向量型二元語(yǔ)義密度集結(jié)算子及其應(yīng)用

易平濤， 王 露， 李偉偉

(1. 東北大學(xué) 工商管理學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110167； 2. 東北評(píng)價(jià)中心， 遼寧 沈陽(yáng) 110167)

多屬性決策是指根據(jù)決策問(wèn)題描述的多種屬性信息，對(duì)有限個(gè)決策備選對(duì)象進(jìn)行綜合排序，并從排序結(jié)果中選擇最優(yōu)的備選對(duì)象.多屬性決策愈來(lái)愈成為諸多領(lǐng)域如管理、軍事、醫(yī)學(xué)等的重要研究工具，是現(xiàn)代決策領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容.迄今為止，精確值信息形式的決策方法[1]成果積累較多，但隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，決策環(huán)境變得日趨復(fù)雜，決策者面臨的決策信息也更加多樣，其中非精確值形式，如模糊信息[2-3]、語(yǔ)言信息[4-10]等的決策問(wèn)題近年來(lái)引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.然而，就語(yǔ)言信息而言，屬性信息有時(shí)與事先定義的語(yǔ)言評(píng)價(jià)集不能完全契合，只能近似表達(dá)，導(dǎo)致屬性信息的失真和決策結(jié)果的偏差.為使屬性信息可以更精確地反映語(yǔ)言集，Herrerα等于2000年率先提出了二元語(yǔ)義信息的分析方法及二元語(yǔ)義有序加權(quán)平均(T-OWA)算子[4].在二元語(yǔ)義有序加權(quán)平均(T-OWA)算子的基礎(chǔ)上，韓二東等[11]將不同數(shù)據(jù)類(lèi)型的偏好信息轉(zhuǎn)化為二元語(yǔ)義形式的判斷矩陣，對(duì)偏好判斷矩陣進(jìn)行處理，得到?jīng)Q策者對(duì)各方案的偏好程度.張茂竹[12]認(rèn)為決策者面向語(yǔ)言型群決策問(wèn)題時(shí)存在猶豫的情況，鑒于此，在猶豫模糊的環(huán)境下提出區(qū)間值猶豫模糊二元語(yǔ)義BA算子.文獻(xiàn)[13-14]基于二元語(yǔ)義的猶豫模糊語(yǔ)言信息對(duì)多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行探討.王洪強(qiáng)等[15]基于灰色關(guān)聯(lián)分析法對(duì)二元語(yǔ)義信息的評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行集結(jié)，為PPP項(xiàng)目的私人合作伙伴的選擇提供決策參考.Chen等[16]提出EMGeoBM(extended modified geometric bonferroni mean)集結(jié)方法應(yīng)用于二元語(yǔ)義信息環(huán)境中，并與已有的二元語(yǔ)義相關(guān)的集結(jié)算子進(jìn)行比較，說(shuō)明該方法的有效性.于婷等[17]基于二元語(yǔ)義信息提出了時(shí)序激勵(lì)加權(quán)平均算子集結(jié)群體語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息.Liu等[18]提出了直覺(jué)二元語(yǔ)義信息廣義集結(jié)算子，用于處理直覺(jué)二元語(yǔ)義信息的群決策問(wèn)題.

上述研究就二元語(yǔ)義信息形式的集結(jié)方法進(jìn)行了探討，但未考慮信息的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，如數(shù)據(jù)分布的疏密程度.文獻(xiàn)[19]考慮了屬性值的分布結(jié)構(gòu)特征，提出了密度加權(quán)平均(DWA)中間算子.該算子的主要特征是通過(guò)分組的方式對(duì)決策信息進(jìn)行集結(jié)，從而能夠?yàn)橐延兴阕?如AA，WAA，OWA，Min，Max等)的融合提供了統(tǒng)一框架.

文獻(xiàn)[20]在密度中間集結(jié)算子的基礎(chǔ)上，基于二元語(yǔ)義信息提出了二元語(yǔ)義密度(T-DW)算子，并將其應(yīng)用于不確定多屬性決策問(wèn)題中.該研究只針對(duì)一維二元語(yǔ)義信息展開(kāi)了討論，而在復(fù)雜決策問(wèn)題中，二維向量數(shù)據(jù)形式的評(píng)價(jià)信息也較為常見(jiàn)，尤其當(dāng)決策信息量較大時(shí)，以向量的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)的合成處理，更能有效提高決策效率.為此，在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上，對(duì)一維二元語(yǔ)義信息密度加權(quán)算子做進(jìn)一步的拓展研究，提出面向二維二元語(yǔ)義信息的向量型密度加權(quán)算子，并分析了該算子的性質(zhì).數(shù)據(jù)聚類(lèi)及不同聚類(lèi)組對(duì)應(yīng)的密度權(quán)重的確定是其中需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題，因而本文進(jìn)一步對(duì)向量形式的二元語(yǔ)義信息的分組方法及密度加權(quán)向量的求解進(jìn)行了探討.

1 問(wèn)題界定

1.1 二元語(yǔ)義信息簡(jiǎn)介

關(guān)于二元語(yǔ)義信息，通?？捎啥M(sk,ak)來(lái)表示，其中元素sk和ak的含義描述如下:

1)sk為事先設(shè)定好的語(yǔ)言標(biāo)度評(píng)價(jià)集S中的第k個(gè)元素.例如:可將由7個(gè)元素構(gòu)成的語(yǔ)言標(biāo)度評(píng)價(jià)集S定義為S={s6=FZ(非常重要)，s5=HZ(很重要)，s4=Z(重要)，s3=YB(一般)，s2=C(差)，s1=HC(很差)，s0=FC(非常差)}[4，21].

2)ak為符號(hào)轉(zhuǎn)移值，滿(mǎn)足ak∈[-0.5,0.5)，表示實(shí)際判斷(或偏好)值和sk的偏差.

設(shè)β∈[0,T]為語(yǔ)言評(píng)價(jià)集S的元素經(jīng)過(guò)處理得到的實(shí)數(shù)，其中T表示語(yǔ)言標(biāo)度評(píng)價(jià)集S中元素的個(gè)數(shù)，二元語(yǔ)義信息通過(guò)β表示如下[4,21]:

Δ:[0,T]→S×[-0.5,0.5)，.

(1)

其中round函數(shù)表示四舍五入取整.若(sk,ak)為二元語(yǔ)義信息，sk為S中的第k個(gè)元素，ak∈[-0.5,0.5)，則存在函數(shù)[4,21]:

Δ-1:S×[-0.5,0.5)→[0,T].

使其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)值β∈[0,T]，即

Δ-1(sk,ak)=k+ak=β.

(2)

1.2 基本思路

假設(shè)O={o1,o2,…,on}為方案集，X={x1,x2,…,xm}為評(píng)價(jià)參與者集或指標(biāo)集，其中M={1,2,…,m}，N={1,2,…,n}，Q={1,2,…,q}.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，將方案oi(i∈N)關(guān)于專(zhuān)家或?qū)傩詘j(j∈M)的評(píng)價(jià)信息記為xij.本文主要針對(duì)xij取值為二元語(yǔ)義信息形式的多屬性或群體決策問(wèn)題展開(kāi)研究.

首先對(duì)向量型二元語(yǔ)義密度加權(quán)(V-TDW)算子及其合成算子的性質(zhì)進(jìn)行了分析，然后基于信息分布的疏密程度，提出了基于向量相似度的聚類(lèi)方法，對(duì)向量型二元語(yǔ)義信息進(jìn)行分組.在聚類(lèi)組的基礎(chǔ)上，通過(guò)最大熵值法對(duì)不同聚類(lèi)組的密度加權(quán)向量進(jìn)行求解.最后通過(guò)算例對(duì)向量型二元語(yǔ)義密度集結(jié)算子的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明.

2 V-TDW算子及性質(zhì)分析

2.1 V-TDW算子的構(gòu)建

設(shè)有m位專(zhuān)家對(duì)n個(gè)方案的語(yǔ)義決策信息矩陣為X=[xij]n×m，xij=(sijk,aijk)為二元語(yǔ)義信息，sijk為第xj個(gè)專(zhuān)家關(guān)于方案oi的評(píng)價(jià)信息對(duì)應(yīng)的某語(yǔ)言評(píng)價(jià)集S中的第k個(gè)元素，aijk代表相應(yīng)偏差)，可將第j位專(zhuān)家對(duì)應(yīng)的所有方案的決策信息寫(xiě)成如下向量形式：Xj=[(s1jk,a1jk),(s2jk,a2jk),…,(snjk,anjk)]T.據(jù)此，可進(jìn)一步將決策信息矩陣表示為X=[X1,X2,…,Xm].

對(duì)決策信息矩陣X=[X1,X2,…,Xm]，設(shè)A1,A2,…Al為X的非空子集合.若滿(mǎn)足①Ak∩At=?;k≠t;k,t=1,2…,l.②A1∪A2∪…∪Al=X，則稱(chēng)A1,A2,…,Al為X的一個(gè)劃分，也稱(chēng)A1,A2,…,Al為X的l組二元語(yǔ)義向量信息的聚類(lèi).

定義 1對(duì)決策信息矩陣X=[X1,X2,…,Xm]，設(shè)V-TDW:In→I,

(3)

由式(3)可知，V-TDW算子作為中間算子，需要與已有的信息集結(jié)算子進(jìn)行結(jié)合，下面以WAA算子為例，對(duì)密度算子的具體表達(dá)式進(jìn)行定義.

定義 2設(shè)V-TDWAWAA:In→I，

(4)

2.2 性質(zhì)分析

證明 根據(jù)式(3)知，

V-DMξ,Θ(X′1,X′2,…,X′m)=V-DMξ,Θ(X1,X2,…,Xm)

成立，結(jié)論得證.

性質(zhì)2 冪等性：對(duì)任一二元語(yǔ)義決策矩陣X=[X1,X2,…,Xm]，Xj=[(s1jk,a1jk),(s2jk,a2jk),…,(snjk,anjk)]T，Y=[(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)]T,二元語(yǔ)義信息向量Y對(duì)應(yīng)的數(shù)值向量為β=[β1,β2,…,βn]T.若?j∈M，二元語(yǔ)義信息向量Xj=Y，則

V-DMξ,Θ(X1,X2,…,Xm)=β.

證明 由于Xj=Y，Xj可寫(xiě)為Xj=[(s1,a1),(s2,a2),…,(sn,an)]T，二元語(yǔ)義決策矩陣可寫(xiě)為X=[Y,Y,…,Y].設(shè)其降序排序后的l組聚類(lèi)A1,A2,…,Al，Ah(h∈L)中元素為hj個(gè)，則

性質(zhì)3 介值性：對(duì)于任一二元語(yǔ)義決策矩陣X=[X1,X2,…,Xm]，有

min(βj)≤V-DMξ,min(A)≤V-DMξ,Θ(A)≤V-DMξ,max(A)≤max(βj),j∈M.

而

且

故V-DMξ,Θ(A)≥V-DMξ,max(A)≥min(βj),j∈M成立，結(jié)論得證.

3 基于向量相似度的二元語(yǔ)義向量信息的聚類(lèi)

3.1 聚類(lèi)方法

根據(jù)式(2)將多屬性語(yǔ)言語(yǔ)義信息決策矩陣

轉(zhuǎn)化為

此時(shí)有Xj=βj=[β1j,β2j,…,βnj]T.

在此基礎(chǔ)上，基于夾角余弦法[22]將二元語(yǔ)義轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣中任意兩組向量之間的相似性進(jìn)行衡量，并在此基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的聚類(lèi)方法.

設(shè)βp,βq表示二元語(yǔ)義信息決策矩陣的任意兩個(gè)向量，令

(5)

為向量βp,βq之間的相似度，取值范圍為[0，1]，且值越大，相似度越高，反之越小.

在上述分析的基礎(chǔ)上，將矩陣β中的m個(gè)二元語(yǔ)義向量β1,β2,…,βm的具體聚類(lèi)方法總結(jié)如下.

1) 求出兩兩向量βp,βq(p,q∈m)之間的相似度，構(gòu)成相似度矩陣S=[sim(βp,βq)]m×m，其中sim(βp,βq)=sim(βq,βp)，當(dāng)p=q時(shí)，sim(βp,βq)=1.

3) 按從小到大的順序依次選取l-1個(gè)最大的有序增量φt，在選中的φt的數(shù)據(jù)之間進(jìn)行分割，得到相應(yīng)的l個(gè)向量集A1,A2,…,Al，即為所求聚類(lèi)組.

3.2 組內(nèi)權(quán)重求解

求解向量βj內(nèi)元素的均方差αj：

(6)

(7)

4 密度加權(quán)向量

令密度加權(quán)向量為ξ=(ξ1,ξ2,…，ξl)T，

(8)

式中：hj為序化后第h個(gè)聚類(lèi)組Ah中向量元素的個(gè)數(shù)；λh∈(-,+)為密度影響因子，滿(mǎn)足

密度加權(quán)向量可根據(jù)決策者對(duì)數(shù)據(jù)信息分布的偏好進(jìn)行設(shè)置，當(dāng)決策者偏好群體共識(shí)信息，密度加權(quán)向量應(yīng)體現(xiàn)趨同性；當(dāng)決策者偏好少數(shù)信息時(shí)，密度加權(quán)向量應(yīng)體現(xiàn)趨極性；若決策者沒(méi)有偏好，則密度加權(quán)向量應(yīng)體現(xiàn)趨中性.

令密度加權(quán)向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξl)T的“組間同性”程度表示為

(9)

“組間極性”程度表示為

Te(ξ)=1-Ts(ξ).

(10)

當(dāng)決策者偏好主體共識(shí)信息，則Ts(ξ)∈(0.5,1]；當(dāng)決策者偏好少數(shù)信息，則Ts(ξ)∈[0,0.5)；當(dāng)決策者沒(méi)有偏好，則Ts(ξ)=0.5..

(11)

其中，En表示密度加權(quán)向量ξ=[ξ1,ξ2,…,ξl]T的熵.

熵值反映了向量中各元素的離散程度，熵值越小，元素間的差異越小，彼此的平衡狀態(tài)越好.決策者可以根據(jù)信息分布的偏好，給出組間偏好水平，然后通過(guò)構(gòu)建規(guī)劃模型求解密度加權(quán)向量:

(12)

上述規(guī)劃模型中，通過(guò)最大熵值法在密度加權(quán)向量的最大信息量的基礎(chǔ)上，保證組間權(quán)重向量的均衡性，同時(shí)決策者可以表達(dá)自身的偏好，使決策結(jié)果更好地服務(wù)于決策者.

5 應(yīng)用算例

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈.企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)終究是人才的競(jìng)爭(zhēng)，人才的選拔對(duì)企業(yè)的發(fā)展尤為重要.某單位邀請(qǐng)12位專(zhuān)家x1,x2,…,x12對(duì)8位在崗人員O1,O2,…,O8進(jìn)行考核選拔，專(zhuān)家均以二元語(yǔ)義信息的形式給出被評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)信息，具體見(jiàn)表1.

表1 二元語(yǔ)義評(píng)價(jià)信息

下面給出向量型二元語(yǔ)義密度算子的具體計(jì)算步驟:

1) 數(shù)值矩陣確定:表1中的二元語(yǔ)義決策信息每一列視為每位專(zhuān)家原始決策信息矩陣的列向量，將二元語(yǔ)義決策信息根據(jù)式(2)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)值，得到如下轉(zhuǎn)化后的數(shù)值矩陣，記為

2) 二元語(yǔ)義信息聚類(lèi)組和組內(nèi)權(quán)重確定:根據(jù)聚類(lèi)方法，按式(5)計(jì)算向量β1,β2,…,β12兩兩之間的相似度sim，相似度矩陣為

從相似度矩陣中獲取各向量的綜合相似度集合為A={0.945 3,0.976 7,0.930 2,0.959 9,0.954 1,0.971 8,0.974 9,0.979 7,0.978 6,0.966 2,0.973 8,0.974 9}，將集合A中的元素按從大到小的順序進(jìn)行排序，得到的有序組仍記為A={0.979 7,0.978 6,0.976 7,0.974 9,0.974 9,0.973 8,0.971 8,0.966 2,0.959 9,0.954 1,0.945 3,0.930 2}，相應(yīng)的專(zhuān)家排序集為{x8,x9,x2,x7,x12,x11,x6,x10,x4,x5,x1,x3}，根據(jù)有序組A計(jì)算有序增量φt,t=1,…,11，得到有序增量集{0.001 06,0.001 97,0.001 72,0.000 05,0.001 06,0.002 05,0.005 62,0.006 25,0.005 79,0.008 86,0.015 03}.給定組數(shù)為4，選擇有序增量集中前3大元素0.015 03，0.008 86，0.006 25為分割點(diǎn)，得到相應(yīng)的向量集為{β1}，{β3}，{β4,β5}，{β2,β6,β7,β8,β9,β10,β11,β12}，對(duì)應(yīng)的專(zhuān)家聚類(lèi)組為A1={x1}，A2={x3}，A3={x4,x5}，A4={x2,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12}.

以聚類(lèi)組A4為例，根據(jù)式(8)得向量集{β2,β6,β7,β8,β9,β10,β11,β12}中8個(gè)向量的均方差分別為0.581 8，0.825 7，0.506 1，0.331 6，0.501 0，0.672 9，0.409 3，0.359 9.根據(jù)式(7)求得聚類(lèi)組A4內(nèi)的向量權(quán)重分別為w1=0.138 9，w2=0.197 1，w3=0.120 8，w4=0.079 2，w5=0.119 6，w6=0.160 7，w7=0.097 7，w8=0.085 9.同理，聚類(lèi)組A3的組內(nèi)權(quán)重為w1=0.477 2，w2=0.522 8.聚類(lèi)組A1和A2的組內(nèi)權(quán)重均為w1=1.

3) 密度加權(quán)向量的確定：假設(shè)決策者偏好主體共識(shí)信息，提前給出偏好程度為T(mén)s(ξ)=0.6.由于后兩組的元素個(gè)數(shù)相同，所以后兩組的密度加權(quán)向量相等.通過(guò)規(guī)劃模型(12)求得組間的密度權(quán)重為ξ1=ξ2=0.185 2，ξ3=0.274 0，ξ4=0.355 6，相應(yīng)的密度影響因子為λ1=λ2=-2.572 8，λ3=0.573 1，λ4=0.723 3.

4) 決策信息集結(jié)：該算例根據(jù)式(4)的V-TDWAWAA算子計(jì)算得到評(píng)價(jià)對(duì)象O1,O2,…,O8的最終評(píng)價(jià)值向量為[3.214 6,3.711 9,3.683 2,3.695 1,3.136 4,3.646 4,3.445 6,2.537 9]T，排序結(jié)果為O2?O4?O3?O6?O7?O1?O5?O8.

5) 與一維聚類(lèi)方法和WAA算子的比較:與一維聚類(lèi)方法的比較是以被評(píng)價(jià)對(duì)象O3的評(píng)價(jià)信息為例，將O1的二元語(yǔ)義信息轉(zhuǎn)化的數(shù)值信息為4.75，4.67，3.35，2.47，3.1，5.25，4.34，3.38，3.8，3.3，2.4，3.34，將數(shù)值信息按從大到小的順序進(jìn)行排序，并求得相應(yīng)的有序增量集為{0.5,0.08,0.33,0.54,0.42,0.03,0.01,0.04,0.2,0.63,0.07}，選取前三大有序增量0.63，0.54，0.5，得到相應(yīng)的專(zhuān)家聚類(lèi)組為A1={x6}，A2={x4,x11}，A3={x1,x2,x7}，A4={x3,x5,x8,x9,x10,x12}.按式(6)得聚類(lèi)組A1的組內(nèi)權(quán)重為w1=1；A2的組內(nèi)權(quán)重為w1=0.507 2，w2=0.492 8；A3的組內(nèi)權(quán)重為w1=0.345 2，w2=0.339 4，w3=0.315 4；A4的組內(nèi)權(quán)重為w1=0.165 3，w2=0.152 9，w3=0.166 7，w4=0.187 5，w5=0.162 8，w6=0.164 8.組間權(quán)重按模型(12)進(jìn)行求解，得ξ1=0.167 2，ξ2=0.213 1,ξ3=0.272 2，ξ4=0.347 5，求得O3的評(píng)價(jià)值為3.825 7.其余被評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)值按上述方法求得，這里不再贅述.O1,O2,O4,…,O8的評(píng)價(jià)值分別為3.188 9，3.904 6， 3.912 3，3.079 7，3.623 1，3.367 2，2.439 4,最終的評(píng)價(jià)對(duì)象排序?yàn)镺4?O2?O3?O6?O7?O1?O5?O8.

從上述一維二元語(yǔ)義密度算子方法求解過(guò)程來(lái)看，相較于本文提出的向量型二元語(yǔ)義密度算子，評(píng)價(jià)結(jié)果基本一致，但計(jì)算量明顯增加.若針對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的大型綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題，本文提出的以向量型數(shù)據(jù)作為封裝數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，能夠在較大程度上降低計(jì)算成本，提高決策效率.

運(yùn)用WAA算子得出的評(píng)價(jià)結(jié)論較之本文提出的V-TDWWAA算子求得的評(píng)價(jià)結(jié)論差別較大，直接運(yùn)用WAA算子求得的結(jié)果沒(méi)有考慮數(shù)據(jù)分布特征及決策者偏好，而本文提出的算子通過(guò)數(shù)據(jù)分布的疏密程度考慮群體共識(shí)問(wèn)題，可以更好地為決策者提供更貼合其偏好的評(píng)價(jià)服務(wù).

6 結(jié) 論

1) 以向量為基本運(yùn)算單位給出了向量型二元語(yǔ)義密度集結(jié)算子，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了分析，得出該算子具有置換不變性、冪等性、介值性等基本性質(zhì)的結(jié)論.

2) 根據(jù)二元語(yǔ)義信息對(duì)應(yīng)的數(shù)值，給出了基于二元語(yǔ)義向量相似度的聚類(lèi)方法.在此基礎(chǔ)上，依據(jù)向量的局部差異性對(duì)聚類(lèi)組內(nèi)的向量進(jìn)行賦權(quán)，然后通過(guò)規(guī)劃求解確定組間密度權(quán)重.

3) 將向量型二元語(yǔ)義密度算子與已知的信息集結(jié)算子(WAA算子)進(jìn)行合成，用于向量形式的二元語(yǔ)義信息的集結(jié).