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    一次方程(組)與一元二次方程

    2020-10-28 01:34:03
    關(guān)鍵詞:判別式式子一元二次方程

    2.1 一次方程(組)與一元二次方程

    考點(diǎn),易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀:

    在中考中,有關(guān)一次方程(組)常見(jiàn)的命題點(diǎn)有:一元一次方程的解法,二元一次方程組的解法,一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用.

    等式的性質(zhì)是解方程的依據(jù),在運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí),要注意以下兩點(diǎn):(1)等號(hào)兩邊的運(yùn)算要相同,參與運(yùn)算的數(shù)或式子也要相同,即等號(hào)兩邊要同時(shí)加上(或減去或乘以或除以)相同的數(shù)或式子.(2)等號(hào)兩邊除以一個(gè)式子時(shí),一定要注意這個(gè)式子是否可以等于0.如果該式子可以等于0,兩邊同時(shí)除以該式子后,所得等式就不一定成立.

    在解一元一次方程時(shí),常見(jiàn)的錯(cuò)誤有:(1)去分母時(shí),常數(shù)項(xiàng)漏乘各分母的最小公倍數(shù).(2)移項(xiàng)時(shí),某一項(xiàng)從等號(hào)一邊移到另一邊時(shí),沒(méi)有變號(hào).(3)對(duì)于含參數(shù)的一元一次方程,將系數(shù)化為1時(shí),如果未知數(shù)的系數(shù)是一個(gè)式子,沒(méi)有對(duì)該式子能否為0進(jìn)行分類(lèi)討論.

    用代人消元法解二元一次方程組時(shí),首先將其中一個(gè)方程變形,用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù),然后將這個(gè)式子代入另一個(gè)方程中,從而達(dá)到消元的目的.在變形和代入的過(guò)程中,要嚴(yán)格依照移項(xiàng)和去括號(hào)的法則,避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤,

    在中考中,有關(guān)一元二次方程常見(jiàn)的命題點(diǎn)有:一元二次方程的解法,一元二次方程根的判別式,一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,

    一元二次方程的解法有四種:直接開(kāi)平方法、配方法、公式法與因式分解法.在解方程時(shí)要靈活運(yùn)用.若方程的右邊為0,且左邊能分解因式,則宜選用因式分解法;若方程是形如X2=c(c≥0)、(ax+b)2=C的一類(lèi)方程,則宜選用開(kāi)平方法;若方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí),則宜選用配方法;若用直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法都不簡(jiǎn)便時(shí),則用公式法,

    解一元二次方程的注意事項(xiàng)有:(1)對(duì)于左右兩邊含有相同未知數(shù)因式的一元二次方程,應(yīng)將方程化為一般形式后再求解(或?qū)⒎匠套優(yōu)榈忍?hào)一邊是0.另一邊是含未知數(shù)的式子,利用因式分解法求解),切勿直接約去相同未知數(shù)因式,否則會(huì)丟根.(2)用因式分解法解一元二次方程時(shí),方程的右邊要化為0,左邊分解因式.(3)利用公式法求解時(shí),一定要先將一元二次方程化為一般形式,然后再用求根公式求解,

    如果所給方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母參數(shù),要看清題干中有沒(méi)有說(shuō)明這個(gè)方程是一元二次方程.如果題干指明這個(gè)方程是一元二次方程,或通過(guò)暗含條件,比如“方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”等,可以判斷它是一元二次方程,除了根據(jù)方程根的情況,結(jié)合根的判別式得到字母的值或取值范圍,還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)限制條件.如果不能確定所給方程是一元二次方程,那么要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.

    利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí),首先要把一元二次方程化為一般形式,然后在根的判別式大于或等于零的前提下正確使用根與系數(shù)的關(guān)系.

    在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),通過(guò)解一元二次方程得到的根要符合實(shí)際情況,比如幾何圖形的邊長(zhǎng)為正數(shù),商品的成本下降率應(yīng)小于1.不符合實(shí)際情況的根應(yīng)舍去.

    高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

    高頻考點(diǎn)1 方程的解

    例1 (2019.南充)關(guān)于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1,則a+m的值為(

    ).

    A.9

    B.8

    C.5

    D.4

    解析:由題意可得a-2=1,2+m=4,解得a=3,m=2,所以a+m=3+2=5,故選C.

    點(diǎn)撥:解決涉及方程的解的問(wèn)題,直接把方程的解代人方程,然后得到一個(gè)等式,即可求得其他字母的值,

    例2 (2019.巴中)已知關(guān)于x,y的二元一次方程組ax-y=4,的解是x=2,則a+b的值

    3x+by=4

    y=-2,是(

    ).

    A.1

    B.2

    C.一1

    D.0

    解析:將方程組的解代入方程組,得a=1,b=1,所以a+b=2,故選B.

    點(diǎn)撥:方程組的解就是方程組中所有方程的公共解.把方程組的解代入方程組的每一個(gè)方程,即可求出a,b的值.

    高頻考點(diǎn)2-次方程(組)與數(shù)學(xué)文化

    例3(2019.甘肅)中國(guó)古代人民很早就在生產(chǎn)、生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題,其中《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問(wèn)題,原文是:“今有三人共車(chē),二車(chē)空;二人共車(chē),九人步.人與車(chē)各幾何?”譯文為:今有若干人乘車(chē),若每3人共乘一輛車(chē),則最終剩余2輛車(chē);若每2人共乘一輛車(chē),則最終剩余9個(gè)人無(wú)車(chē)可乘,問(wèn)共有多少人、多少輛車(chē),

    點(diǎn)撥:對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題,原文表達(dá)的意思也許我們看不懂,但題目往往都會(huì)給出譯文,解決問(wèn)題時(shí),我們只需要按照譯文的意思,找已知量、未知量和等量關(guān)系,然后設(shè)未知數(shù),列方程,解方程即可,本題還可以設(shè)共有x輛車(chē),請(qǐng)讀者朋友列方程解決問(wèn)題.

    高頻考點(diǎn)3 一元二次方程的根

    例4 (2019.甘肅)若一元二次方程X2_2kX+k2=0的一根為x=-1,則k的值為(

    ).

    A.一1

    B.0

    C.1或-1

    D.2或0

    解析:把x=-1代人方程得1+2k+k2=0,解得k=-1.故選A.

    點(diǎn)撥:用配方法解一元二次方程時(shí),共有四個(gè)步驟,第一步是變形:將ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,要注意等號(hào)兩邊的每一項(xiàng)都要除以二次項(xiàng)系數(shù).第二步是移項(xiàng):把二次項(xiàng)和一次項(xiàng)移到等號(hào)左邊,常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊.第三步是配方:等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,將方程配方為(x+m)2=n的形式,第四步是開(kāi)方:利用直接開(kāi)平方法求得方程的兩個(gè)根.

    高頻考點(diǎn)5 一元二次方程根的判別式

    例6 (2019.成寧)若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

    ).

    A.m<1

    B.m≤1

    C.m>1

    D.m≥1

    解析:∵關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)根,

    ∴△=(-2)2-4m≥0.

    解得m≤1.故選B.

    點(diǎn)撥:本題考查一元二次方程根的判別式,一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則△≥0.注意“一元二次方程有實(shí)數(shù)根”包含兩種情況:(1)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(2)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

    高頻考點(diǎn)6 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

    例7(2019.東營(yíng))為加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換,提高公司經(jīng)濟(jì)效益,某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷(xiāo),使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這種電子產(chǎn)品銷(xiāo)售單價(jià)定為200元時(shí),每天可售出300個(gè);若銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元,則每天可多售出5個(gè),已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為100元.這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí),公司每天可獲利32 000元?

    解析:設(shè)降價(jià)后的銷(xiāo)售單價(jià)為x元,則降價(jià)后每天可售出[ 300+5(200-x)]個(gè).

    依題意,可得(x-100)[300+5(200-x)]-32000.

    解得x1=x2=180.

    180<200.符合題意,

    答:這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷(xiāo)售單價(jià)為180元時(shí),公司每天可獲利32000元,

    點(diǎn)撥:根據(jù)總利潤(rùn)=每個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論.找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,

    5.已知一元二次方程3x2+4x -k =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是____ .

    6.隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn),廣東省正加速布局以SG等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計(jì),目前廣東省5G基站的數(shù)量約為1.5萬(wàn)座,計(jì)劃到2020年底,全省5G基站數(shù)是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬(wàn)座.

    (1)計(jì)劃到2020年底,全省5G基站的數(shù)量是多少萬(wàn)座?

    (2)按照計(jì)劃,求2020年底到2022年底全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率.

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