一道未定式極限例題的解法探討

摘?要：本文針對(duì)一道00型未定式極限例題，給出了七種解法，并對(duì)每一種解法進(jìn)行了詳細(xì)的分析。最后，通過解法的探討，對(duì)未定式極限的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了總結(jié)。

關(guān)鍵詞：未定式極限;洛必達(dá)法則;等價(jià)無窮小

A?Probe?into?the?Solution?to?an?Example?of?indeterminate?form?limit

You?Junyan

School?of?Mathematics?and?Statistics，Heze?University?ShandongHeze?274000

Abstract：In?this?paper，seven?solutions?are?given?for?an?example?of?0/0?tepy?indeterminate?form?limit，and?each?solution?is?analyzed?in?detail.Finally，the?teaching?experience?of?indefinite?limit?is?summarized?through?the?discussion?of?the?solution.

Key?words：Indeterminate?form?limit，LHospitals?rule，Equivalent?infinitesimal

極限是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也是分析函數(shù)連續(xù)性、可微性等性質(zhì)的重要工具[1，2]。雖然求極限問題的方法有很多種，例如重要極限、無窮小的性質(zhì)、無窮小與無窮大的關(guān)系、等價(jià)無窮小、洛必達(dá)法則等[3，4]，但基于極限問題形式的多樣性，選擇合適的方法進(jìn)行求解是教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。在極限問題中，未定式極限是常見的類型，也是綜合性最強(qiáng)的一種，所以求解未定式極限是學(xué)習(xí)極限的重中之重。因此，學(xué)好極限的求解，尤其是未定式極限的求解，一方面可以幫助學(xué)生更好地理解極限的定義、思想及其應(yīng)用;另一方面，可以提高學(xué)生思維的靈活性，以及利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及自主學(xué)習(xí)的目的。

1?例題分析

本文分析的問題源自同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的第七版的《高等數(shù)學(xué)》（上冊(cè)）第136頁的例10，題目是求極限limx→0tanx-xx2sinx。

這是一道00型未定式極限問題，洛必達(dá)法則是最容易想到的方法。若直接使用洛必達(dá)法則，分母會(huì)變?yōu)?xsinx+x2cosx。顯然，這不是理想的結(jié)果。此時(shí)，要求學(xué)生具有敏銳的觀察力和分析問題的能力，既然直接用洛必達(dá)法則不是最想要的方法，那么從極限式的特點(diǎn)入手，注意到分母中可以先使用等價(jià)無窮?。ó?dāng)x→0時(shí)，sinx～x）的替換，再使用洛必達(dá)法則可以很大程度的簡化計(jì)算，即有：

limx→0tanx-xx2sinx=limx→0tanx-xx3=limx→0secx-13x2

因此，問題轉(zhuǎn)化為求解極限limx→0secx-13x2，在接下來的計(jì)算中分別給出七種計(jì)算方法，并在每一種方法中對(duì)每一步要進(jìn)行的計(jì)算給出了詳細(xì)的解釋。

解法一：洛必達(dá)法則與等價(jià)無窮小結(jié)合使用，此方法正是教材中給出的方法。

原式=limx→0sec2x-13x2???00型，使用洛必達(dá)法則

=limx→02sec2xtanx6x?當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x

=limx→0sec2x3?當(dāng)x→0時(shí)，sec2x→1

=13

解法二：三角恒等變換與等價(jià)無窮小的結(jié)合使用。

原式=limx→0sec2x-13x2secx=1cosx

=limx→01cos2x-13x2（分子進(jìn)行通分）

=limx→01-cos2xcos2x3x2（1-cos2x=sin2x;當(dāng)x→0時(shí)，cos2x→1）

=limx→0sin2x3x2?（當(dāng)x→0時(shí)，sin2x～x2）

=13

解法三：在解法二中，對(duì)第三個(gè)等號(hào)處的cos2x先不取值，而是利用三角恒等變換sinxcosx=tanx，再結(jié)合使用等價(jià)無窮小的替換。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→01cos2x-13x2

=limx→01-cos2xcos2x3x2?1-cos2x=sin2x

=limx→0sin2xcos2x3x2?sin2xcos2x=tan2x

=limx→0tan2x3x2?當(dāng)x→0時(shí)，tan2x～x2

=13

解法四：在解法二中，僅對(duì)第三個(gè)等號(hào)處的cos2x取值，分子中剩余的部分利用平方差公式變形，最后結(jié)合使用等價(jià)無窮小的替換。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→01cos2x-13x2

=limx→01-cos2xcos2x3x2?（當(dāng)x→0時(shí)，cos2x→1）

=limx→01-cos2x3x2?（分子使用平方差公式變形）

=limx→0（1+cosx）（1-cosx）3x2

當(dāng)x→0時(shí)，1+cosx→2;1-cosx～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

解法五：直接利用三角恒等變換sec2x-1=tan2x，再結(jié)合使用等價(jià)無窮小。這也恰好是解法三最后得到的結(jié)論。顯然，熟記這個(gè)公式要比解法三中的具體推導(dǎo)簡單的多，并且解法五是求解此極限問題最簡單的方法。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→0tan2x3x2=13

解法六：不使用洛必達(dá)法則，而是對(duì)分子利用平方差公式變形，再利用三角恒等變換，最后結(jié)合使用等價(jià)無窮小的替換。

原式=limx→0sec2x-13x2??（分子利用平方差公式變形）

=limx→0（secx+1）（secx-1）3x2?（當(dāng)x→0時(shí)，secx+1→2）

=limx→02（secx-1）3x2?secx=1cosx

=limx→02·1-cosxcosx3x2當(dāng)x→0時(shí)，cosx→1，1-cosx～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

解法七：由解法六可得當(dāng)x→0時(shí)，secx-1～12x2。因此，若能熟記這對(duì)等價(jià)無窮小，在解法六中的第三個(gè)等號(hào)處便可直接使用，不需要再進(jìn)行具體的推導(dǎo)，將會(huì)簡化計(jì)算。

原式=limx→0sec2x-13x2??（分子利用平方差公式變形）

=limx→0（secx+1）（secx-1）3x2?（當(dāng)x→0時(shí)，secx+1→2）

=limx→02（secx-1）3x2當(dāng)x→0時(shí)，secx-1～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

2?教學(xué)總結(jié)

這是一道典型的00型未定式極限問題，通過以上的解法分析有幾點(diǎn)想法總結(jié)如下：

（1）洛必達(dá)法則求解00型未定式極限時(shí)，與等價(jià)無窮小的替換結(jié)合使用效果會(huì)更佳。但等價(jià)無窮小的替換要注意形式的靈活性，在使用時(shí)要學(xué)會(huì)變通，例如當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，則當(dāng)x→0時(shí)，sinxn～xn，sinnx～xn。推廣到更一般的結(jié)論有，當(dāng)u（x）→0時(shí)，sinu（x）～u（x）。此推廣結(jié)論對(duì)于其他的等價(jià)無窮小同樣適用。

（2）這是一道與三角函數(shù)有關(guān)的未定式極限題目，除了結(jié)合等價(jià)無窮小的替換之外，還可以通過三角函數(shù)之間的恒等變換進(jìn)行計(jì)算，有些甚至可以高大程度的簡化計(jì)算。例如，secx=1cosx，sec2x-1=tan2x。此外，通過secx=1cosx與當(dāng)x→0時(shí)，1-cosx～12x2還可以得到一對(duì)新的等價(jià)無窮小，即當(dāng)x→0時(shí)，secx-1～12x2，這個(gè)可以作為結(jié)論直接使用。

（3）本文分析的七種方法不是完全獨(dú)立的，只是側(cè)重點(diǎn)不同，呈現(xiàn)出來的答案才有所區(qū)別，但并不是所有的未定式極限都存在一題多解。對(duì)于此類問題重要的是教給學(xué)生思考問題、分析問題以及解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的計(jì)算能力。因此，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，在傳授知識(shí)的同時(shí)，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，幫助學(xué)生樹立自信，鼓勵(lì)學(xué)生參與到課堂中來，提高學(xué)生的觀察力，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2014：34-137（7版）.

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[3]李茜.關(guān)于0/0型極限的解法探討[J].貴州學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，12（3）：5-6.

[4]張友梅，吳邦昆.00型極限的解法研究[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，32（8）：11-15.

作者簡介：油俊彥（1987—），女，菏澤人，碩士，講師，從事高等數(shù)學(xué)教育與研究。