函數(shù)的概念和圖象

3.1 函數(shù)的概念和圖象

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

考點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)及其自變量的取值范圍，函數(shù)圖象的分析及判斷，

易混易錯(cuò)點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐際問題，主要有兩種類型：一是規(guī)律探索問題，這類問題不容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，確定點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)易出潛;二是靜態(tài)情形下確定點(diǎn)的坐標(biāo)問題，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)易混淆.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的長，同時(shí)要正確理解實(shí)際問題中圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的意義.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

高頻考點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)物征

例1 （2019.菏澤）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是：從原點(diǎn)O出發(fā)，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長度，其移動(dòng)路線如圖1所示，第一次移動(dòng)到點(diǎn)A1，第二次移動(dòng)到點(diǎn)A2，…，第n次移動(dòng)到點(diǎn)An，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是（? ? ?）.

A. （1 010，0）

B. （1 010，1）

C. （1 009，0）

D. （1 009，1）

解析：由題意可得A.（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1） ，A6（3，1）…

∵2019÷4=504-3.

∴A2019的坐標(biāo)為（504x2+1，0），即（1009，0）.

∴選C.

點(diǎn)撥：對于平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律探索問題，根據(jù)圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)的變化特點(diǎn)，可以將這類題概括為兩種形式：一種是點(diǎn)的坐標(biāo)是在同一象限內(nèi)遞推變化，另一種是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化.解決這類題首先作出正確判斷，然后根據(jù)圖形的變化規(guī)律分別求出起始幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，看看后一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與前一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間有沒有倍數(shù)關(guān)系，或者點(diǎn)的坐標(biāo)與序數(shù)之間有沒有關(guān)系.如果屬于第一種情況，只需根據(jù)倍數(shù)關(guān)系確定所求第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);如果屬于第二種情況，只需找出循環(huán)“一周”的變換次數(shù)，然后確定點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律，求出第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

例2（2019.綿陽）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，O點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），∠AOC=60°.則對角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（? ? ? ）.

A.（2，√3）

B.（√3，2）

C. （√3 ，3）

D. （3 ， √3）

解析：過點(diǎn)E作ED⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，如圖3.

因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形.∠AOC=60°.所以∠AOE=30°.在Rt△OEA中.∠OEA=90°，OA =4，可得OE=2、√3，AE=2.

根據(jù)面積法或解直角三角形，可得ED=√3.OD=3.故選D.

點(diǎn)撥：在平面直角坐標(biāo)系中，求靜態(tài)情形下點(diǎn)的坐標(biāo)，方法是利用解直角三角形、勾股定理或相似三角形的知識求線段的長.

高頻考點(diǎn)2 函數(shù)圖象的分析

例3 （2019.濰坊）如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.動(dòng)點(diǎn)P沿折線BCD從點(diǎn)B開始向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合）.設(shè)運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（? ? ?）.

解析方法1：動(dòng)點(diǎn)P沿折線BCD從點(diǎn)B開始向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），可以分為兩個(gè)階段：

（1）點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，S△APD=1/2x3x2=3.

（2）點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，S△APD=1/2×3×（2+3一x）=一3/2x+15/2，此時(shí)自變量x的范圍是3≤x<5.

選D.

方法2：從動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡看，點(diǎn)C是一個(gè)分界點(diǎn)，此時(shí)自變量x的值為3，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)△APD的面積不變，這樣可以判斷出正確答案為D.

點(diǎn)撥：解答以幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)為背景判斷函數(shù)圖象的題目，一般的思路有兩種：（1）找因變量與自變量之間存在的函數(shù)關(guān)系，再找出相對應(yīng)的函數(shù)圖象，要注意分類討論自變量的取值范圍.（2）直接根據(jù)幾何量的變化趨勢（注意分界點(diǎn)）判斷函數(shù)圖象，

分析函數(shù)圖象的步驟是：（1）弄清楚圖象中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代表的量及函數(shù)自變量的取值范圍.（2）找出分段函數(shù)的分界點(diǎn)，函數(shù)增減性發(fā)生變化的點(diǎn)，以及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)這些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置上的幾何量.

中考命題預(yù)測

1.如圖5，在△OAB中，已知頂點(diǎn)0（0，0），A（-3，4），B（3，4）.將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（? ? ? ）.

A.（10，3）

B.（-3，10）

C.（10，-3）

D.（3.-10）

2.如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB= ∠B=30°，OA =2.將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△OAB，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（? ? ）.

A.（-1，2+√3）

B.（-√3，3）

C.（-√3，2+√3）

D.（-3，√3）

3.如圖7，正方形ABCD的邊長為2 cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上，分別按A→D→C，A→B→C的方向，都以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)終止，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△APQ的面積為y，cm2，則下列圖象中能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（? ? ）.