二次函數(shù)

考點、易混易錯點解讀

考點：二次函數(shù)的圖象與性質，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與其他知識的綜合應用，主要以二次函數(shù)圖象上的動點為背景，探究線段長度、三角形面積、滿足條件的線段關系、特殊三角形或特殊四邊形或簡單平面圖形的周長.

易混易錯點：用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式時，計算出錯是中考失分的原因之一.在二次函數(shù)的綜合問題中探究滿足條件的點的坐標時，分類討論不完整是一個失分點.

高頻考點例題點撥

高頻考點1 二次函數(shù)的圖象與性質

例1 （2019.成都）如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點A（1，0），B（5，0）.下列結論正確的是（

）.

A.c<0

B.b2-4ac<0

C.a-b+c<0

D.圖象的對稱軸是直線x=3

點撥：解決有關二次函數(shù)的圖象與性質的問題時，要有數(shù)形結合研究問題的意識.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a、b、c這三個參數(shù)決定了二次函數(shù)圖象的位置、對稱軸等，有時為解決問題方便，需要用到二次函數(shù)解析式的頂點式或交點式.

例2 已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點坐標為（4，0），其部分圖象如圖2所示，有下列結論：①拋物線過原點，②4a+b+c=0.③a-b+c<0.④拋物線的頂點坐標為（2，b）.⑤當x<2時，y隨x的增大而增大.其中結論正確的是（

）.

A.①②③

B.③④⑤

C.①②④

D.①④⑤

點撥：對于一些比較復雜的有關二次函數(shù)解析式字母系數(shù)的結論的辨析這類問題，可依題意作適當?shù)拇鷵Q變形.也可以遵循“一造二看三推斷”的步驟，先給x賦值，代入函數(shù)關系式中，使其出現(xiàn)所要判定的式子，再結合圖形，觀察x取該值時），的取值情況，得出結論.

例3 （2019.蘭州）已知點A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y=-（x+1）2+2上，則下列結論正確的是（

）.

A.2>y1>y2

B.2>y2>y1

C.y1>y2>2

D.y2>y1>2

解析：拋物線y=一（x+1）2+2的對稱軸為直線x=-1，開口向下，

當x>-1時，），隨x的增大而減小.因為-1<1<2，所以y1>y2.

頂點坐標為（-1，2），所以y最大=2，所以2>y1>y2.

選A.

點撥：此題單獨考查了二次函數(shù)的增減性.解決這類問題，一般方法是判斷這兩個點在對稱軸同側還是異側.如果在對稱軸同側，可直接利用增減性比較函數(shù)值的大小;如果在對稱軸異側，要利用拋物線的對稱性轉化為同側，再進行函數(shù)值的大小比較，如果能結合題意畫出大致圖象，利用圖象的直觀性比較，更方便快捷，

高頻考點2 用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式

例4（2019.河南）已知拋物線y=-x2+bx+4經過（-2，n）和（4，n）兩點，則n的值為（

）.

A.-2

B.-4

C.2

D.4

解析：拋物線經過（-2，n）和（4，n）兩點，可知拋物線的對稱軸為直線x=1.可得b=2.

∴拋物線解析式為y=-x2+2x+4.

將（-2，n）代入拋物線解析式，可求得n=-4.選B.

點撥：本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.利用拋物線的對稱性是解決問題的關鍵.

高頻考點3拋物線的對稱性

例5 如圖3，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（一1，0），與y軸的交點B在點（0，2）與點（0，3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2.有下列結論：①abc<0;②9a+3b+c>0;③若點M（1/2，y1）、點N（5/2，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1

（

）.

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

解析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系即可得到答案.

由開口方向可知a<0.

由對稱軸x=一b/2a=2>0，可知b>0.

由拋物線與y軸的交點可知c>0，故abc<

例6如圖4，已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-1，且拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，3）.

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式.

（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一個點M，使點M到點A的距離與點M到點C的距離之和最小，求出點M的坐標.

解析： （1）根據(jù)題意可求出點B的坐標為（-3，0），將點B、點C的坐標代人y=mx+n，可得m=1.n=3.

∴直線BC的解析式為y=x+3.

將A（1，0）和C（O，3）的坐標代人y=ax2+bx+c，得a+b+c=0 .c=3.結合一b/2a=一1，可得a=一1，b=-2.

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

（2）∵點M在拋物線的對稱軸上，

∴點M到點B的距離與點M到點A的距離相等.故MA +MC=MB+MC.

要使MB+MC的值最小，使點B、M、C共線即可，即對稱軸與直線BC的交點處就是所求的點M的位置.

把x=-1代人y=x+3，得y=2.

∴當點M到點A的距離與點M到點C的距離之和最小時，點M的坐標為（-1，2）.

點撥：在解決第（2）問時，充分利用了點A、B是一組對稱點這一特征，簡捷地解決了問題.

高頻考點4拋物線的幾何變換

例7如圖5，拋物線的頂點為P（-2，2），與y軸交于點A（0，3）.若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P（2，-2），點A的對應點為A，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為___ .

解析：如圖6，連接AP，A'P，，過點A作AD上PP于點D，由題意可得AP//AP.AP=A'P.

∴ 四邊形A PP'A 7是平行四邊形，且S陰影部分=S□APP.A.

∵原拋物線的頂點為P（-2，2），與），軸交于點A（0，3），平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P（2，-2）處，

點撥：拋物線平移前后的形狀相同，據(jù)此可將拋物線在平移過程中產生的一些不規(guī)則圖形通過割補法轉化為規(guī)則圖形，從而求出其面積，

例8在平面直角坐標系中，先將拋物線y=x²+x-2關于x軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關于y軸作軸對稱變換，那么經兩次變換后所得的新拋物線所對應的函數(shù)關系式為（

）.

點撥：（1）關于x軸對稱的兩個拋物線有如下關系：①開口方向相反，開口大小相同，故兩拋物線解析式的二次項系數(shù)互為相反數(shù);②兩拋物線與y軸的交點關于x軸對稱，故兩拋物線解析式的常數(shù)項互為相反數(shù);③兩拋物線對稱軸相同，兩拋物線解析式的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，所以兩拋物線解析式的一次項系數(shù)互為相反數(shù).綜上可知，關于x軸對稱的兩拋物線解析式中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別互為相反數(shù).

（2）關于y軸對稱的兩個拋物線有如下關系：①開口方向與開口大小相同，故兩拋物線解析式的二次項系數(shù)相同;②兩拋物線與y軸的交點相同，故兩拋物線解析式的常數(shù)項相同;③兩拋物線對稱軸關于y軸對稱，又因為兩拋物線解析式的二次項系數(shù)相同，所以兩拋物線解析式的一次項系數(shù)互為相反數(shù).

高頻考點5 二次函數(shù)的最值問題

例9如圖7.用長為24 m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10 m），圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃.設花圃的寬AB為xm，面積為S m2.

（1）求S與x的函數(shù)關系式.

（2）如果要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少？

（3）能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積;如果不能，請說明理由.為14/3m時，花圃最大面積為46 2/3 m2.

點撥：由此例不難發(fā)現(xiàn)，一些實際問題的最值不能在拋物線的頂點處取得.

高頻考點6 二次函數(shù)與其他知識的綜合應用

例10（2019.成都）如圖8，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-2，5），與x軸相交于B（一1，0），C（3，0）兩點.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC，D.若點C恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C和點D的坐標.

解析 （1）方法一：把三點坐標代人拋物線解析式，可求得a=1，b=-2，c=-3，故拋物線的解析式為y=x²-2x-3.

方法二：設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），把（-2，5）代人，可得a=1，所以拋物線解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3.

（2）根據(jù)拋物線經過B（一1，0），C（3，0），可得對稱軸為直線x=1.

設拋物線的對稱軸與x軸交于點日，則點日的坐標為（1，0），BH=2.

由軸對稱的性質可得BC'=BC：4.

點撥：第（1）問中用第二種方法求拋物線解析式較簡便.第（2）問綜合考查了二次函數(shù)、軸對稱性質、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，綜合性較強，解答的關鍵是由軸對稱的性質找出各線段之間的數(shù)量關系，然后解直角三角形，

中考命題預測

1.如圖9，二次函數(shù)y=ax²+bx+c （a>0）的圖象與x軸交于兩點（x1，0），（2，0），其中00;③a+2b+4c>0;④4a/b+b/a<—4.正確的個數(shù)是（

）.

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若二次函數(shù)y= |a|x²+bx+c的圖象經過點A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（√2，y2），E（2，y3），則y1，y2，y3的大小關系是（

）.

A.y1

B.y1

C.y3

D.y2

3.如圖10，北中環(huán)橋是太原市的一座跨汾河大橋，它由五個高度不同、跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊桿、拉索與主梁相連，最高的鋼拱（如圖10所示，可近似看成二次函數(shù)的圖象）在同一豎直平面與拱腳所在的水平面相交于A、B兩點，拱高為78 m（即最高點0到AB的距離為78 m），跨徑為90 m（即AB=90 m）.以最高點O為坐標原點，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標系，則此鋼拱所在的拋物線的解析式為（

）。