Galton-Watson過程中極限鞅密度函數(shù)的Lipschitz連續(xù)性

侯婉婷， 張美娟

(1. 東北大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819; 2. 中央財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院， 北京 100081)

分枝過程是近幾十年概率論研究的熱點課題，包括Galton-Watson過程、連續(xù)時間馬氏分枝過程、年齡依賴分枝過程、多物種分枝過程,Dawson-Watanabe超過程及測度值分枝過程等.分枝過程相關(guān)問題的研究有深刻的理論意義, 一方面可探討分枝過程的概率性質(zhì)[1], 另一方面通過建立分枝機(jī)制等方法, 利用分枝過程的性質(zhì)解決相關(guān)的隨機(jī)游動[2-5]、隨機(jī)圖、隨機(jī)樹[6]等問題. 分枝過程有廣泛的應(yīng)用價值, 在物種繁衍、核子裂變、細(xì)胞分裂等現(xiàn)象[7]及傳染病學(xué)[8]的研究中, 可通過研究分枝過程隨機(jī)數(shù)學(xué)模型解決實際問題.近年來，多物種分枝過程[9]、隨機(jī)環(huán)境與變環(huán)境中的分枝過程[10]、分枝隨機(jī)游動與帶移民的分枝過程[11]等成為研究的熱點問題.

1 擬解決的問題

若EZ1lnZ1<，則對任意的ε>0,ω(x)在[ε,)中是Lipschitz連續(xù)的，階為δ′=min(δ,1).

但是在其證明推導(dǎo)的過程中，需要δ≠1. 也就是說，依其證明，只能得到δ≠1時,ω(x)是Lipschitz連續(xù)的，其階為δ′=min(δ,1).

本文對該定理的證明及結(jié)論進(jìn)行了修正和補(bǔ)充，研究密度函數(shù)ω(x)的Lipschitz連續(xù)性，得到階的精細(xì)刻畫:

定理 1假設(shè)m>1,EZ1lnZ1<,q=0，則

1) 若δ≠1，則對任意的ε>0,ω(x)在[ε,)中是Lipschitz連續(xù)的，階為δ′=min(δ,1)[1].也就是說，?ε>0,存在常數(shù)c，使得?y1,y2∈[ε,),有

|ω(y1)-ω(y2)|≤c|y1-y2|δ′.

(1)

2) 若δ=1，則對任意的ε>0,ω(x)在[ε,)中是Lipschitz連續(xù)的，階為即?ε>0, 存在常數(shù)c，使得?y1,y2∈[ε,), 有

定理 1 是在Kesten-Stigum定理的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出的Galton-Watson過程鞅極限的密度函數(shù)的Lipschitz連續(xù)性.此外，Seneta-Heyde定理也是關(guān)于鞅收斂性質(zhì)的經(jīng)典定理.對隨機(jī)環(huán)境中的分枝過程，Tanny[13]研究了相應(yīng)的Kesten-Stigum定理和Seneta-Heyde定理；Hong等[14]研究了均值無窮情形下鞅的極限性質(zhì).

2 式(1)證明的修正[1]

首先敘述文獻(xiàn)[1]中的證明, 在證明細(xì)節(jié)中說明文獻(xiàn)[1]中的證明需加以修正的地方.

引理 1 當(dāng)m>1，EZ1lnZ1<,q=0 時，對實數(shù)u,有

sup|u|1+δ|ψ′(u)|<,

對任意的y1,y2>0,有

(2)

由于ψ′可積, 故對第一部分I1存在常數(shù)c1,使得

(3)

(4)

當(dāng)δ≥1時，由文獻(xiàn)[1]可知:

(5)

其中c′為常數(shù).

式(5)僅在δ>1時才成立,這是因為在式(4)中，有

由ψ′可積知:

由引理1知:

當(dāng)δ>1時，結(jié)合(4)可知:

(6)

其中c3為常數(shù).

當(dāng)δ<1時，由引理1與式(4)可知:

其中c4為常數(shù).

當(dāng)δ<1時,

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)可知，對u∈A，當(dāng)δ≠1時，有

(8)

其中常數(shù)c5=max(c3,c2·c4).

(9)

結(jié)合式(2)，式(3)，式(8)和式(9)，推導(dǎo)出當(dāng)δ≠1時，?y1,y2∈[ε,)，有

因此存在常數(shù)c，使得

|ω(y1)-ω(y2)|≤c|y1-y2|δ′.

其中階δ′=min(δ,1). 定理1中的1)得證.

3 定理1中2)的證明

當(dāng)δ=1時，對式(2)中的第一部分I1同樣有式(3)成立.為估計第二部分I2，將積分區(qū)域分為

當(dāng)u∈A′時，由于

故存在常數(shù)c7，使得

(10)

(11)

其中常數(shù)c8=4M.

結(jié)合式(2)，式(3)，式(10)和式(11)知:當(dāng)δ=1時，?y1,y2∈[ε,)，有

4 說 明

在定理1的證明過程中，為估計第二部分I2，若采取不同積分區(qū)域的分割方法，依舊無法在不區(qū)分δ取值的情況下，得到Lipschitz連續(xù)性的階.例如將積分區(qū)域分為

(12)

|e-iuy2-e-iuy1|≤c2|u||y2-y1|≤c2(|u||y2-y1|)min(δ,1).

若|u||y2-y1|>1，有

(|u||y2-y1|)min(δ,1)>1.

但是

|e-iuy2-e-iuy1|≤2.

由于

再由引理1知:

(13)

3) 結(jié)合式(2)，式(3)，式(12)和式(13)，當(dāng)δ>1時，對任意的y1,y2∈[ε,)，有

也就是說當(dāng)δ>1時，對任意的ε>0，ω(x)在[ε,)中Lipschitz連續(xù)的階為δ′=1=min(δ,1).這也驗證了定理1成立.