空間平面轉(zhuǎn)換，突破立體幾何

李興

[摘? 要] 空間向平面的轉(zhuǎn)換是突破立體幾何問題的基本策略，也是降維思考的方法途徑，其中翻折問題、截面問題、角度問題是最具代表性的空間問題. 文章以三大問題為例，詳細(xì)解析空間向平面轉(zhuǎn)換的方法技巧.

[關(guān)鍵詞] 空間幾何;平面;轉(zhuǎn)換;翻折;截面;角度

背景綜述

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，分析判定幾何要素的位置關(guān)系、計算推理空間圖形的幾何量是常見的問題類型，問題突破的一般思路是降維分析，即把握空間圖形與平面幾何之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)兩者的轉(zhuǎn)換，從而完成空間問題的平面化解答. 因此對學(xué)生的空間思維有著較高的要求，需要有效實(shí)施降維轉(zhuǎn)換，合理構(gòu)建思路. 降維轉(zhuǎn)化體現(xiàn)最為明顯的三類問題為翻折問題、截面問題、角度問題，下面結(jié)合實(shí)例探究總結(jié)方法技巧.

示例探究

一、把握不變量，突破幾何翻折

圖形翻折是空間幾何的典型問題，在翻折的過程中，圖形經(jīng)歷了由平面到空間的構(gòu)建過程，在該過程中兩者顯然存在緊密的聯(lián)系，即翻折前后有一定的不變量，而這些不變量構(gòu)建了平面圖形與空間幾何之間的橋梁，也是問題降維突破的關(guān)鍵.

例1：已知菱形ABCD的邊長為2，BD=2■，現(xiàn)將菱形ABCD沿著對角線AC進(jìn)行對折，使得二面角B-AC-D的余弦值為■，如圖1所示，試求所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積.

解析：本題目中翻折過程為：菱形ABCD沿對角線AC翻折為三棱錐，關(guān)鍵條件為二面角B-AC-D的余弦值為■. 分析可知圖形翻折過程菱形所具有的一些特性保持不變，故可從中提取一些不變量，然后以此為基礎(chǔ)，結(jié)合對應(yīng)二面角來推理核心條件，進(jìn)而求解三棱錐外接球的半徑.

BD為菱形的一邊對角線，分析可知△ABC和△ADC為等邊三角形，取AC的中點(diǎn)為N，連接ND，BN，則BN⊥AC，DN⊥AC，所以∠BND就為二面角B-AC-D的平面角. 過點(diǎn)B作ND的垂線，垂足為點(diǎn)O，則BO⊥平面ACD，如圖1所示. 易知BN=DN=■，cos∠BND=■，可得ON=BN·cos∠BND=■=■ND，即點(diǎn)O為△ADC的中心，OB=■. 而三棱錐A-BCD的外接球的球心必然位于BO所在直線上，可將球心設(shè)為O■，半徑為r，連接DO■，則BO■=DO■=r，OO■=■-r，在Rt△OO■D中，由勾股定理可得DO■=OO■+OD2，所以■-r2+■2=r2，可解得r=■，則三棱錐外接球的表面積為S=4πr2=6π.

指點(diǎn)迷津：上述是以平面折疊為背景的空間幾何問題，求解過程充分利用了菱形的邊長相等、對角線垂直平分等特性，以此為基礎(chǔ)確定了外接球的半徑. 其中的垂直關(guān)系是進(jìn)行問題推理的關(guān)鍵，也是平面幾何與空間立體的銜接條件，因此在突破折疊類立體幾何問題時，需要把握折疊前后的不變量，利用恒定關(guān)系開展推理分析. 另外實(shí)際求解時可以按照如下步驟進(jìn)行：

第一步，根據(jù)題干信息理解折疊過程，提取其中的折疊條件;

第二步，根據(jù)平面圖形的特性，提取平面幾何與空間幾何的不變量;

第三步，根據(jù)不變量開展分析推理，進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換，降維思考;

第四步，在平面中建立解析模型，計算關(guān)鍵量，完成求解.

二、提取分析圖形，突破截面問題

分析空間圖形中的截面要素是常見的問題類型，也是空間與平面轉(zhuǎn)換視角下的典型問題. 該類問題往往以常見的立體圖形為基礎(chǔ)，通過圖形組合來構(gòu)建復(fù)合圖形，以平面截取的方式來構(gòu)建相應(yīng)的截面問題，如截面的面積、截面周長、截面的棱長等. 空間轉(zhuǎn)換時需要明確切點(diǎn)及接點(diǎn)的位置，提取截面圖形，進(jìn)而結(jié)合相關(guān)知識分析推理.

例2：三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)均位于球O的球面上，已知SA⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，其中SA=AB=AC=2，點(diǎn)D為BC上的中點(diǎn). 現(xiàn)過點(diǎn)D作球O的截面，試求截面圖形面積的最小值.

解析：本題目為空間幾何求截面面積問題，顯然需要完成空間向平面的轉(zhuǎn)換，過點(diǎn)D作球O的截面，顯然截面始終為圓，故截面面積由圓的半徑?jīng)Q定. 已知△ABC為等腰直角三角形，其中點(diǎn)D是斜邊BC上的中點(diǎn)，則點(diǎn)D就為△ABC的外心，過點(diǎn)D作DO⊥平面ABC，則DO上的點(diǎn)到點(diǎn)A，B，C的距離相等，故球心位于直線OD上. 又知SA⊥平面ABC，SA=2，故當(dāng)DO=■SA=1時，點(diǎn)O為外接球的球心.

過點(diǎn)D作球O的截面，顯然點(diǎn)D就為截面圓的圓心，分析可知可將截面圓的半徑表示為r=■，其中h表示球心O到截面的距離，顯然當(dāng)h最大時，截面圓的半徑最小，此時截面的面積也最小，故正確的解法是確保OD⊥截面，在該情形下進(jìn)行如下推理計算.

連接OA，如圖2所示，設(shè)外接球的半徑為R，在直角梯形SADO中，OA=OS=R，SA=2，OD=1，AD=■，可解得R=■. 在Rt△OAD中，由勾股定理可得AD=■=■，即截面圓最小半徑為■，所以截面面積的最小值為2π.

指點(diǎn)迷津：上述以三棱錐外接球?yàn)楸尘?，開展截面面積最值分析，問題突破的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是確定截面圖形，二是確定截面圖形半徑最小時的截取情形. 對于空間幾何截面問題的轉(zhuǎn)換，需要具備較強(qiáng)的空間想象力，對幾何體的特征結(jié)構(gòu)有充分的了解. 以涉及球的外接情形為例，問題突破分為兩個階段：一是模型構(gòu)建，平面轉(zhuǎn)換;二是幾何應(yīng)用，化簡求解.

第一階段，需把握圖形的切點(diǎn)或接點(diǎn)，構(gòu)建相應(yīng)的截面模型，從而將空間問題轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的平面幾何問題;

第二階段，該階段需要利用平面幾何的性質(zhì)定理來解析模型，可以綜合利用三角函數(shù)、均值不等式、導(dǎo)數(shù)、方程等知識.

三、空間向量轉(zhuǎn)換，突破角度計算

立體幾何中的角度計算是核心問題，求解過程需要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，故完成空間到平面的轉(zhuǎn)換十分重要，也是問題突破的難點(diǎn)所在. 轉(zhuǎn)換時可以采用多種方法，結(jié)合定義，利用共垂面法，也可直接使用空間向量法，其中向量法的程序性更強(qiáng)，可直接將問題轉(zhuǎn)換為平面內(nèi)法向量的夾角問題.

例3：如圖3所示，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD為菱形，EF∥AC，EF=1，∠ABC=60°，CE⊥平面ABCD，CE=■，CD=2，點(diǎn)G為DE的中點(diǎn).

（1）試求證平面ACG∥平面BEF;

（2）試求直線AD與平面ABF所成角的正弦值.

解析：本題目為常規(guī)的空間幾何題，第（1）問兩平面平行證明，利用定理逐步證明即可;第（2）問為直線與平面所成角計算，可以采用空間向量法.

（1）連接BD，與AC的交點(diǎn)為O，可知點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，則OG∥BE，由于BE？奐平面BEF，OG位于平面BEF外，故OG∥平面BEF;

又知EF∥AC，AC∥平面BEF，AC與OG的交點(diǎn)為O，平面ACG內(nèi)有兩條相交直線分別與平面BEF平行，所以平面ACG∥平面BEF.

（2）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖4，則A（-1，0，0），B（0，-■，0），D（0，■，0），F(xiàn)（0，0，■），則■=（1，■，0），■=（1，-■，0），■=（1，0，■）.

設(shè)平面ABF的法向量為m=（a，b，c），由題意可知m⊥■，m⊥■，

則有a-■b=0，a+■c=0，可解得a=■，b=1，c=-1，即m=（■，1，-1），所以cos〈■，m〉=■=■，所以直線AD與平面ABF所成角的正弦值為■.

指點(diǎn)迷津：空間角度問題的基本求解思路就是空間轉(zhuǎn)換，即將其轉(zhuǎn)化為平面中的角度問題，求解方法具有一定的代表性，可利用定義法、三垂線定理、射影法、向量法.

對于其中的異面直線所成角問題，可以按照如下思路進(jìn)行：第一步平移，化異面為相交;第二步定角，根據(jù)角定義找到所成的平面角;第三步求角，在三角形中使用余弦或正弦定理求角.

而利用空間向量法求解時則可以省去平移、定角的過程，直接遵照如下思路進(jìn)行：

第一步建系，根據(jù)圖形特點(diǎn)，合理建立空間直角坐標(biāo)系;

第二步列向量，根據(jù)題干線段長，計算關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)坐標(biāo)求相應(yīng)直線的方向向量;

第三步求法向量，利用直線垂直對應(yīng)數(shù)量積為零來列方程組，求解法向量;

第四步求角，將空間內(nèi)的角度問題轉(zhuǎn)換為法向量的關(guān)系問題，完成角度求解.