓方程■+■=1,直線l不與x軸垂直,與橢圓相切,直線l與圓x2+y2=a2+b2交于A,B兩點,設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k■和k■,求證:k■k■=-■.

    結(jié)論3:在平面直角坐標系xOy中,橢圓方程■+■=1,A為右準線上任意一點,F(xiàn)■,F(xiàn)■為橢圓的左、右焦點,過F■作直線AF■的垂線BF■交橢圓于B,設(shè)直線AB和OB的斜率為k■和k■,求證:k■k■= -■.

    結(jié)論4:在平面直角坐標系xOy中,橢圓方程■+■=1,M(x■,y■)為橢圓上一點,從原點O向圓M:(x-x■)2+(y-y■)2=■作兩條切線,與橢圓交于A和B兩點,直線OA,OB的斜率分別為k■和k■,求證:k■k■=-■.

    結(jié)論5:在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C方程■+■=1,橢圓D方程■+■=1,過橢圓D 上一點P作橢圓C的兩條切線,切點分別為A和B,直線PA,PB的斜率分別為k■和k■,求證:k■k■=-■.

    下面我們先來證明結(jié)論2:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因為直線l不與x軸垂直,所以斜率存在. 設(shè)直線l方程為y=kx+m,與橢圓方程■+■=1聯(lián)立得到(b2+a2k2)x2+2kma2x+m2a2-a2b2=0. 因為直線l與橢圓相切,所以Δ=0,化簡可得m2=b2+a2k2. 直線l與圓x2+y2=a2+b2聯(lián)立可得(1+k2)x2+2kmx+m2-a2-b2=0,由韋達定理知x■+x■=■,x1x2=■. 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=■,

    所以k1k■=■=■,把m2=b2+a2k2代入,則k1k2=■=-■,證畢.

    結(jié)論3的證明思路和上面一樣,用點去證k關(guān)系,把要證的斜率k的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系,簡單證明如下:

    設(shè)A■,y1,B(x2,y2),F(xiàn)2(c,0),

    則k1k2=■·■=■.

    因為k■k■=■·■=-1,即y■y■= -■(x2-c).

    又因為點B在橢圓上,所以有y■=b21-■,

    所以k■k■=■=-■為定值.

    對于結(jié)論4,我們的證明方法和上面的不一樣,如果我們從點的角度,把斜率k的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點坐標關(guān)系是不好證明的,那么怎么去證明呢?這里我們主要運用方程的思想去證明. 證明如下:

    設(shè)OA方程:y=k■x,OB方程:y=k■x,因為OA與OB為圓M的切線,那么我們不妨設(shè)過原點O的圓M的切線方程為y=kx,則圓心M到切線的距離d=■=■=r,兩邊平方整理得到(x■-r2)k2-2x0y0k+y■-r2=0. 因為k■和k■為方程(x■-r2)k2-2x■y■k+y■-r2=0的兩根,所以k1k2=■. 因為M在橢圓上,有y■=b21-■,代入得到k1k2=■=■=■=-■,證畢.

    同樣的,我們也可以用方程的思想來證結(jié)論5,證明如下:

    設(shè)P(x0,y0),為了計算上的方便,這里我們運用了整體思想,設(shè)過點P的橢圓C的切線l方程為y=kx+t,其中t=y0-kx0. 直線l與橢圓C:■+■=1聯(lián)立得到(b2+a2k2)x2+2ka2tx+a2t2-a2b2=0. 因為l與橢圓C相切,所以Δ=0,化簡可得t2=b2+a2k2,把t=y0-kx0代入得到(x■-a2)k2-2x0y0k+y■-b2=0. 因為直線AP和BP都為橢圓C的切線,斜率分別為k■和k■,所以k■和k■為方程(x■-a2)k2-2x0y0k+y■-b2=0的兩根,所以k1k2=■. 又因為點P在橢圓D上,有y■=2b21-■,則k1k2=■=■=■=-■,證畢.

    這樣我們就完成了結(jié)論2、3、4、5的證明,那么除了直線斜率乘積為定值 -■之外,有沒有其他的直線斜率乘積是定值了呢?經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),答案是肯定的,比如下面的一個例子.

    在直角坐標系xOy中,已知橢圓■+■=1的右頂點和上頂點分別為A和B,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓,AB∥DC,記AD,BC的斜率分別為k■,k■,求證:k■k■為定值.

    證明:設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),直線AB斜率為-■,設(shè)直線CD方程:y=-■(x-x1)+y1,與橢圓■+■=1聯(lián)立得到2b2x2-(2b2x1+2aby1)x+b2x■+2abx1y1+a2y■-a2b2= 0.因為點C在橢圓上,有y■=b21-■,代入得到2b2x2-(2b2x1+2aby1)x+2abx1y1=0,由韋達定理知,x1x2=■=■,所以x2=■y1,代入直線CD方程得y2=■x1.所以k1k2=■·■=■·■= ■為定值,證畢.

    在我們的研究中,我們還發(fā)現(xiàn)了一個有意思的事情,就是把“兩直線斜率乘積為定值-■”作為條件,也可以得到橢圓的一些美好的結(jié)論,這類問題可以看成是斜率關(guān)系的逆問題,也非常值得研究,比如下面的例子.

    在直角坐標系xOy中,已知橢圓方程■+■=1,A,B為橢圓上的兩點,直線OA與直線OB的斜率乘積為-■,點B關(guān)于x軸的對稱點為C點,

    求證:(1)OA2+OB2為定值;

    (2)直線AC的斜率為定值.

    證明(1):設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,-y2),OA方程:y=k1x,與橢圓■+■=1聯(lián)立得到x■=■,同理設(shè)OB方程:y=k2x,可得到x■=■.

    因為k1k2=-■,即k■=■,則x■=■=■,所以x■+x■= ■+■=■=a2,y■+y■=k■x■+k■x■=k■■+k■■=■=b2,所以O(shè)A2+OB2=x■+y■+x■+y■=a2+b2為定值.

    直線AC的斜率kAC=■,接下去怎么處理呢?這里我們用一個小技巧,兩邊平方,得到kAC2=■■=■,由(1)知x■+x■=a2,y■+y■=b2,則k■=■. 又因為k1k2=■= -■,所以k■=■=■=■為定值,所以直線AC的斜率為定值.

    以上是對橢圓中直線斜率關(guān)系問題的探究,我們得到了橢圓中的一些美好的性質(zhì),當然這僅僅是冰山一角,但足以體現(xiàn)橢圓的美. 這種美是圓錐曲線,也是整個解析幾何中非常絢麗的一幕,這些性質(zhì)有的還可以類比到雙曲線中,這里就不做研究了.

    結(jié)束語

    我們教師在平時的教學中,自身要多歸納,多總結(jié),教學相長,不斷提升自己,俗話說打鐵還需自身硬,要有一雙發(fā)現(xiàn)問題的眼睛,有探索的精神,有解決問題的能力,這樣才能做到會當凌絕頂,一覽眾山小. 基于數(shù)學核心素養(yǎng)下的解題教學,是每位教師終生探究的課題,望共勉之.

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