TCP/AWM網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的H∞擁塞跟蹤控制

井元偉， 亓雪蕾， 申金棟， 井江山

(東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819)

自有互聯(lián)網(wǎng)出現(xiàn)以來，如何避免網(wǎng)絡(luò)擁塞、提升網(wǎng)絡(luò)性能一直是人們致力追求的目標(biāo).在互聯(lián)網(wǎng)中廣泛使用的數(shù)據(jù)傳輸協(xié)議是端到端傳輸控制協(xié)議(transport control protocol, TCP)，它能夠有效地避免網(wǎng)絡(luò)崩潰[1].而能保證端到端數(shù)據(jù)傳輸隊(duì)列穩(wěn)定到期望值的是一類叫作主動(dòng)隊(duì)列管理(active queue management, AQM)的算法，出現(xiàn)于20世紀(jì)末[2].將二者結(jié)合的TCP/AQM系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)合理的資源利用、可接受的數(shù)據(jù)包丟棄及穩(wěn)定可靠的網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行[3].目前，已提出了許多AQM方案.基于研究方法的不同，主要有由計(jì)算機(jī)學(xué)者發(fā)展的啟發(fā)式方法，基于對(duì)策論等數(shù)學(xué)工具的方法和基于控制理論的方法等[4].

早在20世紀(jì)末和21世紀(jì)初，就有學(xué)者基于一定的假設(shè)提出了各種模型[5-10].這些模型各有其特點(diǎn)，如Mathis等[5]基于某些簡化假設(shè)使得模型簡單易于設(shè)計(jì)，但這些假設(shè)也易引起顯著的誤差；Kelly等[6]和Low等[7]的模型更接近實(shí)際系統(tǒng)但卻不具備可擴(kuò)展性；Ajmone[8]的偏微分方程形式的TCP模型較好地刻畫了大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)，但過于復(fù)雜，不易于分析.而Misra等[9]提出的流體流模型可以很好地分析TCP/AQM系統(tǒng)的性能，為TCP/AQM系統(tǒng)的數(shù)值分析提供了理論基礎(chǔ).Hollot等[10]提出了改進(jìn)的簡化流體流模型，使其更便于應(yīng)用，是目前廣泛使用的TCP/AQM網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)擁塞控制研究的模型之一[1]，并由此產(chǎn)生了許多新的AQM方案.諸多方案中應(yīng)用了線性化技術(shù)或非線性控制技術(shù)等控制理論分析與設(shè)計(jì)方法，包括廣義預(yù)測控制、T-S模糊控制、模型預(yù)測控制、最優(yōu)控制、H∞控制、PI控制、滑模控制、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制、逆推控制等控制技術(shù).

主動(dòng)隊(duì)列管理算法是基于鏈路的控制算法.其擁塞控制算法部署在路由器中，可以直接判斷網(wǎng)絡(luò)是否擁塞，但是其無法直接控制數(shù)據(jù)包的發(fā)送速率.在2007年，Barbera等[11]提出了一種叫作主動(dòng)窗口管理(active window management, AWM)的新模型機(jī)制，這種控制機(jī)制與各端節(jié)點(diǎn)的協(xié)議兼容，不需要修改端節(jié)點(diǎn)的控制算法.該方法將擁塞控制算法部署在網(wǎng)關(guān)之中，不需要通過丟包、吞吐量的改變來感知網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)，即可直接控制源端的發(fā)送速率.在單瓶頸鏈路下，AWM機(jī)制更具優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[12-14]對(duì)于AWM機(jī)制進(jìn)行了研究，但主要集中在對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能的分析、比較上，并沒有從控制理論的角度對(duì)AWM機(jī)制進(jìn)行分析和研究.在2016年，首次有研究者將AWM機(jī)制同控制理論相結(jié)合，提出了一種基于PID的窗口控制規(guī)律[15].所設(shè)計(jì)的控制算法在兼容所有版本的TCP協(xié)議的情況下，使得窗口的變化規(guī)律可設(shè)計(jì)，而不是簡單的AIMD的方式.但是PID控制算法參數(shù)設(shè)置固定，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)情況變化時(shí)，算法的性能會(huì)下降.

考慮到系統(tǒng)的非線性特性，采用back-stepping方法進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，而對(duì)于外部干擾，采用H∞性能函數(shù)進(jìn)行處理，得到TCP/AWM網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.

1 TCP/AWM網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型

考慮如下單路由TCP/AWM網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型[11]:

(1)

式中:W(t)為以數(shù)據(jù)包個(gè)數(shù)為度量的TCP源端窗口大小；q(t)為以數(shù)據(jù)包個(gè)數(shù)為度量的路由器瞬時(shí)隊(duì)列長度；N(t)為TCP網(wǎng)絡(luò)負(fù)載因子(即激活的TCP會(huì)話數(shù))；C為以數(shù)據(jù)包個(gè)數(shù)為度量的鏈路帶寬；Tp為傳播時(shí)延；u(t)為待設(shè)計(jì)的窗口變化率.

近年來，越來越多的基于用戶數(shù)據(jù)報(bào)協(xié)議(user datagram protocol, UDP)的一些應(yīng)用出現(xiàn)在TCP通信網(wǎng)絡(luò)中.在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)中，運(yùn)行在用戶數(shù)據(jù)報(bào)上的UDP流會(huì)干擾TCP流的正常傳輸.為了能更準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)模型，考慮在常值鏈路帶寬的基礎(chǔ)上，減去UDP流所帶來的外部干擾，以此來表示某一時(shí)刻的鏈路容量.

受文獻(xiàn)[16-17]的啟發(fā)，考慮UDP流的干擾，將描述發(fā)送窗口大小和路由器隊(duì)列長度的TCP/AWM模型，即式(1)擴(kuò)展為

(2).

(3)

式中:d(t)為由UDP流帶來的外部干擾；R(t)為往返傳播時(shí)間，各項(xiàng)符號(hào)表達(dá)的意義同式(1).

由于網(wǎng)絡(luò)窗口對(duì)于大多數(shù)人來說是一個(gè)相對(duì)虛擬的概念，并考慮到速率與窗口之間的關(guān)系[17]，可以用源端的發(fā)送速率r(t)來描述窗口的變化:

(4)

綜合式(2)～式(4)，可以得到基于r(t)和q(t)的新方程:

(5)

其中，

令x1(t)=q(t)，x2(t)=r(t)，于是，式(5)可以表示為

(6)

(7)

式中：ε=e1(t)+qref(t)+TpC；qref(t)為期望的隊(duì)列長度.

2 Backstepping控制器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中，將給出系統(tǒng)(7)的控制器設(shè)計(jì)過程.系統(tǒng)(7)針對(duì)狀態(tài)變量具有嚴(yán)格下三角結(jié)構(gòu)，故可以應(yīng)用backstepping設(shè)計(jì)這一非線性控制方法，與H∞性能相結(jié)合，設(shè)計(jì)一種H∞擁塞跟蹤控制器，使得系統(tǒng)的輸出可以跟蹤期望的隊(duì)列長度.下面給出跟蹤問題可解的結(jié)果.

定理 1如果存在狀態(tài)反饋控制律u=u(t)，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下兩個(gè)條件，則式(7)的H∞跟蹤問題是可解的:

i.所得到的閉環(huán)系統(tǒng)(7)的跟蹤誤差z1(t)穩(wěn)定.

ii.閉環(huán)系統(tǒng)是L2穩(wěn)定的，即對(duì)于任意初始條件存在一個(gè)非負(fù)常數(shù)φ(x0)滿足

其中，T>0,γ>0,d∈L2[0,T).

根據(jù)backstepping方法的設(shè)計(jì)思想，首先考慮系統(tǒng)(7)中關(guān)于狀態(tài)變量x1的子系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，然后在虛擬控制器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)控制器u(t).為此，定義如下的狀態(tài)變換:

(8)

其中，α為待設(shè)計(jì)的虛擬控制器.于是有，

(9)

針對(duì)系統(tǒng)(7)采用backstepping方法進(jìn)行穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì).由于系統(tǒng)(7)有2個(gè)子系統(tǒng)，于是設(shè)計(jì)過程分為2個(gè)步驟.

步驟 1 系統(tǒng)(7)的第一個(gè)子系統(tǒng)可寫為

(10)

這一步驟的目的是設(shè)計(jì)虛擬反饋控制器α使得z1→0.為此，選取Lyapunov函數(shù):

(11)

將V1沿著子系統(tǒng)(10)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得

(12)

進(jìn)而，有

(13)

選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奶摂M控制律:

(14)

將式(14)代入式(13)，可得

(15)

步驟 2 系統(tǒng)(7)的第二個(gè)子系統(tǒng)可寫為

(16)

進(jìn)一步，有

(17)

其中:

在這一步，目的是要設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使得狀態(tài)方程在e2=0處漸近穩(wěn)定.

構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù):

(18)

將V沿著子系統(tǒng)(10)和(16)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得

(19)

進(jìn)一步，有

(20)

其中:υ(t)=?(t)-ω(t)ψ(t);γ2=γ12+γ22.

根據(jù)式(20)的結(jié)構(gòu)，可以設(shè)計(jì)如下的反饋控制律:

(21)

以使V<0.其中，c2是正的設(shè)計(jì)參數(shù).

將式(21)代入式(20)，可得

(22)

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的H∞性能，將式(22)轉(zhuǎn)化為

(23)

其中，c10=c1-1>0.

對(duì)式(23)兩邊求積分，有

(24)

整理得

(25)

由式(25)可以看出，定義的條件ii成立.

由上述的推導(dǎo)分析過程可知，在所設(shè)計(jì)的逆推反饋控制器作用下，系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定.也就是說，系統(tǒng)(2)實(shí)現(xiàn)了主動(dòng)窗口管理擁塞控制，可以達(dá)到期望的隊(duì)列長度和適當(dāng)?shù)拇翱诖笮?

3 仿真分析

基于改進(jìn)的擾動(dòng)誤差模型給出相應(yīng)的兩組仿真.在第1組仿真中，對(duì)相同參數(shù)下的仿真結(jié)果逐一進(jìn)行了分析；在第2組仿真中，針對(duì)改進(jìn)的TCP/AWM模型，在不同的擾動(dòng)情況下，給出了仿真結(jié)果.

仿真1:系統(tǒng)的各參數(shù)取值為

N=100,C=1 250,Tp=0.01,qref=200,x0=[400 0],c1=15,c2=30,γ1=40,γ2=10.

在本組仿真中，以d=10為例，對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析.控制律u隨時(shí)間的變化情況如圖1所示.

由圖1可以看出，控制律u從0.3 s開始穩(wěn)定，并且在其后的時(shí)間段內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)的收斂速度非?？?，可以快速穩(wěn)定隊(duì)列長度.由圖1還可以看出，在d=10的情況下，控制律u最后穩(wěn)定到0.這表明，在有少數(shù)UDP流占據(jù)鏈路帶寬的情況下，并不影響源端對(duì)于TCP流的正常發(fā)送，亦即影響并不明顯.

圖2給出了在d=10時(shí)，隊(duì)列跟蹤誤差e1隨時(shí)間的變化情況.

由圖2可以看出，當(dāng)d=10，C=1 250時(shí)，跟蹤誤差最終穩(wěn)定到零.這表明當(dāng)外部擾動(dòng)比較小時(shí)，瞬時(shí)隊(duì)列q(t)可以成功地跟蹤期望隊(duì)列，即所設(shè)計(jì)控制器是有效的.

仿真2:本組仿真的主要目的是為了對(duì)改進(jìn)系統(tǒng)模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證.在本組仿真中用到的系統(tǒng)參數(shù)和設(shè)計(jì)參數(shù)同上一組仿真.此組仿真主要為了對(duì)比d分別等于1，10，100和500時(shí)，控制律和跟蹤誤差隨時(shí)間變化的情況.

不同d值下控制律隨時(shí)間變化的情況如圖3所示.

由圖3可以看出，在不同d值下，控制律隨時(shí)間變化的整體趨勢(shì)相同，這說明基于改進(jìn)的TCP/AWM模型所設(shè)計(jì)的backstepping控制器具有很好的抗干擾能力.為了能進(jìn)行進(jìn)一步的分析，對(duì)圖3的矩形框選部分進(jìn)行了等比例放大，如圖4所示.

由圖4可以看出，對(duì)應(yīng)不同的d值，4種情況下的仿真結(jié)果在同一坐標(biāo)中大部分還是處于交疊狀態(tài).但是，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處可以看到，4種情況下的曲線是處于分離狀態(tài).也就是說，控制律在系統(tǒng)中有外部擾動(dòng)存在時(shí)，整體波動(dòng)不大，系統(tǒng)的魯棒性良好.

當(dāng)d分別等于1，10，100和500時(shí)，隊(duì)列跟蹤誤差隨時(shí)間變化的情況如圖5所示.

由圖5可以看出，跟蹤誤差對(duì)不同d值并不敏感，因?yàn)槌宿D(zhuǎn)折處和穩(wěn)定后能清楚看出沒有交疊之外，仿真結(jié)果的交疊現(xiàn)象比較明顯，而且在穩(wěn)定后，基本上都穩(wěn)定到了e1(t)=0處.為了對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行更深層次的分析，圖6對(duì)圖5中的矩形框選部分進(jìn)行了局部放大，可以更清楚地看到轉(zhuǎn)折點(diǎn)處隨時(shí)間的變化情況.

由圖6可知，在0.06 s之前，4種情況下的仿真結(jié)果處于交疊狀態(tài)，但并不是完全重合；在0.06 s之后，4種情況下的仿真結(jié)果開始存在不同程度的波動(dòng).其中d=500時(shí)波動(dòng)程度最小，但是此時(shí)UDP流占據(jù)了將近一半的鏈路帶寬.不同d值下隊(duì)列跟蹤誤差的局部放大圖如圖7所示.

由圖7可以看出，d=1時(shí)的跟蹤效果最好.其次是d=10時(shí)，隨著外部擾動(dòng)增加，跟蹤效果越來越差.當(dāng)存在外部擾動(dòng)時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制器為了抵消其帶來的影響，損失了一部分能量，這也導(dǎo)致瞬時(shí)隊(duì)列沒有足夠的能力衰減至期望的隊(duì)列長度，這種影響會(huì)隨著外部擾動(dòng)的增加而更加明顯.

4 結(jié) 論

1) 本文基于TCP/AWM機(jī)制，給出了一個(gè)改進(jìn)的TCP/AWM網(wǎng)絡(luò)模型，為了達(dá)到跟蹤控制的目標(biāo)，利用誤差變換將改進(jìn)后的模型轉(zhuǎn)化為等效誤差模型.考慮到系統(tǒng)的非線性特性和存在UDP流等外部干擾的情況，將backstepping方法和H∞控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)了H∞擁塞跟蹤控制器.仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制器，在外部擾動(dòng)較小時(shí)，能夠成功跟蹤控制目標(biāo)，而在外部擾動(dòng)較大時(shí)，為抵消外部干擾的影響會(huì)損失一部分能量，只能跟蹤到控制目標(biāo)附近，此時(shí)控制器仍然有效.

2) 這一研究思路和所得結(jié)果不難擴(kuò)展到多路由的情況，同時(shí)也可以以其他模型為基礎(chǔ)，將多個(gè)子系統(tǒng)模型并聯(lián)組合構(gòu)成多路由網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).然后，采用先進(jìn)控制技術(shù)設(shè)計(jì)控制器，為TCP/AWM系統(tǒng)提供主動(dòng)窗口管理方案.