基于虛擬材料的螺栓聯(lián)接復合板固有特性建模

孫 偉， 方自文， 劉曉峰

(東北大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819)

纖維增強復合材料是由纖維增強材料與基體構成[1].與金屬材料相比，具有比強度和比剛度高，力學性能可設計等優(yōu)點，廣泛應用在航空航天、汽車和海洋工程等領域[2].目前關于復合材料的聯(lián)接方式主要包括膠接聯(lián)接、機械聯(lián)接及兩者結合的方式，其中，螺栓聯(lián)接具有便于拆裝和維護的優(yōu)點而得到最為廣泛的應用[3].復合材料聯(lián)接結構在使用過程中容易產(chǎn)生振動而誘發(fā)不穩(wěn)定性，包括由共振引起的劇烈振動[4]、界面磨損、纖維和樹脂的斷裂及分層等[5].因此，有必要對螺栓聯(lián)接復合材料結構的振動特性進行相關的建模分析.

國內外對螺栓聯(lián)接復合材料結構的振動特性建模進行了少量研究.Zhang等[6]使用虛擬材料模擬結合部的接觸界面進行建模，利用分形接觸理論推導了虛擬材料的復模量，最后在有限元軟件上采用多尺度法研究接觸界面粗糙度對結構的共振頻率和阻尼的影響.郝秉磊等[7]用接觸單元模擬C/SiC陶瓷基復合材料螺栓結合部的力學行為，進而計算該聯(lián)接件的固有頻率和振動響應.Abdus等[8]考慮不同預緊力和溫度對固有頻率的影響，使用有限元軟件模擬結合部.而關于螺栓聯(lián)接復合材料結構的解析分析主要針對靜力學，例如，Olmedo等[9]提出了一種解析方法用于預測單螺栓搭接復合材料板的二次彎曲，并用實驗進行了驗證.Xiang 等[10]開發(fā)了一種考慮孔間隙和摩擦效應的改進彈簧方法，研究了復合板寬、板厚、螺栓間距和間隙對載荷分布的影響.

由以上可知，對螺栓聯(lián)接復合材料的固有特性解析建模研究較少，而固有特性包括固有頻率和振型，是預測結構松動和局部損傷的關鍵振動特性參數(shù).因此，本文基于虛擬材料的相關理論建立了螺栓聯(lián)接復合材料板的解析模型.這里虛擬材料建模法[11-12]基本思想是:用一層虛擬材料代替真實的螺栓結合部，通過對該材料的彈性模量、泊松比、損耗因子、密度等賦予不同的參數(shù)來模擬螺栓結合部的剛度、質量及阻尼等性能.提出使用基于分解的多目標進化算法[13]來辨識該虛擬材料模型的參數(shù).最后，以螺栓聯(lián)接TC500碳纖維/樹脂基復合材料板為例，創(chuàng)建了分析模型并用實驗驗證了該建模方法的有效性.

1 基于虛擬材料的螺栓聯(lián)接復合板解析建模

1.1 本構方程的建立

螺栓結合面的接觸實際上是由無數(shù)個微凸體的接觸構成，如圖1所示.將微凸體的接觸等效成一層具有一定厚度的各向同性虛擬材料，通過改變虛擬材料的彈性模量、泊松比、密度和厚度來模擬螺栓結合部的法向和切向動態(tài)特性.

基于虛擬材料的螺栓聯(lián)接復合材料板結構如圖2所示，其中上下兩塊復合材料板的材料是碳纖維/樹脂基復合材料反對稱正交鋪設，長度為a，寬度為b，厚度為Hc.其纖維方向與整體坐標系x方向夾角為θ，纖維縱向彈性模量和泊松比分別為E1,v12，垂直于纖維方向的彈性模量和泊松比分別為E1,v21，面內剪切模量為G12，密度為ρc.

將螺栓結合部假定為虛擬材料，位于兩個復合板之間，該虛擬材料的長度為h，寬度b，厚度為Hs，彈性模量和泊松比分別為Es,vs，密度為ρs.其中復合材料板采用經(jīng)典的正交各向異性復合材料板理論進行分析，而虛擬材料采用各向同性板理論進行分析.如圖3所示，復合材料層合板任意層的纖維方向與x軸角度為θ，從下到上層外表面的厚度方向坐標用Z1,Z2,…，ZN+1表示，這里N是層數(shù).

對于正交各向異性的單層板平面應力問題(σz=τxz=τyz=0)，取圖3所示xOy自然坐標系和x1Oy1彈性主軸坐標系.在x1Oy1彈性主軸坐標系中，每一層本構方程為

(1)

式中:σ1,σ2,τ12,ε1,ε2,γ12分別為纖維方向、纖維橫向的應力和應變；Qjl,j,l=1,2,6表示與彈性常數(shù)相關的系數(shù).

利用轉軸公式，在xOy參考坐標系中，纖維每層中應力和應變的本構關系為

(2)

(3)

1.2 螺栓聯(lián)接板結構的能量分析

整體結構的應變能為

U=Uc1+Uc2+Us.

(4)

式中:Uc1，Uc2和Us分別為上下兩塊復合材料板及虛擬材料的應變能:

(5)

(6)

這里假設w0(x,y,t)=W(x,y)sinω0t為復合材料板中性面自由振動的撓度，W(x,y)為位移振型，ω0為固有頻率.

由于上下兩塊復合材料板的材料和尺寸完全相同，因此其彎曲剛度系數(shù)Djl相同，可表示為

(7)

虛擬材料的應變能Us的表達式為

(8)

整體結構的動能T表達式為

(9)

式中:Tc1，Tc2和Ts分別表示上下兩塊復合材料板的動能和虛擬材料的動能.

1.3 位移振型的假設

(10)

(11)

式中:

(12)

這樣，便得到了關于α和β的無量綱的W(α,β).將α=x/a，β=x/b再代回式(10)，則橫向振動幅值W重新變成關于x，y的W(x,y)函數(shù).

1.4 基于拉格朗日方程的固有特性求解

將動能和應變能代入拉格朗日方程中，設L=T-U， 拉格朗日方程的具體表達式為

(13)

式中：p=1,2,3,…,R;k=1,2,3,…,S.

經(jīng)過一系列求導等計算，最終得到系統(tǒng)的自由振動方程:

(K-ω2M)c=0.

(14)

式中:K,M,c分別為螺栓聯(lián)接系統(tǒng)剛度矩陣、質量矩陣和特征向量.計算結構的固有頻率需要式(14)有解，因此其特征向量c對應的系數(shù)矩陣的行列式為0，即

det(K-ω2M)=0.

(15)

對K和M求廣義特征值就能得到固有頻率的平方及特征向量，然后將特征向量代入W(x,y)中，再將求解的W(x,y)代入w0(x,y,t)中，可得到各階次模態(tài)振型.

2 虛擬材料參數(shù)的確定

如果要用虛擬材料模型精確模擬復合材料螺栓結合部，可通過模型修正技術反推確定虛擬材料參數(shù).使用基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)來辨識虛擬材料的參數(shù)，設定修正的多個目標函數(shù)為

(16)

式中:fi(x)(i=1,2,…,m)表示第i個目標函數(shù)，x為決策變量；Ω表示n維決策空間；fiS和fiE分別表示仿真和實驗獲得的第i階固有頻率.

由式(16)可知，需要同時優(yōu)化多個目標函數(shù)，采用MOEA/D算法能夠根據(jù)相鄰子目標函數(shù)的信息產(chǎn)生相應的權重向量，權重向量在迭代過程中發(fā)生變化，從而完成優(yōu)化過程.多目標優(yōu)化問題的優(yōu)化過程中會產(chǎn)生一個Pareto最優(yōu)解的集合PS.所有PS中的解對應的目標函數(shù)值所形成的集合PF稱為Pareto前沿.利用MOEA/D算法確定虛擬材料參數(shù)的過程描述如下:

1) 輸入:虛擬材料的參數(shù)種群大小為P，算法的進化代數(shù)為Maxgen，Tchebycheff分解的鄰居大小為T，P個均勻分布的權重向量[λ1，λ2，…，λP]，求解式(16)的運動方程并形成的目標函數(shù).

2) 將虛擬材料的參數(shù)Es,vs,Hs,ρs種群初始化，之后將進化過程中的非支配個體儲存在外部群體(EP)中.

3) 計算任意兩個權向量之間的歐式距離，然后計算每個與歐式距離最近的T個權向量.

4) 隨機產(chǎn)生一個虛擬材料參數(shù)的初始種群x1,…,xN，并且調用求解式(16)的運動方程計算目標函數(shù)值FVi=F(xi).

5) 繁殖:對種群個體使用遺傳算子操作，之后計算目標函數(shù)值產(chǎn)生一個新的解y.

6) 新解的改進:通過具體的問題對新解y進行罰函數(shù)越界判斷后變成y′.

7) 更新外部群體集合(EP):將所有F(y′)支配的向量從EP中移除，如果F(y′)沒有被EP中其他向量支配，就將F(y′)加入到EP中.

8)停止條件:當達到算法的最大進化代數(shù)時，停止并輸出EP.否則，轉向步驟5).

3 實例研究

這里以螺栓聯(lián)接兩塊TC500碳纖維/樹脂基復合材料板為例進行分析，復合材料板的長度a=0.15 m，寬度b=0.06 m，厚度Hc=0.002 36 m，該類型纖維增強復合板為正交鋪設，整個復合板層數(shù)為20，每個鋪層具有相同的厚度和纖維體積分數(shù)，纖維方向角為[-45°/+45°]10，復合材料TC500的纖維縱向彈性模量E1=136 GPa，橫向彈性模E2=7.92 GPa，泊松比為0.32，剪切模量G12=3.39 GPa，密度ρc=1 780 kg/m3，結合部區(qū)域的長度lc=0.03 m.

螺栓組合復合板的一端固定在夾具上(夾持區(qū)為30 mm)，通過力矩扳手施加2 N·m預緊力，利用錘擊法對組合板的固有特性進行測試，所組建的實驗系統(tǒng)見圖4.這里用Polytec PDV-100激光多普勒測振儀拾振，用PCB SN 30272力錘激勵試件，用LMS SCADAS進行數(shù)據(jù)采集.

3.1 螺栓聯(lián)接復合材料板的固有特性求解

通過MATLAB軟件編寫相應的程序，取多項式的項數(shù)R=S=12，求解得到的結構前6階固有頻率和模態(tài)陣型見表1和表2.

表1 前6階固有頻率仿真與實驗對比

表2 實驗與理論模態(tài)振型

由表1和表2可知，解析模型中求得的固有頻率與實驗對比最大偏差為10.50%，最小偏差為0.99%,偶數(shù)階次的頻率偏差與奇數(shù)階次相比較要大.推斷偏差較大的原因:復合材料的力學性質是通過制造商機械測試提取出來的，其同一批次在生產(chǎn)加工過程中可能存在一定偏差；模型中虛擬材料參數(shù)不準確導致的結構偏差.因此有必要采用優(yōu)化算法對復合材料及模擬螺栓聯(lián)接的虛擬材料的參數(shù)進行辨識從而達到模型修正的目的.

3.2 模型修正

首先對單個懸臂板進行模態(tài)分析以確定較為準確的復合材料參數(shù).采用解析法得到其對應的固有頻率，與實驗進行對比，其中決策變量選取E1，E2和G12，變量上下界為0.8～1.1倍初始值；目標函數(shù)選取前三階模擬值與實驗值偏差的平方.采用基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)修正復合材料參數(shù)得到的計算結果，如表3所示.

表3 懸臂板修正前后的固有頻率及偏差

對復合材料參數(shù)進行修正后，使用基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)對虛擬材料模型進行修正，目標函數(shù)選取偏差較大的第1，2，4階固有頻率與實驗值偏差的平方.采用切比雪夫方法對多個目標函數(shù)進行分解，設置決策變量種群的大小P=200，鄰居大小T=20，最大進化代數(shù)Maxgen=200，目標函數(shù)的Pareto前沿如圖5所示.

由圖5可知，模型修正后的Pareto前沿是凹的并且解集分散的均勻性較好，當目標函數(shù)f1較小時，f2與f3中總有一個偏大，即一個目標函數(shù)的優(yōu)化性能會犧牲其他目標函數(shù)的優(yōu)化性能.對PFknown進行分析并選取最滿意的一組非支配解作為虛擬材料的參數(shù)，得到多目標算法修正后的固有頻率，如表4所示.

Table 4 Modified natural frequency of multi-objective algorithm

通過對比表1可以看出，修正后模型的1,2,4階次固有頻率與實驗值的偏差明顯減少，并且其他階次的偏差也相應減少.表5為最終確定的模擬復合材料螺栓結合部的虛擬材料參數(shù).

表5 修正前后的虛擬材料參數(shù)

4 結 論

1) 將螺栓結合部的力學特性用虛擬材料來模擬，進一步采用能量法創(chuàng)建了螺栓聯(lián)接復合材料板的解析分析模型.實踐表明這種不考慮螺栓結合部細節(jié)創(chuàng)建組合結構分析模型的方法可顯著提高螺栓聯(lián)接結構的分析效率.初步計算獲得的前6階固有頻率與實測值最大偏差為10.5%，而模態(tài)振型與實測值基本一致.

2) 為了提高所創(chuàng)建的螺栓聯(lián)接復合材料板動力學模型的分析精度，可以采用基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)來修正用于模擬螺栓結合部的虛擬材料參數(shù)，該優(yōu)化方法具有收斂快、精度高的特點，計算獲得的螺栓聯(lián)接板前6階固有頻率與實測值最大偏差僅為2.83%.