反思，照亮數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)階的歷程

姚晶晶

摘要：反思，是對(duì)自己的思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的過程，是一項(xiàng)重要的學(xué)習(xí)能力，是深度學(xué)習(xí)不可缺少的環(huán)節(jié)。然而反觀現(xiàn)實(shí)，在當(dāng)下的課堂中，對(duì)反思的關(guān)注還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，對(duì)這一能力的操作訓(xùn)練更是欠缺。據(jù)此，以一線教師的視角闡述反思在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要價(jià)值，剖析數(shù)學(xué)課堂中反思的痛點(diǎn)，并嘗試給出可操作的策略方法，以期通過反思進(jìn)一步完善學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階。

關(guān)鍵詞：反思學(xué)習(xí)歷程學(xué)習(xí)進(jìn)階

學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的方面就是學(xué)會(huì)反思?！冬F(xiàn)代漢語詞典（第7版）》對(duì)“反思”的解釋是：“思考過去的事情，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011版課標(biāo)”）對(duì)“反思”也有著明確的要求：在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要讓學(xué)生“能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性”，“能針對(duì)出現(xiàn)的問題進(jìn)行反思，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)”。

借由以上解讀，可以對(duì)“反思”做出更深入的理解：首先，反思不同于反省，它不僅可以回顧過去的“失敗”，也可以總結(jié)過去的“成功”;其次，反思更關(guān)注的是學(xué)習(xí)的過程，并且能從過程中發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的問題。由此可知，反思是一種高階思維，學(xué)習(xí)離不開有效的反思。

一、探尋：反思緣何成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要能力？

弗賴登塔爾曾說：只要兒童沒能對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，就達(dá)不到高一級(jí)的層次?？梢?，反思對(duì)于兒童學(xué)習(xí)的進(jìn)階具有重要的價(jià)值。

（一）認(rèn)知進(jìn)階：從迷思到澄清

在學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)，學(xué)生往往是帶著已有經(jīng)驗(yàn)走進(jìn)課堂的。在基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)展開教學(xué)的過程中，通常會(huì)遇到這樣的問題，來自不同學(xué)習(xí)背景的已有經(jīng)驗(yàn)中，有些是正確的，也有一些是模糊的，甚至是錯(cuò)誤的。如何讓學(xué)生在認(rèn)知糾偏的過程中得到深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)？反思發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

以《倍的認(rèn)識(shí)》一課為例，圖1中的哪一幅可以表示紅花（下一行）的朵數(shù)是藍(lán)花（上一行）的3倍？可以預(yù)見，學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)暴露出錯(cuò)誤，會(huì)對(duì)“3倍”有著各式各樣的迷思。隨著交流、碰撞的深入展開，學(xué)生最終會(huì)建立清晰的概念，此時(shí)，并不意味著學(xué)習(xí)的結(jié)束。好的教學(xué)會(huì)啟發(fā)學(xué)生及時(shí)展開反思：回顧一下，我最初是怎樣理解“倍”的？我原來對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)中哪兒有問題？我后來是如何修正我的想法的？我現(xiàn)在又是如何理解“倍”這個(gè)概念的？

顯然，反思在這段學(xué)習(xí)中的作用絕不僅僅在于得到正確的結(jié)論，而是關(guān)注學(xué)生，尤其是帶有錯(cuò)誤已有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生是如何得到正確認(rèn)知的。只有經(jīng)歷了暴露問題后的充分反思，才能實(shí)現(xiàn)從迷思到澄清的認(rèn)知進(jìn)階。

（二）思維進(jìn)階：從淺顯到深刻

學(xué)生在剛接觸新事物時(shí)，思維往往比較淺顯，容易呈現(xiàn)出相對(duì)片面的認(rèn)知狀態(tài)。但倘若在學(xué)習(xí)過程中有了適當(dāng)?shù)姆此?，則有可能讓思維走向深刻，呈現(xiàn)出相對(duì)全面的認(rèn)知狀態(tài)。

例如，《一一列舉的策略》一課，策略意識(shí)的形成和技能的習(xí)得離不開思維的深入。對(duì)于絕大部分學(xué)生來說，寫出一個(gè)或若干個(gè)符合條件的解答并不難，難的是能夠做到不重復(fù)、不遺漏，這就需要思維從淺層、片面走向深層、全面。如何實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)？途徑當(dāng)然有多種，但反思依然是不可或缺的重要一環(huán)。

試想一下，在經(jīng)歷了各自不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)后，倘若不反思，淺層思維的學(xué)習(xí)也就停留于把原本不完整的答案補(bǔ)充完整，把不對(duì)的改為正確，而對(duì)于為何會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變，不會(huì)做出深刻的思考。這樣，即便是回答完整、做對(duì)的那部分學(xué)生，也未必就真正掌握了解決問題策略的要領(lǐng)。但倘若能從“得”與“失”兩個(gè)方面進(jìn)行雙向反思，學(xué)習(xí)效果就不一樣了。畢竟，一種是從外部信息直接“得到”，另一種則來自對(duì)內(nèi)在思維的一系列審視：檢查思考方法存在著怎樣的缺陷，怎樣從混亂、零散走向有序化、結(jié)構(gòu)化，總結(jié)得到的規(guī)律能否去解決新的問題。兩相比較，反思與不反思對(duì)于思維的歷練，高下立現(xiàn)。

（三）經(jīng)驗(yàn)進(jìn)階：從“塹”到“智”

人們常說：“吃一塹，長一智?！闭娴氖沁@樣嗎？這里面是有隱含條件的。吃過一“塹”后，只有經(jīng)歷真正的反思，才有可能長一“智”。否則，很可能還是會(huì)在同一個(gè)地方跌倒。日常教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)發(fā)出這樣的疑問：為什么學(xué)生總是會(huì)犯同一個(gè)錯(cuò)誤？不少學(xué)生一遇到錯(cuò)題，就立刻訂正。但是，類似的錯(cuò)誤在下一次的練習(xí)中、下下一次的考試中還是會(huì)不斷出現(xiàn)。究其原因，就是學(xué)生在修正錯(cuò)誤的過程中缺少了關(guān)鍵的一步：反思。他們只關(guān)注得到正確答案，卻不會(huì)分析自己為什么出錯(cuò)。可見，缺少了反思，是無法轉(zhuǎn)“塹”為“智”的。在面對(duì)錯(cuò)誤時(shí)，只有及時(shí)監(jiān)控并調(diào)整自己的思維過程，找出合理的改進(jìn)方法，才能在原有的基礎(chǔ)上增長經(jīng)驗(yàn)，避免下一次再犯類似的錯(cuò)誤。

（四）能力進(jìn)階：從“一種”到“一類”

反思對(duì)于學(xué)習(xí)的價(jià)值，不僅在于修正錯(cuò)誤，有時(shí)還能夠使學(xué)生觸類旁通，靈活遷移。例如，《三位數(shù)乘兩位數(shù)》一課，在自主嘗試的探索階段，很多學(xué)生都會(huì)將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法中。這意味著學(xué)習(xí)過程中學(xué)生主動(dòng)反思的行為已經(jīng)發(fā)生。在回顧梳理的總結(jié)階段，教師組織學(xué)生由此及彼地對(duì)三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法進(jìn)行反思，并預(yù)測(cè)未來更多位數(shù)的乘法計(jì)算與已有的計(jì)算方法之間有著怎樣的聯(lián)系。通過建構(gòu)算法的聯(lián)系，有意識(shí)地將學(xué)習(xí)方法由“某一種”遷移到“某一類”，提升學(xué)生系統(tǒng)性思考的學(xué)習(xí)能力。

二、把脈：當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂中反思的痛點(diǎn)何在？

反思是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要能力，但在目前的教育環(huán)境下卻未能引起足夠的重視。這究竟是什么原因？在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反思遭遇了哪些痛點(diǎn)呢？

（一）反思的虛化

不得不說，當(dāng)下的課堂學(xué)習(xí)中，反思環(huán)節(jié)成為一種尷尬的存在。家常課上，難見其蹤影;公開課上，即便有一席之地，也多半流于形式。

事實(shí)上，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)了一些“反思”的素材，是希望學(xué)生在經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后能夠?qū)ψ约旱膶W(xué)習(xí)方法和所學(xué)知識(shí)進(jìn)行一次反省、總結(jié)和調(diào)整。遺憾的是，這個(gè)原本非常重要的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)在很多課堂上卻淪為了一種擺設(shè)，更多的是這樣的情景：

教師提問：“同學(xué)們，讓我們來回顧反思一下。通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么體會(huì)？有什么新的收獲？”而后，一兩位學(xué)生以讀板書的形式完成“回顧性反思”，為一節(jié)課畫上句號(hào)。

這樣的處理方式，恐怕會(huì)讓絕大多數(shù)學(xué)生連反思究竟是什么都沒弄明白，更不要說感悟到反思在學(xué)習(xí)中的價(jià)值了。

導(dǎo)致課堂上反思虛化的癥結(jié)在于，教師對(duì)于反思的重要性認(rèn)識(shí)不足，缺乏長遠(yuǎn)的眼光。我們首先重視的往往是學(xué)習(xí)中那些我們認(rèn)為重要且緊急的事情，比如教學(xué)任務(wù)能否完成、練習(xí)的數(shù)量是否達(dá)標(biāo)、重難點(diǎn)強(qiáng)調(diào)得夠不夠等。至于反思這種重要但不緊急的事情，象征性地走個(gè)過場(chǎng)就可以了。

（二）反思的弱化

教師對(duì)反思的認(rèn)識(shí)程度不夠，就會(huì)使所教的學(xué)生缺乏反思意識(shí)且不會(huì)反思，這導(dǎo)致了學(xué)生的反思能力普遍偏弱。

首先，學(xué)習(xí)依賴性強(qiáng)。主動(dòng)檢查作業(yè)和自覺整理數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)非常薄弱。

其次，缺乏對(duì)解題過程的反思。通常只關(guān)注問題解決了沒有，對(duì)整個(gè)思考過程的反思，包括對(duì)題目特征的甄別、解題思路的拓展與比較等則很少。

再次，對(duì)錯(cuò)因的分析不夠深入。以五年級(jí)的一道口算題0.6×0.6為例，不少學(xué)生一再得出3.6的錯(cuò)誤結(jié)果。對(duì)此，他們總是歸咎為粗心。然而，這只看到了現(xiàn)象，卻未能洞察現(xiàn)象背后的原因很可能是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的缺失：由于對(duì)算理的理解不夠清晰，導(dǎo)致做題時(shí)混淆了小數(shù)加法和小數(shù)乘法運(yùn)算規(guī)則中對(duì)小數(shù)點(diǎn)的處理。他們只想到下次不要粗心，卻未能想到解決的根源在于先通算理，再明算法。

（三） 反思的邊緣化

反思是需要時(shí)間和空間的。在一些課堂上，之所以見不到學(xué)生的反思，在很大程度上是由于教師牢牢把控了課堂。通常，在以教師單方面輸出為主的課堂中，存在著很多先天條件的不足，如缺少核心問題的導(dǎo)向驅(qū)動(dòng)，缺少開放多元的探究空間，缺少提問質(zhì)疑的互動(dòng)交流，缺少任務(wù)反饋的評(píng)價(jià)調(diào)控等。沒有這些基礎(chǔ)的教學(xué)“土壤”，反思如何得以生存？

三、建構(gòu)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何進(jìn)行反思？

基于反思的重要價(jià)值和常見痛點(diǎn)，我們需要進(jìn)一步在實(shí)踐中探索有效的策略、方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思，讓反思在教學(xué)中真正落地。

（一）反思的時(shí)機(jī)

找準(zhǔn)反思的時(shí)機(jī)，善于捕捉學(xué)習(xí)中的重要“節(jié)點(diǎn)”，才能夠讓學(xué)習(xí)效果事半功倍。

1.從“困惑”到“解惑”的關(guān)鍵點(diǎn)。

當(dāng)學(xué)生在課堂上遇到困惑時(shí)，我們不能僅僅用正確答案將其掩蓋，而要放大學(xué)生的困惑，引導(dǎo)學(xué)生通過更完整的對(duì)思考過程的回顧和對(duì)錯(cuò)誤原因的剖析來真正地消除困惑。在回顧反思時(shí)，應(yīng)盡可能地考慮到不同學(xué)習(xí)水平之間的差異性困惑。

以《一一列舉的策略》一課為例，主要呈現(xiàn)以下三種反思：

（1）沒有找到解決辦法的學(xué)生，反思自己遇到的困難是什么，后來做了怎樣的嘗試;

（2）思路錯(cuò)誤和列舉不完整的學(xué)生，反思原因是什么，后來是怎樣解決問題的;

（3）列舉完整但無序的學(xué)生，反思后來是如何調(diào)整和優(yōu)化的。

對(duì)困惑進(jìn)行反思很重要，但對(duì)癥下藥更重要。找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知差異，直擊困惑的關(guān)鍵處，才能使反思有的放矢，發(fā)揮更好的作用。

2.從“存異”到“求同”的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

面對(duì)一個(gè)問題，學(xué)生之間常常會(huì)產(chǎn)生不同的觀點(diǎn)。這個(gè)時(shí)候，對(duì)于“戰(zhàn)敗”的一方，不能簡(jiǎn)單地用一句“你同意了嗎？”進(jìn)行草率的處理。因?yàn)閷W(xué)生很可能是迫于現(xiàn)場(chǎng)壓力不得不放棄原有觀點(diǎn)，其實(shí)對(duì)于問題還沒有真正弄明白。這個(gè)時(shí)候，應(yīng)該利用反思倒逼出學(xué)生的真實(shí)想法，以此確認(rèn)是否達(dá)成真正的共識(shí)。

例如，《復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖》一課，學(xué)生所畫的兩種不同的圖（見圖2）引起了爭(zhēng)論，經(jīng)過多方辯論，最終全班一致贊同生②的作品。

對(duì)于“戰(zhàn)敗”的生③，筆者沒有輕易讓她坐下，而是趁熱打鐵給了她反思的機(jī)會(huì)：“你真的認(rèn)同了她的想法嗎？那你說一說，你原來是怎么想的？經(jīng)過剛才的討論，你現(xiàn)在又是怎么想的？是對(duì)方作品的哪一個(gè)關(guān)鍵要素讓你做出了改變？”果不其然，在經(jīng)歷了對(duì)原有觀點(diǎn)的反思后，生③真正意識(shí)到自己的作品還有待改進(jìn)，且抓住了問題的核心，重點(diǎn)感受到生②作品中的“圖例”在統(tǒng)計(jì)圖中所起到的重要作用。

無疑，爭(zhēng)論之后多加了一個(gè)反思環(huán)節(jié)，讓“戰(zhàn)敗方”沒有虛假地達(dá)成共識(shí)，而是經(jīng)歷了否定自我、轉(zhuǎn)變觀點(diǎn)的真實(shí)心路歷程，進(jìn)一步強(qiáng)化了對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)的理解和認(rèn)同。由此，爭(zhēng)論從有到無才顯得真實(shí)。

3.從“學(xué)什么”到“怎么學(xué)”的突破點(diǎn)。

學(xué)生學(xué)習(xí)通常只重視“學(xué)什么”，而教師特別要引導(dǎo)他們關(guān)注“怎么學(xué)”。對(duì)此，反思就是一種很好的介入方式。張齊華老師在《認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)》一課中就進(jìn)行了很好的示范。

在前半段的學(xué)習(xí)中，張老師發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在表述什么是百分?jǐn)?shù)時(shí)存在問題：要么空對(duì)空地講，缺乏表達(dá)技巧;要么講一些自己都沒有真正理解的話，造成聽的學(xué)生一頭霧水。對(duì)此，張老師組織了兩次不同的反思。第一次，引導(dǎo)“有問題”的學(xué)生反思：“同樣是表達(dá)一個(gè)意思，為什么她一講大伙兒都聽懂了，而你講的卻不能讓別人都明白呢？你想過問題出在哪兒?jiǎn)?？”第二次，引?dǎo)全班學(xué)生反思：“學(xué)到現(xiàn)在，你們對(duì)于什么是百分?jǐn)?shù)，有沒有感覺和昨天晚上自己的研究相比，向前進(jìn)了一大步？發(fā)生變化了嗎？”選擇這兩個(gè)時(shí)機(jī)組織反思，是因?yàn)檫@時(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式需要發(fā)生質(zhì)的突破。第一次反思，要讓學(xué)生意識(shí)到當(dāng)前的學(xué)習(xí)方法是存在問題的，需要改進(jìn)。第二次反思，學(xué)生則通過親身體驗(yàn)，看到了新的學(xué)習(xí)工具帶來的效果變化。試想，如果沒有這樣的及時(shí)反思，學(xué)生很可能一直延續(xù)著有問題的學(xué)習(xí)方式而渾然不知，縱然學(xué)習(xí)再多的知識(shí)，也無法彌補(bǔ)不會(huì)學(xué)習(xí)帶來的損失。

除了上述反思的時(shí)機(jī)，教師還要在確定方案、活動(dòng)操作、總結(jié)評(píng)價(jià)、單元盤點(diǎn)等環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)的需要進(jìn)行反思。

（二）反思的路徑

1.提出好問題，讓學(xué)生在問題中反思。

你學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？哪些學(xué)習(xí)起來比較容易，哪些覺得有點(diǎn)困難？你有解答最滿意的一道習(xí)題嗎？得意之處在哪里？你在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中走過哪些彎路，碰到哪些困難？如果解決了，你是怎樣解決的？如果沒有解決，你覺得還有什么困難是難以克服的？你有做錯(cuò)的數(shù)學(xué)習(xí)題嗎？這樣做為什么不對(duì)？你能找到并分析出錯(cuò)誤背后的關(guān)鍵原因嗎？你在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的最大困難是什么？有什么經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)？你認(rèn)為有哪些收獲？你能繪制出本周所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的思維導(dǎo)圖嗎？你最滿意的一節(jié)數(shù)學(xué)課是什么？最失落的一節(jié)課是什么？為什么？……

預(yù)期過程結(jié)果方法原因

（主要、次要）經(jīng)驗(yàn)情緒關(guān)鍵因素不足

3.為學(xué)生營造反思的空間。

（1）留出“反思時(shí)間”。

要想讓學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣，就必須舍得在課堂上花費(fèi)時(shí)間?？梢悦抗?jié)課留出五分鐘專屬于學(xué)生的反思時(shí)間。如果是課前反思，可以安排與本節(jié)課相關(guān)的前經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)點(diǎn)的回顧與再探。如果是課中反思，可以對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行調(diào)控與優(yōu)化。如果是課尾反思，可以設(shè)置小組討論的環(huán)節(jié)，讓每個(gè)人都有機(jī)會(huì)在組內(nèi)充分表達(dá)反思和體會(huì)，從而將個(gè)體的反思經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為群體的共同智慧。

（2）建立“反思共同體”。

反思作為學(xué)習(xí)的核心要素，與學(xué)習(xí)的其他要素之間有著不可分割的密切聯(lián)系。培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，離不開傾聽、表達(dá)、提問、對(duì)話、合作、批判……比如，我們可以給學(xué)生提供這樣的反思表達(dá)“腳手架”：我原來是怎么想（做）的，經(jīng)過和某某（或大家）的討論之后，我現(xiàn)在是這樣想（做）的……還可以通過說題、曬學(xué)習(xí)成果、介紹反思經(jīng)驗(yàn)、小組合作定制反思方案等方式來助力學(xué)生發(fā)展反思能力。

（3）建立錯(cuò)題檔案。

加強(qiáng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的反思意識(shí)已成為教師們的共識(shí)，但僅僅依靠每天的訂正還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，要盡可能讓學(xué)生建立系統(tǒng)的錯(cuò)題檔案。這就涉及哪些錯(cuò)題需要整理以及如何分析錯(cuò)題等技術(shù)性問題。對(duì)此，筆者根據(jù)自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，給出幾點(diǎn)建議（見圖7、圖8）。

哪些錯(cuò)題需要整理？

怎樣分析錯(cuò)題？

1.標(biāo)注存在的錯(cuò)誤。

用彩色筆標(biāo)出做錯(cuò)的地方，可以用五角星、三角形等不同圖形區(qū)分標(biāo)注由于粗心、知識(shí)點(diǎn)模糊、容易混淆等不同原因出錯(cuò)的題。

2.掌握正確的方法。

分析錯(cuò)因后，把正確的解題方法寫在錯(cuò)題的旁邊。不僅是答案，還應(yīng)該包括解題思路，即關(guān)鍵點(diǎn)、用哪些公式、具體步驟等。

3.反思提高。

要通過對(duì)這一錯(cuò)題的訂正，掌握解決這類錯(cuò)題的方法。甚至還可以將錯(cuò)題改編，在同類型的練習(xí)中鞏固解題方法。