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    一次函數(shù)

    2020-10-28 01:34
    關(guān)鍵詞:獎(jiǎng)品鋼筆筆記本

    3.2一次函數(shù)

    考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

    考點(diǎn):一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式,一次函數(shù)與反比例函數(shù)、三角形、四邊形的綜合問(wèn)題,一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,

    易混易錯(cuò)點(diǎn):(1)正比例函數(shù)一定是一次函數(shù),但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

    (2)涉及實(shí)際問(wèn)題的一次函數(shù)圖象不一定是直線,也可能是線段、射線,所以構(gòu)建一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意考慮自變量的取值范圍.

    (3)一次函數(shù)的圖象是直線,但直線不一定是一次函數(shù)的圖象,例如平行于坐標(biāo)軸的直線不是一次函數(shù)的圖象,

    高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

    高頻考點(diǎn)1 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

    例1 (2019 臨沂)下列關(guān)于一次函數(shù)y=kx+b (k<0,b>0)的說(shuō)法,錯(cuò)誤的是(

    ).

    A.圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限

    B.y隨x的增大而減小

    C.圖象與y軸交于點(diǎn)(0,b)

    D.當(dāng)x>-b/k時(shí),y>0誤.選D.

    點(diǎn)撥:一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線,k、b決定函數(shù)圖象的位置.一次函數(shù)y=kx+b的增減性由k的正負(fù)性決定,當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小.以上結(jié)論也可以逆向應(yīng)用,

    高頻考點(diǎn)2用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式

    例2(2019.蘇州)若一次函數(shù)y=kx+b(k,6為常數(shù),且k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1),B(1,1),則不等式kx+b>1的解集為(

    ).

    A.x<0

    B.x>0

    C.x<1

    D.x>1

    解析:把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代人一次函數(shù)解析式,可得k=2,b=-1,故一次函數(shù)的解析式為y=2x-1.解不等式2x-1>1.得x>1.選D.

    點(diǎn)撥:用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式時(shí),把滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)代人一次函數(shù)的解析式,列出關(guān)于k、b的二元一次方程組,得出k、b的值.根據(jù)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想利用函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系可以解決很多問(wèn)題.例如,求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),可聯(lián)立關(guān)于函數(shù)解析式的方程組,解方程組,得到的方程組的解就是交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的值.又例如,解不等式可以看作兩個(gè)函數(shù)值比較大小,通過(guò)函數(shù)圖象可以直接判斷.

    高頻考點(diǎn)3 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

    點(diǎn)撥:本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題,解答時(shí)用到待定系數(shù)法,求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法等,根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0),可確定一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

    高頻考點(diǎn)4 一次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

    例4 (2019.南充)在“我為祖國(guó)點(diǎn)贊”征文活動(dòng)中,學(xué)校計(jì)劃對(duì)獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生分別獎(jiǎng)勵(lì)一支筆、一個(gè)筆記本.已知購(gòu)買2支鋼筆和3個(gè)筆記本共38元,購(gòu)買4支鋼筆和5個(gè)筆記本共70元.

    (1)鋼筆和筆記本的單價(jià)分別為多少元?

    (2)經(jīng)與商家協(xié)商,購(gòu)買鋼筆超過(guò)30支時(shí),每增加1支單價(jià)降低0.1元:超過(guò)50支時(shí),均按購(gòu)買50支的單價(jià)銷售.筆記本一律按原價(jià)銷售.學(xué)校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生共計(jì)100人,其中獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生不少于30人,且不超過(guò)60人.當(dāng)這次獎(jiǎng)勵(lì)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生為多少人時(shí),購(gòu)買獎(jiǎng)品的總金額最少?最少為多少元?

    解析: (1)設(shè)鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為x元、y元.

    ∴鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為10元、6元.

    (2)設(shè)鋼筆單價(jià)為a元,購(gòu)買的數(shù)量為6支,購(gòu)買鋼筆和筆記本的總金額為W元,

    ①當(dāng)30≤b≤50時(shí),a=10-0.1(b-30) =-O.1b+13.

    W=b(-0.1b+13)+6 (100-b)=-0.1 (b-35)2+722.5.

    當(dāng)b=35時(shí),W取得最大值722.5.當(dāng)b=50時(shí),W取得最小值700.

    ∴700≤W≤722.5.

    ②當(dāng)50

    因?yàn)?>0.所以W隨b的增大而增大,

    ..700

    綜上可知,當(dāng)30≤b≤60時(shí),W的最小值為700.

    ∴當(dāng)這次獎(jiǎng)勵(lì)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生為50人時(shí),購(gòu)買獎(jiǎng)品的總金額最少,最少為700元.

    點(diǎn)撥:求二次函數(shù)的最值時(shí),注意最值不一定在拋物線頂點(diǎn)處取得,要考慮函數(shù)自變量的取值范圍.對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b,增減性由k的正負(fù)性決定,要根據(jù)自變量的取值范圍求最值.

    例5某市為節(jié)約水資源,制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn),用戶每月繳納的水費(fèi)y(元)與每月用水量x( m3)之間的關(guān)系如圖2所示.

    (1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

    (2)若某用戶二、三月份共用水40m3(=月份用水量不超過(guò)25 m3),繳納水費(fèi)79.8元,則該用戶二、三月份的用水量各是多少立方米?

    8 (1)當(dāng)0≤x≤15時(shí),設(shè)y=mx,則15m=27.得m=1.8.

    (2)設(shè)二月份的用水量是am3,則三月份用水(40-a)m3.

    ∵二月份用水量不超過(guò)25 m3。

    ∴40-a≥15,即三月份的用水量不少于15 m3.

    ①當(dāng)0≤a≤15時(shí),由題意得1.8a+2.4(40-a) -9=79.8,解得a=12,則40-a=28.

    ②當(dāng)15≤a≤25時(shí),這兩個(gè)月用水量均不少于15 m3,故2.4a-9+2.4 (40-a) -9=79.8,此方程無(wú)解,

    綜上可知,該用戶二、三月份用水量分別是12 m3和28 m3.

    點(diǎn)撥:實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型通常是分段函數(shù),本題中x=15就是一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).盡管第(2)問(wèn)最終答案唯一,但如果不分類討論,就有失推理的縝密性,

    解析:先將點(diǎn)P(n,-4)的坐標(biāo)代入y=-x-2,求出n的值,再找出直線y=2x+m在直線y=-x-2的下方且都在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可,

    ∵ 一次函數(shù)y=-x-2的圖象過(guò)點(diǎn)P(n,-4),

    ∴ -4=-n-2.解得n=2.

    ∴P的坐標(biāo)為(2,-4).

    又直線y=-x-2與x軸的交點(diǎn)是(-2,0),

    ∴關(guān)于x的不等式組2x+m<-x-2<0的解集為-2

    點(diǎn)撥:本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.要弄清楚一元一次不等式組的解集與一次函數(shù)自變量的關(guān)系,然后結(jié)合函數(shù)圖象解題.

    中考命題預(yù)測(cè)

    1.已知一次函數(shù)y=(k-3)x+l的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則k的取值范圍是 ___.

    2.如圖4,直線y=一3/4x-3交x軸于點(diǎn)A, 交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ____

    .

    3.如圖5,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2/x的圖象相交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo) 為(-1,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,n).

    (1)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出滿足k1x+b> k2/x的x的取值范圍.

    (2)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.

    (3)點(diǎn)p在線段AB上,連接OA,OB,OP,恰有S△AOP:S△BOP=1:2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

    4.學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國(guó)”演講比賽購(gòu)買獎(jiǎng)品,已知購(gòu)買3個(gè)A獎(jiǎng)品和2個(gè)B獎(jiǎng)品共需120元:購(gòu)買5個(gè)A獎(jiǎng)品和4個(gè)B獎(jiǎng)品共需210元.

    (1)求A、B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià).

    (2)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品共30個(gè),且A獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于B獎(jiǎng)品數(shù)量的÷,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案,并說(shuō)明理由.

    5.某社區(qū)活動(dòng)中心為鼓勵(lì)居民加強(qiáng)體育鍛煉,準(zhǔn)備購(gòu)買10副某種品牌的羽毛球拍,每副球拍配x(x≥2)個(gè)羽毛球,供社區(qū)居民免費(fèi)借用,該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售,且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元,每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)為3元.目前兩家超市同時(shí)在做促銷活動(dòng),

    A超市:所有商品均打九折(按標(biāo)價(jià)的90%)銷售.

    B超市:買一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球,

    設(shè)在A超市購(gòu)買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yA元,在日超市購(gòu)買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB元.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

    (1)分別寫(xiě)出yA、yB與x之間的關(guān)系式.

    (2)若該活動(dòng)中心只在一家超市購(gòu)買,你認(rèn)為在哪家超市購(gòu)買更劃算?

    (3)若每副球拍配15個(gè)羽毛球,請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案。

    6.小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時(shí),在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象l1,l2,如圖6所示,他解的這個(gè)方程組是(

    ).

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