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    關(guān)于導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的探討與思考

    2020-11-06 07:39:39易振宇
    關(guān)鍵詞:單調(diào)性不等式極值

    易振宇

    [摘? 要] 導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具,可以應(yīng)用于眾多數(shù)學(xué)問題中,有利于解題思路的構(gòu)建,可顯著提高解題效率. 其中函數(shù)單調(diào)性、極值最值問題、零點(diǎn)問題和不等式問題是導(dǎo)數(shù)的四大應(yīng)用點(diǎn). 文章剖析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的背景,結(jié)合實(shí)例探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,總結(jié)方法策略,開展教學(xué)思考.

    [關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);應(yīng)用;單調(diào)性;極值;零點(diǎn);不等式

    導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜述

    導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,高考對導(dǎo)數(shù)的考查力度逐年遞增,命題的難度和廣度也同步加大. 一般對該部分的考查分三個(gè)層次:第一層是掌握求導(dǎo)公式,靈活運(yùn)用法則對函數(shù)求導(dǎo);第二層是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解一些簡單問題;第三層上升到綜合能力,需要熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決綜合性問題. 從導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的三大層次來看,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是重點(diǎn),因此開展導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用探究,總結(jié)方法策略是提升解題能力的關(guān)鍵.

    應(yīng)用探究及方法整合

    導(dǎo)數(shù)不僅是重點(diǎn)知識,還可作為一種解題工具,在研究函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)極值與最值、分析函數(shù)零點(diǎn)、突破不等式問題中有著廣泛的應(yīng)用,下面將結(jié)合實(shí)例對其加以探究,并對解題方法進(jìn)行整合.

    應(yīng)用一:研究函數(shù)單調(diào)性

    研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用,分析對應(yīng)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性實(shí)則就是判斷f′(x)的符號,實(shí)際應(yīng)用時(shí)需明確函數(shù)的定義域,在定義域內(nèi)對導(dǎo)函數(shù)的符號加以討論.

    例1:已知某函數(shù)的解析式為f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4,試回答下列問題.

    (1)求函數(shù)f(x)的解析式;

    (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

    解析:(1)求函數(shù)f(x)的解析式需要利用條件“點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4”,從而可得f(2)=2e+2,f′(2)=e-1,構(gòu)建方程可解得a=2,b=e,故函數(shù)解析式為f(x)=xe2-x+ex.

    (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間需要研究導(dǎo)函數(shù)f′(x)在定義域上的符號. f′(x)=(1-x)e2-x+e,令g(x)=(1-x)e2-x,g′(x)=(x-2)e2-x,可推得表1.

    所以g(x)的最小值為g(2)=-1,則f′(x)的最小值為f′(2)=e-1>0,所以f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,沒有減區(qū)間.

    評析:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)可以按照如下步驟進(jìn)行,第一步,確定函數(shù)f(x)的定義域;第二步,求導(dǎo)函數(shù)f′(x),將f(x)間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)及實(shí)數(shù)根按順序排列,并將其定義域分為若干區(qū)間;第三步,確定各開區(qū)間內(nèi)f′(x)的符號,根據(jù)其符號來判定f(x)在區(qū)間內(nèi)的增減性.

    應(yīng)用二:求解函數(shù)極值與最值

    利用導(dǎo)數(shù)可以求解函數(shù)的極值與最值,這是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用點(diǎn). 對于該應(yīng)用點(diǎn)首先需要充分理解極值與最值的概念,將兩者加以區(qū)分,然后明晰函數(shù)極值存在的條件,同時(shí)把握其中的核心結(jié)論,如函數(shù)的極值可能有多個(gè),但最值僅有一個(gè),極值與最值可以相互轉(zhuǎn)化.

    例2:已知函數(shù)的解析式為f(x)=(ax2+x)ex,其中e為自然數(shù)的底數(shù),a∈R.

    (1)若a<0,求不等式f(x)>0的解集;

    (2)若a>0,試分析f(x)的區(qū)間(-1,1)上是否存在最值?若不存在,說明理由.

    解析:(1)可將不等式轉(zhuǎn)化為ax2+x>0,又知a<0,則xx+■<0,所以不等式f(x)>0的解集為0,-■.

    (2)可利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有無最值. 求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]ex,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,其圖像的對稱軸為x=-1-■<-1. 由于g(-1)·g(0)<0,則g(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn),可將其記為x■,所以在區(qū)間(-1,x■)上g(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間(x■,1)上g(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)的區(qū)間(-1,1)上有最小值,但無最大值.

    評析:對于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),在點(diǎn)x■處存在極值需要滿足兩個(gè)條件:①f′(x■)=0;②點(diǎn)x■的左右兩側(cè)的f′(x)的符號不同. 在求解極值問題時(shí)要找準(zhǔn)解題的突破點(diǎn),確定討論的關(guān)鍵,充分利用極值點(diǎn)存在的條件進(jìn)行探討,也可以結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖像,觀察圖像變化的趨勢,結(jié)合函數(shù)方程的特性來突破考題.

    應(yīng)用三:分析函數(shù)零點(diǎn)

    函數(shù)的零點(diǎn)是高考的熱點(diǎn)問題,判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法有很多,可利用導(dǎo)數(shù)來分析及判斷函數(shù)的零點(diǎn). 學(xué)習(xí)時(shí)需要理解函數(shù)零點(diǎn)的概念,把握零點(diǎn)的存在性定理,掌握導(dǎo)數(shù)分析零點(diǎn)問題的方法.

    例3:(2018年理數(shù)全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

    (1)若a=1,試證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1;

    (2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),求a的值.

    解析:此處重點(diǎn)求解第(2)問,設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x,若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),則當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),結(jié)合a的取值加以討論.

    (Ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí),h(x)>0,h(x)沒有零點(diǎn);

    (Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),h′(x)=ax(x-2)e-x. 在區(qū)間(0,2)上,h′(x)<0,在區(qū)間(2,+∞)上,h′(x)>0,所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)在(0,+∞)上的最小值為h(2)=1-■.

    ①當(dāng)h(2)>0時(shí),有a<■,h(x)在(0,+∞)上無零點(diǎn);②當(dāng)h(2)=0時(shí),有a=■,h(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)h(2)<0時(shí),有a>■,h(x)在(0,2)上有一個(gè)零點(diǎn).

    結(jié)合(1)問可知h(4a)=1-■=1-■>1-■=1-■>0,則h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn),故在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn). 綜上可知,若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),則a=■.

    評析:使用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的策略是先利用導(dǎo)函數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性,然后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來加以分析. 學(xué)習(xí)時(shí)需要理解以下兩個(gè)知識要點(diǎn):一是函數(shù)單調(diào)性對零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響;二是配合零點(diǎn)與單調(diào)性確定函數(shù)符號,掌握導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)綜合問題的方法.

    應(yīng)用四:破解不等式

    導(dǎo)數(shù)在破解不等式綜合問題中同樣有著廣泛的應(yīng)用,如參數(shù)范圍、數(shù)列不等式、恒成立問題等,問題突破時(shí)需要結(jié)合不等式的特征結(jié)構(gòu)來構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合不等式的性質(zhì)破解.

    例4:已知函數(shù)的解釋式為f(x)=(1-x2)ex,當(dāng)x≥0時(shí)有f(x)≤ax+1,試求a的取值范圍.

    解析:當(dāng)x=0時(shí),顯然不等式成立,a可取任何值. 而當(dāng)x>0時(shí),問題轉(zhuǎn)化為a≥■=g(x),即■g(x)=1,可猜想g(x)<1. 下面證明當(dāng)x>0時(shí),g(x)<1成立,實(shí)際就是證明f(x)-x<1. 構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-x=(1-x2)ex-x,則h′(x)=ex(-x2-2x+1)-1,h″(x)=ex(-x2-4x-1). 分析可知當(dāng)x>0時(shí),h″(x)<0,h′(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,h′(x)

    評析:利用導(dǎo)數(shù)法求解復(fù)雜不等式問題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè):若不等式含參則需要分離變量,構(gòu)造函數(shù);利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)時(shí)需充分考慮函數(shù)區(qū)間,確保結(jié)論遞推正確. 因此從求解過程來看,利用導(dǎo)數(shù)求復(fù)雜不等式實(shí)則就是將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù),通過對函數(shù)性質(zhì)的研究來加以解決.

    導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的思考

    下面對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及其教學(xué)做進(jìn)一步思考.

    1. 深入剖析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用知識

    導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用較為廣泛,其中涉及曲線切點(diǎn)、零點(diǎn)、極值、單調(diào)性等知識,這些內(nèi)容也是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識. 學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用就應(yīng)對上述知識點(diǎn)的核心加以剖析,例如切線判斷的條件、零點(diǎn)存在性定理、極值存在滿足的條件等,理解必要條件與充分條件的內(nèi)涵,對條件加以辨析,以防混淆. 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)應(yīng)立足基本概念,引導(dǎo)學(xué)生對定理加以剖析,理解其中的邏輯關(guān)系,以此為依托開展應(yīng)用探討.

    2. 強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解決問題

    導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用廣泛,上述呈現(xiàn)了其中具有代表性的問題,強(qiáng)化四大問題可提升學(xué)生導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的能力,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)關(guān)注問題的本質(zhì),整體把握問題突破的思路. 例如利用導(dǎo)數(shù)求解含參不等式問題時(shí),應(yīng)分離參數(shù),合理構(gòu)造函數(shù),將其轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的最值問題,其本質(zhì)就是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì). 教學(xué)中可以采用分模塊探討的方式,引導(dǎo)學(xué)生對問題突破的思路加以歸納,引入導(dǎo)數(shù)來優(yōu)化思路,逐步形成導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求解問題的策略.

    3. 提升導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解題思維

    導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的過程中必然涉及眾多的思想方法,這些思想方法是構(gòu)建解題思路的關(guān)鍵,因此提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問題的熟練度是十分重要的. 例如求解最值問題中需要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù)來輔助研究原函數(shù)性質(zhì),必要時(shí)還需對參數(shù)的取值加以討論,其中涉及轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造思想和分類討論思想,正是三大思想的綜合簡化了解題過程. 因此導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解題的過程就是數(shù)學(xué)思維的過程,在該過程中可以促成知識與思想的融合,教學(xué)中應(yīng)立足數(shù)學(xué)思想開展問題探究,利用考題講解來完成思想方法的升華.

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