高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用合情推理模式初探

嚴佳云

[摘? 要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)改革與新課程改革的雙重攻勢下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已經(jīng)占據(jù)到一個十分重要的位置，學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)受到了極大的關(guān)注. 培養(yǎng)創(chuàng)新能力的途徑眾多，筆者認為，若想將學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)落到實處，就需將合情推理能力的發(fā)展置于首位. 文章介紹了概念、公式、定理和法則教學(xué)以及解題教學(xué)中合情推理的應(yīng)用，從而幫助學(xué)生積淀合情推理的活動經(jīng)驗，以促進學(xué)生的創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);合情推理;創(chuàng)新能力;活動經(jīng)驗

合情推理是人們重要而又常見的一種思維形式，同時也是核心素養(yǎng)中的一項重要推理形式，因此合情推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的核心內(nèi)容之一[1]. 所謂合情推理，就是指從已有知識經(jīng)驗、能力水平出發(fā)，置于某種情境及認知過程中，去經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、類比的過程，繼而推出合情合理結(jié)論的一種思維方法. 高中教材中也多處呈現(xiàn)合情推理的教學(xué)，日常教學(xué)中，不少教師也溝通了合情推理與演繹推理的教學(xué)，有意識地去培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，卻無法有序系統(tǒng)地實施. 如何展開教學(xué)？從哪些角度切入去培養(yǎng)合情推理呢？本文著重對此進行了論述，旨在將合情推理應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，積淀合情推理的活動經(jīng)驗，以促進學(xué)生的創(chuàng)新能力的發(fā)展.

讓學(xué)生經(jīng)歷概念活動過程，積淀合情推理的活動經(jīng)驗

學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深度理解，就需要將其納入原有認知結(jié)構(gòu)中，在使新舊知識發(fā)生同化的過程中，才能實現(xiàn)真正意義上的理解，這種意義上的同化是一種實質(zhì)性的聯(lián)系，是合情合理的. 因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念的最直接方法莫過于將合情推理納入概念的教學(xué)中，從而逐步滲透概念本質(zhì).

案例1：以“等比數(shù)列的概念與性質(zhì)”的教學(xué)為例.

等差數(shù)列的概念與性質(zhì)是學(xué)生建構(gòu)等比數(shù)列概念的基礎(chǔ). 據(jù)此，筆者首先創(chuàng)設(shè)問題情境：還可以考察什么數(shù)列呢？由于認知結(jié)構(gòu)中已有等差數(shù)列的知識基礎(chǔ)，學(xué)生深入思考，較易聯(lián)想到與等差數(shù)列相關(guān)的數(shù)列. 為了促進知識的自然生成，筆者試圖引導(dǎo)學(xué)生將所需探究的問題自然引出. 學(xué)生的思路很快形成，有的學(xué)生提出與等差數(shù)列相關(guān)的一些具體數(shù)列，也有一些學(xué)生能類比“差”得出“和”“積”“比”等數(shù)列. 接下來自然是引導(dǎo)學(xué)生列舉說明，進而在學(xué)生展示思維過程中，充分挖掘出其中的規(guī)律，并與教材中的相關(guān)知識相融合，提高對概念本質(zhì)的深度和全面認識，利于學(xué)生聯(lián)系合情推理的數(shù)學(xué)思維與意識.

案例2：以“雙曲線的標準方程與性質(zhì)”的教學(xué)為例.

高中生都有著數(shù)十年的數(shù)學(xué)學(xué)習經(jīng)驗，也掌握了一定量的數(shù)學(xué)知識，自然也有了自己的認知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu). 在“雙曲線的標準方程與性質(zhì)”的教學(xué)中，教師宜用類比來充分發(fā)揮學(xué)習先行組織者的作用. 考察雙曲線時，將雙曲線的性質(zhì)與橢圓的性質(zhì)、雙曲線的研究方法與橢圓的研究方法進行類比，來勾畫知識框架，為雙曲線的學(xué)習提供知識經(jīng)驗. 在整個過程中，需要我們教師通過點撥、引導(dǎo)和啟發(fā)來培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和洞察力，讓學(xué)生感受到性質(zhì)的相似性，從而使獲得的知識呈現(xiàn)系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化.

讓學(xué)生經(jīng)歷公式、定理和法則的探究過程，積淀合情推理的活動經(jīng)驗

眾所周知，數(shù)學(xué)家們提出數(shù)學(xué)的公式、定理和法則的過程都充滿趣味，也富含合情推理的精彩演繹. 在教學(xué)公式、定理和法則的過程中，教師可以設(shè)計數(shù)學(xué)家們的探究歷程，讓學(xué)生重蹈偉人的“發(fā)現(xiàn)之路”，讓學(xué)生在扮演“數(shù)學(xué)家”的模式下，體驗思維困惑，創(chuàng)造數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，形成思維沖突，在不斷歸納、發(fā)現(xiàn)、觀察、猜想中，逐步領(lǐng)悟合情推理的方法.

案例3：以“二項式定理”的教學(xué)為例.

問題1：嘗試去計算（1+10%）10的結(jié)果;再試一試，是否可以計算出（a+b）n的結(jié)果？

問題2：計算（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，觀察計算結(jié)果，是否有發(fā)現(xiàn)？

問題3：從剛才一系列探究規(guī)律中，可以得出（a+b）n的計算結(jié)果嗎？

設(shè)計意圖：問題1直接拋出所需探究的問題，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷n=1，2，3，4的探究過程，并期待學(xué)生可以從特殊到一般的規(guī)律中歸納得出（a+b）n展開式的結(jié)果;問題2以簡單問題為起點，設(shè)計一系列連續(xù)問題，并在對計算結(jié)果的探究過程中，發(fā)現(xiàn)展開式的字母、系數(shù)、項數(shù)和指數(shù)之間的關(guān)系;問題3旨在啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，總結(jié)和歸納發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進一步提煉得出二項式定理. 在啟發(fā)探究的過程中，在以上3個“問題鏈”的引導(dǎo)下，以及教師的追問和點撥中，讓學(xué)生建構(gòu)一個從一般問題轉(zhuǎn)化到特殊問題，再從特殊問題到實現(xiàn)一般結(jié)論的歸納，從而得出結(jié)論.

案例4：以“正弦定理”的教學(xué)為例.

問題1：已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，是否可以利用其他的邊角表示斜邊c？c=■=■=■

問題2：根據(jù)以上探究結(jié)果，此式是否成立于任一三角形中？

問題3：以實例探究銳角△ABC以及鈍角△ABC中，邊、角所滿足的關(guān)系式.

問題4：試歸納概括正弦定理. （任一三角形中，每條邊與之相對角的正弦之比相等，即■=■=■）

設(shè)計意圖：此案例的設(shè)計，以執(zhí)教三角形為起點，設(shè)置一系列的探究活動，引領(lǐng)學(xué)生去猜想、去證明、去歸納，旨在將問題活生生地展現(xiàn)在學(xué)生面前，最終引導(dǎo)學(xué)生感知其中蘊含的思想方法，感悟定理的形成過程，促進正弦定理的自然建構(gòu)，這些都是在學(xué)生的親身體驗中發(fā)現(xiàn)的，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習的主體性.

讓學(xué)生經(jīng)歷解題的過程，積淀合情推理的活動經(jīng)驗

波利亞曾說：在解題中，要合情推理，要學(xué)會猜想. 由此可以看出，合情推理的思維方法可以為猜想提供依據(jù)，可以為解題困頓尋求一條出路. 近年來，合情推理的題型備受青睞，一躍成為高考的熱點問題. 在解題活動中，無論思路是否形成，都可以去猜測答案，或是猜測答案的范圍、形式，又或是解題方向，通過合情推理，使解題思路逐步顯現(xiàn)[2].

案例5：以歸納推理為例.

有5名學(xué)生圍坐成一圈，并依照次序循環(huán)進行“報數(shù)游戲”，游戲規(guī)定：

①第1名學(xué)生首報數(shù)字是1，第2名學(xué)生首報數(shù)字也是1，之后每名學(xué)生所報數(shù)字都為前兩名學(xué)生所報數(shù)字之和;

②當所報數(shù)字為3的倍數(shù)時，報出數(shù)字的該名學(xué)生必須同時拍手一次.

若小紅是第1名報數(shù)的學(xué)生，當5名學(xué)生依次循環(huán)報至第100個數(shù)時，小紅共拍手多少次？

設(shè)計意圖：本題主要是對學(xué)生推理能力、運算能力的考查，若以求解斐波那契數(shù)列的通項為突破口進行解決，則呈現(xiàn)繁難的情形;若從合情推理的視角著手，以限項1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，…即可歸納得出“第5名學(xué)生開始所報數(shù)被3除的余數(shù)為前2名學(xué)生所報數(shù)被3除的余數(shù)之和，因此a4n為3的倍數(shù)”. 借助數(shù)列{bn}來表示小紅依次報出的數(shù)字，則有bn=a5n-4，令5n-4=4k，k∈N*，則n=■∈N*，k≤25，k=4，9，14， 19，24，從而得出小紅拍手總次數(shù)為5次.

案例6：以類比推理為例.

已知數(shù)列{an}的通項為an=（2n-1）·2n，試求出該數(shù)列前n項和Sn.

解：欲求Sn，借助錯位相減法，即Sn=1·2+3·22+5·23+…+（2n-1）·2n，可得2Sn=1·22+3·23+5·24+…+（2n-1）·2n+1. 兩式相減，可得-Sn=2+2·22+2·23+…+2·2n-（2n-1）·2n+1，由此可得Sn=（2n-3）·2n+1+6. 再將以上方法類比推廣：已知數(shù)列{bn}的通項為bn=n2·2n，試求出該數(shù)列前n項和Tn.

解：因為Tn=12·21+22·22+…+（n-1）2·2n-1+n2·2n，所以2Tn=12·22+22·23+…+（n-1）2·2n+n2·2n+1. 兩式相減，可得-Tn=21+3·22+5·23+…+（2n-1）·2n-n2·2n+1？搖？搖=（2n-3）·2n+1+6-n2·2n+1. 所以Tn=（n2-2n+3）2n+1-6.

設(shè)計意圖：此題的設(shè)計意圖是演示和推廣“錯位相減法”的應(yīng)用，引領(lǐng)學(xué)生在親身經(jīng)歷中，對此方法有一個深刻的認識，而本題的精妙之處在于它不僅展示了方法，同時還為問題的解決供給了結(jié)論.

杜威有句至理名言：一盎司的經(jīng)驗遠勝過一噸的理論. 數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是實現(xiàn)經(jīng)驗“改造”的過程. 在合情推理的培養(yǎng)過程中，教師創(chuàng)設(shè)開放式的教學(xué)情境，給予學(xué)生充足的時間和空間，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去觀察、去思考、去探究、去類比、去歸納、去猜想，讓學(xué)生在不斷地經(jīng)歷的過程中逐步積淀、充滿感悟的經(jīng)驗.

參考文獻：

[1]? 秦丹丹. 新課標下高中數(shù)學(xué)合情推理內(nèi)容教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查研究[J]. 東北師范大學(xué)，2011（12上）.

[2]? 于靜宜. 新課標下培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的教學(xué)嘗試——基于一節(jié)數(shù)學(xué)課的歸納推理教學(xué)設(shè)計[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（03）.