一次函數(shù)

3.2一次函數(shù)

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

考點(diǎn)：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)、三角形、四邊形的綜合問(wèn)題，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，

易混易錯(cuò)點(diǎn)：（1）正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

（2）涉及實(shí)際問(wèn)題的一次函數(shù)圖象不一定是直線，也可能是線段、射線，所以構(gòu)建一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意考慮自變量的取值范圍.

（3）一次函數(shù)的圖象是直線，但直線不一定是一次函數(shù)的圖象，例如平行于坐標(biāo)軸的直線不是一次函數(shù)的圖象，

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

高頻考點(diǎn)1 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1 （2019 臨沂）下列關(guān)于一次函數(shù)y=kx+b （k<0，b>0）的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（

）.

A.圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限

B.y隨x的增大而減小

C.圖象與y軸交于點(diǎn)（0，b）

D.當(dāng)x>-b/k時(shí)，y>0誤.選D.

點(diǎn)撥：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，k、b決定函數(shù)圖象的位置.一次函數(shù)y=kx+b的增減性由k的正負(fù)性決定，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.以上結(jié)論也可以逆向應(yīng)用，

高頻考點(diǎn)2用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式

例2（2019.蘇州）若一次函數(shù)y=kx+b（k，6為常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1），B（1，1），則不等式kx+b>1的解集為（

）.

A.x<0

B.x>0

C.x<1

D.x>1

解析：把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代人一次函數(shù)解析式，可得k=2，b=-1，故一次函數(shù)的解析式為y=2x-1.解不等式2x-1>1.得x>1.選D.

點(diǎn)撥：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式時(shí)，把滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)代人一次函數(shù)的解析式，列出關(guān)于k、b的二元一次方程組，得出k、b的值.根據(jù)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想利用函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系可以解決很多問(wèn)題.例如，求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，可聯(lián)立關(guān)于函數(shù)解析式的方程組，解方程組，得到的方程組的解就是交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的值.又例如，解不等式可以看作兩個(gè)函數(shù)值比較大小，通過(guò)函數(shù)圖象可以直接判斷.

高頻考點(diǎn)3 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

點(diǎn)撥：本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解答時(shí)用到待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法等，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0），可確定一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

高頻考點(diǎn)4 一次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例4 （2019.南充）在“我為祖國(guó)點(diǎn)贊”征文活動(dòng)中，學(xué)校計(jì)劃對(duì)獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生分別獎(jiǎng)勵(lì)一支筆、一個(gè)筆記本.已知購(gòu)買2支鋼筆和3個(gè)筆記本共38元，購(gòu)買4支鋼筆和5個(gè)筆記本共70元.

（1）鋼筆和筆記本的單價(jià)分別為多少元？

（2）經(jīng)與商家協(xié)商，購(gòu)買鋼筆超過(guò)30支時(shí)，每增加1支單價(jià)降低0.1元：超過(guò)50支時(shí)，均按購(gòu)買50支的單價(jià)銷售.筆記本一律按原價(jià)銷售.學(xué)校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生共計(jì)100人，其中獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生不少于30人，且不超過(guò)60人.當(dāng)這次獎(jiǎng)勵(lì)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生為多少人時(shí)，購(gòu)買獎(jiǎng)品的總金額最少？最少為多少元？

解析： （1）設(shè)鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為x元、y元.

∴鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為10元、6元.

（2）設(shè)鋼筆單價(jià)為a元，購(gòu)買的數(shù)量為6支，購(gòu)買鋼筆和筆記本的總金額為W元，

①當(dāng)30≤b≤50時(shí)，a=10-0.1（b-30） =-O.1b+13.

W=b（-0.1b+13）+6 （100-b）=-0.1 （b-35）2+722.5.

當(dāng)b=35時(shí)，W取得最大值722.5.當(dāng)b=50時(shí)，W取得最小值700.

∴700≤W≤722.5.

②當(dāng)50

因?yàn)?>0.所以W隨b的增大而增大，

..700

綜上可知，當(dāng)30≤b≤60時(shí)，W的最小值為700.

∴當(dāng)這次獎(jiǎng)勵(lì)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生為50人時(shí)，購(gòu)買獎(jiǎng)品的總金額最少，最少為700元.

點(diǎn)撥：求二次函數(shù)的最值時(shí)，注意最值不一定在拋物線頂點(diǎn)處取得，要考慮函數(shù)自變量的取值范圍.對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，增減性由k的正負(fù)性決定，要根據(jù)自變量的取值范圍求最值.

例5某市為節(jié)約水資源，制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn)，用戶每月繳納的水費(fèi)y（元）與每月用水量x（ m3）之間的關(guān)系如圖2所示.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

（2）若某用戶二、三月份共用水40m3（=月份用水量不超過(guò)25 m3），繳納水費(fèi)79.8元，則該用戶二、三月份的用水量各是多少立方米？

8 （1）當(dāng)0≤x≤15時(shí)，設(shè)y=mx，則15m=27.得m=1.8.

（2）設(shè)二月份的用水量是am3，則三月份用水（40-a）m3.

∵二月份用水量不超過(guò)25 m3。

∴40-a≥15，即三月份的用水量不少于15 m3.

①當(dāng)0≤a≤15時(shí)，由題意得1.8a+2.4（40-a） -9=79.8，解得a=12，則40-a=28.

②當(dāng)15≤a≤25時(shí)，這兩個(gè)月用水量均不少于15 m3，故2.4a-9+2.4 （40-a） -9=79.8，此方程無(wú)解，

綜上可知，該用戶二、三月份用水量分別是12 m3和28 m3.

點(diǎn)撥：實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型通常是分段函數(shù)，本題中x=15就是一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).盡管第（2）問(wèn)最終答案唯一，但如果不分類討論，就有失推理的縝密性，

解析：先將點(diǎn)P（n，-4）的坐標(biāo)代入y=-x-2，求出n的值，再找出直線y=2x+m在直線y=-x-2的下方且都在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可，

∵ 一次函數(shù)y=-x-2的圖象過(guò)點(diǎn)P（n，-4），

∴ -4=-n-2.解得n=2.

∴P的坐標(biāo)為（2，-4）.

又直線y=-x-2與x軸的交點(diǎn)是（-2，0），

∴關(guān)于x的不等式組2x+m<-x-2<0的解集為-2

點(diǎn)撥：本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.要弄清楚一元一次不等式組的解集與一次函數(shù)自變量的關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)圖象解題.

中考命題預(yù)測(cè)

1.已知一次函數(shù)y=（k-3）x+l的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則k的取值范圍是 ___.

2.如圖4，直線y=一3/4x-3交x軸于點(diǎn)A， 交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ____

.

3.如圖5，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2/x的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo) 為（-1，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，n）.

（1）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出滿足k1x+b> k2/x的x的取值范圍.

（2）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.

（3）點(diǎn)p在線段AB上，連接OA，OB，OP，恰有S△AOP：S△BOP=1：2，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國(guó)”演講比賽購(gòu)買獎(jiǎng)品，已知購(gòu)買3個(gè)A獎(jiǎng)品和2個(gè)B獎(jiǎng)品共需120元：購(gòu)買5個(gè)A獎(jiǎng)品和4個(gè)B獎(jiǎng)品共需210元.

（1）求A、B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià).

（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品共30個(gè)，且A獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于B獎(jiǎng)品數(shù)量的÷，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并說(shuō)明理由.

5.某社區(qū)活動(dòng)中心為鼓勵(lì)居民加強(qiáng)體育鍛煉，準(zhǔn)備購(gòu)買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用，該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元，每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)為3元.目前兩家超市同時(shí)在做促銷活動(dòng)，

A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價(jià)的90%）銷售.

B超市：買一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球，

設(shè)在A超市購(gòu)買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yA元，在日超市購(gòu)買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB元.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）分別寫(xiě)出yA、yB與x之間的關(guān)系式.

（2）若該活動(dòng)中心只在一家超市購(gòu)買，你認(rèn)為在哪家超市購(gòu)買更劃算？

（3）若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案。

6.小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象l1，l2，如圖6所示，他解的這個(gè)方程組是（

）.