開展思路突破，反思破題方法

許偉

[摘? 要] 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其問題具有綜合性強(qiáng)、知識關(guān)聯(lián)、解法多樣等特點(diǎn)，考題設(shè)問具有一定的代表性，深入探究可有效提升學(xué)生的解析能力. 文章對一道圓錐曲線綜合題進(jìn)行思路突破，開展解后反思，拓展延伸，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;相交;范圍;代數(shù)法

問題呈現(xiàn)，思路突破

1. 問題呈現(xiàn)

問題：已知橢圓的解析式為■+y2=1，點(diǎn)F■和F■分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）設(shè)點(diǎn)P是第一象限在該橢圓上的一點(diǎn)，若■·■=-■，試求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）設(shè)直線l過定點(diǎn)M（0，2），與橢圓交于A和B，連接AO，BO，若∠AOB為銳角（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），k為直線l的斜率，試求k的取值范圍.

2. 思路突破

上述考題為圓錐曲線綜合題，主要考查直線與橢圓相交的位置關(guān)系，以及曲線方程的計算. 問題共分兩問，第（1）問融合向量數(shù)量積求解橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，需要把握幾何向量對數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系的內(nèi)在表達(dá);第（2）問分析直線與橢圓相交所構(gòu)角為銳角時直線的斜率，同樣可以結(jié)合向量數(shù)量積的相關(guān)知識求解.

（1）該問的核心條件為“■·■= -■”，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，綜合該條件與點(diǎn)P位于橢圓上來構(gòu)建方程，具體如下.

根據(jù)橢圓的解析式可知a=2，b=1，c=■，則橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)：F■（-■，0），F(xiàn)■（■，0）. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P位于第一象限，其中x>0，y>0，■·■=x2+y2-3=-■. 又知點(diǎn)P滿足橢圓方程，可得方程x2+y2=■，■+y2=1，可解得x=1，y=■，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，■.

（2）該問的核心條件是∠AOB為銳角，需要將該幾何條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，可以采用如下解題策略：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合幾何特性與向量之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行轉(zhuǎn)化破解，具體如下.

分析可知直線為x=0時不滿足題設(shè)要求，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為（x■，y■），（x■，y■）.

若∠AOB為銳角，則等價于■·■>0，有x■x■+y■y■>0，點(diǎn)A和B均滿足直線l的方程，故y■y■=（kx■+2） （kx■+2）=k2x■x■+2k（x■+x■）+4，所以x■x■+y■y■=（k2+1）x■x■+2k（x■+x■）+4>0①.

聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，整理可得（4k2+1）x2+16kx+12=0，由韋達(dá)定理可得x■+x■=-■，x■x■=■，由Δ>0可得k2>■②. 將根與系數(shù)的關(guān)系代入①中，整理可得x■x■+y■y■=■>0，解得 -■

問題評析，解后思考

上述對一道圓錐曲線綜合題進(jìn)行了方法剖析、思路突破. 問題涉及向量數(shù)量積的相關(guān)知識，其中求點(diǎn)坐標(biāo)和斜率k的取值范圍屬于圓錐曲線的典型問題，下面對其進(jìn)一步思考.

1. 問題突破的關(guān)鍵

考題以橢圓與直線相交為背景，融合了向量數(shù)量積相關(guān)條件，是圓錐曲線與向量融合的代表. 第（1）問求解滿足向量數(shù)量積條件的點(diǎn)P坐標(biāo)，實則設(shè)定了點(diǎn)P與焦點(diǎn)之間的數(shù)量及位置關(guān)系，突破的關(guān)鍵是通過向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來構(gòu)建方程;而第（2）問探討直線與橢圓相交形成幾何角為銳角時的斜率取值，屬于幾何與函數(shù)的綜合問題，突破的關(guān)鍵是把握銳角與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)形與數(shù)的轉(zhuǎn)化. 把握突破關(guān)鍵、合理轉(zhuǎn)化問題是破解綜合性問題的基本策略.

2. 解法突破的剖析

深入剖析圓錐曲線典型問題的解法可以深入認(rèn)識考題，提升學(xué)生的解題能力. 上述考題的第（1）問采用的是向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法，將點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程問題，該方式適用于曲線與直線的相交問題. 第（2）問考查常用的代數(shù)轉(zhuǎn)化法，即把握兩線相交成銳角與向量數(shù)量積的關(guān)系，從幾何特性出發(fā)來構(gòu)建數(shù)式，該方法適用于數(shù)形關(guān)系明確的問題，同時該問題可以從兩線斜率角度來構(gòu)建方程.

問題延伸，解法拓展

第（2）問考查圓錐曲線中的取值范圍題，在求解時采用了根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合幾何特性與向量之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的策略. 圓錐曲線中的取值范圍問題類型較為多樣，解析方法不一，除了上述方法外，還有如下兩種常用策略，下面結(jié)合實例具體剖析.

策略1：建立目標(biāo)問題表達(dá)式，結(jié)合參數(shù)或幾何性質(zhì)求取值范圍

例1：已知橢圓C的解析式為■+■=1，點(diǎn)A和B為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn). 點(diǎn)P是圓x2+y2=4上的一個動點(diǎn)（異于點(diǎn)A和B），直線PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，則■的取值范圍為__________.

解析：該問題為直線與曲線相交的斜率比取值問題，求解目標(biāo)明確，需要聯(lián)合直線與曲線的方程來構(gòu)建斜率比的表達(dá)式，故可以采用“建立目標(biāo)問題表達(dá)式，結(jié)合參數(shù)或幾何性質(zhì)求取值范圍”的策略.

根據(jù)題意可知A（-2，0），B（2，0），F(xiàn)（1，0），PA⊥PB. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x■，y■），則k■·k■=■·■= =■，所以■=-■=■=■1+■，其中x■∈（-2，2），且x■≠1，所以■1+■<0或者0<■1+■<1，則■的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1）.

策略2：利用判別式或韋達(dá)定理建立不等式求取值范圍

例2：已知直線l的表達(dá)式為x-my+m=0，圓C的解析式為（x-1）2+y2=1，若直線l與圓C的兩個交點(diǎn)均位于坐標(biāo)平面的不同象限上，則m的取值范圍為________.

解析：本題目求直線參數(shù)m的取值范圍，設(shè)定了直線與圓兩個交點(diǎn)的位置關(guān)系，不需要對目標(biāo)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只需根據(jù)限制條件來分析即可，故可以采用“利用判別式或韋達(dá)定理建立不等式求取值范圍”的策略.

聯(lián)立圓C與直線l的解析式，整理可得（1+m2）y2-2m（m+1）y+m2+2m=0，由直線與圓有兩個交點(diǎn)可知Δ>0，則有Δ=-8m>0，解得m<0. 若要使圓C與直線l的交點(diǎn)位于兩個不同的象限，則需確保交點(diǎn)的縱坐標(biāo)符號相反，即交點(diǎn)分別在第一和第四象限，則有y■y■<0，聯(lián)系上述方程可得y■y■=■<0，可解得 -2

上述對圓錐曲線中常用的兩種方法策略進(jìn)行了舉例探析，所選策略是由條件特征和目標(biāo)問題共同決定的. 總體而言，圓錐曲線問題有幾何法和代數(shù)法兩種，對于條件與結(jié)論顯現(xiàn)幾何特性的問題可考慮采用幾何法求解，而對于條件與結(jié)論具有某種函數(shù)關(guān)系的問題則可以采用代數(shù)法.

教學(xué)反思，學(xué)習(xí)建議

圓錐曲線中的求點(diǎn)和取值范圍是高中的典型問題，上述對其解析方法和思路進(jìn)行了深入探究，同時對取值范圍問題的解題策略加以拓展，下面對其開展教學(xué)反思，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

1. 把握問題特征，合理構(gòu)建思路

圓錐曲線問題的突破過程需要經(jīng)歷問題分析和思路構(gòu)建兩個過程，其中分析過程中需要把握問題特征，條件特性，這是思路構(gòu)建的基礎(chǔ). 如上述考題第（1）問直線與橢圓相交中，給出了向量數(shù)量積的條件，該條件設(shè)定了相交直線的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. 又如第（2）問求夾角為銳角時直線斜率的取值，條件具有鮮明的幾何特征，而目標(biāo)問題顯然需從“數(shù)”的角度探究. 問題的這些特征可為解題策略的確定提供參考. 在教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生深入讀題，把握問題特征，挖掘問題本質(zhì)，辨析解析方法，幫助學(xué)生形成解題策略.

2. 開展專題探究，總結(jié)歸納解法

高中數(shù)學(xué)含有眾多的經(jīng)典問題，例如上述的交點(diǎn)問題、取值范圍問題、向量數(shù)量積問題等，開展類型問題探究有助于整合問題，歸納解法. 例如上述對取值范圍問題的幾種常用策略進(jìn)行了歸納總結(jié)，在舉例探究中形成了“特性決定方法，策略反饋問題”的解題方針. 因此在復(fù)習(xí)教學(xué)階段，應(yīng)將教學(xué)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到專題探究中，通過對典型問題的整合、常用方法的歸納來提升學(xué)生的解題能力，在整合歸納過程中還應(yīng)側(cè)重對關(guān)聯(lián)知識的鞏固，完善知識體系，形成系統(tǒng)的方法策略.

3. 關(guān)注解題思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可從根本上提升學(xué)生的解題能力，同時發(fā)展學(xué)生思維是高中教學(xué)的核心任務(wù)，而在實際教學(xué)中應(yīng)從思想方法入手，即通過解題思想的滲透傳達(dá)來逐步完成. 例如上述圓錐曲線問題的探究中，應(yīng)滲透方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生基于問題條件來構(gòu)建方程，或結(jié)合相應(yīng)的解題策略來轉(zhuǎn)化問題，另外還可以引入問題圖像，指導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合來簡化問題. 總之，學(xué)生的思維發(fā)展應(yīng)落實到具體的教學(xué)中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).