數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視野下的高中函數(shù)概念教學(xué)“再創(chuàng)造”①

蘇洪雨 章建躍 郭慧清

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631；2. 人民教育出版社 100081；3. 深圳中學(xué) 518025)

“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中最核心的概念之一，理解函數(shù)概念對于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)2017》)認(rèn)為：函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為重要的數(shù)學(xué)模式，是研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本工具，有廣泛的實際應(yīng)用.函數(shù)及應(yīng)用是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.[1]然而，從目前的函數(shù)概念教學(xué)和學(xué)生對函數(shù)概念理解的情況來看，情況并不是十分樂觀，兩個方面都存在著很多的問題.問題產(chǎn)生的原因是多方面的，其中一個重要的原因是“重視形式，淡化本質(zhì)”.

隨著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，對“函數(shù)概念”的教學(xué)需要重新審視.2017年，深圳中學(xué)率先開展基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的課程改革實驗，根據(jù)《課標(biāo)2017》教材編寫的理念，進(jìn)行了基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的“函數(shù)概念”教學(xué)研討.我們嘗試通過創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生理解與把握函數(shù)的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生思考，再現(xiàn)函數(shù)概念的創(chuàng)造過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成.

1 學(xué)生在函數(shù)概念學(xué)習(xí)中存在的問題

高中函數(shù)的概念基于“對應(yīng)”給出定義，具有高度抽象性和形式化，其對應(yīng)法則又具有多樣性，不僅可以用代數(shù)式表示，也可以是圖像、表格，甚至用文字描述.這就增加了學(xué)生函數(shù)概念理解的難度，同時，也為函數(shù)概念教學(xué)造成了一定的困難.

在函數(shù)教學(xué)中，過分強(qiáng)調(diào)解題應(yīng)試研究，不重視函數(shù)概念的理解.從整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)的環(huán)境來看，注重解題，強(qiáng)調(diào)形式運(yùn)算和技巧是比較普遍的現(xiàn)象.這就導(dǎo)致了學(xué)生對函數(shù)概念理解的偏差.從文獻(xiàn)和實際調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念主要存在下面8個問題：(1)對于許多函數(shù)，學(xué)生對“對應(yīng)關(guān)系”認(rèn)識模糊；(2)對應(yīng)關(guān)系就是解析式；(3)y=f(x)就是解析式；(4)對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)，或者函數(shù)就是對應(yīng)關(guān)系；(5)不清楚函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域三者之間的關(guān)系；(6)把函數(shù)學(xué)習(xí)，理解成就是求函數(shù)的定義域、值域或求解析式；(7)不會從具體問題中抽象出函數(shù)模型，不會選用恰當(dāng)方式去表示函數(shù)；(8)會背函數(shù)定義，但不會正確選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去觀察、分析并解決實際問題.這其中前面4個問題是對函數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識模糊的范疇，第(5)和(6)個問題是關(guān)于函數(shù)內(nèi)涵和外延之間的模糊認(rèn)知，最后2個問題則是函數(shù)的應(yīng)用.這主要是前面的錯誤認(rèn)知使學(xué)生沒有形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，也就不能形成解決問題的能力.

2 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視野下的概念教學(xué)

自從20世紀(jì)初克萊茵提出“以函數(shù)為綱”的教學(xué)改革之后，函數(shù)在數(shù)學(xué)課程中就一直處于核心地位.在現(xiàn)實世界中，變化的量是最為常見的，而函數(shù)就是研究這些變量之間的關(guān)系的，因此把函數(shù)作為課程的核心是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實密切相關(guān)的體現(xiàn).再者，函數(shù)是數(shù)學(xué)概念中最具有基礎(chǔ)性和普遍性的概念之一，貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程，幾乎和其他所有的知識領(lǐng)域都有關(guān)聯(lián)，并且函數(shù)思想是問題解決中的重要思想.正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》指出的：高中階段用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終.[2]根據(jù)多國教材的比較研究，作為基礎(chǔ)概念，函數(shù)普遍存在于其他領(lǐng)域的知識中，以美國教材為例，每一章都以穿插學(xué)習(xí)的方式，把與當(dāng)前學(xué)習(xí)的具體函數(shù)有直接聯(lián)系的各種知識都穿插在一起.日本教材在介紹了具體函數(shù)(如三角函數(shù)、有理函數(shù)等)概念和性質(zhì)后，通過函數(shù)圖像研究相應(yīng)的方程和不等式；法國教材將算法和函數(shù)密切結(jié)合.[3]

作為最具有基礎(chǔ)性和普遍性的概念，“函數(shù)”的教學(xué)尤其重要，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視野下的概念教學(xué)值得進(jìn)一步的反思和設(shè)計.

2.1 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與函數(shù)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.[1]數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的獲得必需經(jīng)過以“數(shù)學(xué)知識”為載體的學(xué)習(xí)活動才能實現(xiàn)，這就要思考核心素養(yǎng)如何和數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合，而數(shù)學(xué)知識的教學(xué)又要體現(xiàn)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生既掌握相關(guān)的知識又能形成相關(guān)的核心素養(yǎng)，也就是在教學(xué)中落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就是幫助學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地看待世界，發(fā)現(xiàn)問題，表述問題，分析問題，解決問題”，通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，并能逐步學(xué)會想得更清晰、更全面、更深、更合理．[4]

對于“函數(shù)”而言，純粹從數(shù)學(xué)知識角度，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為重要的數(shù)學(xué)模式.從數(shù)學(xué)應(yīng)用角度，是研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本工具，是解決實際問題的常用模型，因此，函數(shù)的概念貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和普遍性.函數(shù)，從具體的實際問題到函數(shù)模型的建立，以及使用數(shù)學(xué)語言描述問題、解決問題，可以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)方面獲得提升，而函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過圖像揭示函數(shù)性質(zhì)可以促進(jìn)直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.可以說，在整個函數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)體現(xiàn)出來，并得到進(jìn)一步的發(fā)展.

2.2 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，因此，理解數(shù)學(xué)概念、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念是學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本要求.在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，常用的方式是：情境或?qū)嵗搿l(fā)現(xiàn)共同特征——概括，抽象概括——給出定義——辨析概念——解決問題.這種方式是基于概念理解中的“概念形成”方式設(shè)計的，也就是對同類事物中若干不同例子進(jìn)行反復(fù)感知、分析、比較和抽象，以歸納的方式概括出這類事物的本質(zhì)屬性而獲得概念的形式.

概念形成過程實質(zhì)上是抽象出某一類對象或事物的共同本質(zhì)特征的過程.其過程可以概括為：①辨別各種刺激模式.這些刺激模式可以是學(xué)生自己在日常生活中的經(jīng)驗或事實，也可以是由教師提供的有代表性的典型事例.在函數(shù)概念形成過程中，通過情境或?qū)嵗?，這就是提供刺激模式，讓學(xué)生進(jìn)行分析、辨認(rèn).②分化出各種刺激模式的屬性.為了理解該類刺激模式的本質(zhì)屬性，就需要對各種刺激模式的各個屬性予以分化.③抽象出各個刺激模式的共同屬性，并提出他們的共同關(guān)鍵屬性的種種假設(shè).例如給出的情境或?qū)嵗校?個變化的量，它們之間有某種關(guān)系.④在特定的情境中檢驗假設(shè)，確認(rèn)關(guān)鍵屬性.⑤概括，形成概念.驗證了假設(shè)以后，把關(guān)鍵屬性抽象出來，并區(qū)分出有從屬關(guān)系的關(guān)鍵屬性，使新概念與已知認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀念分化，用語言概括成為概念的定義.⑥把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去.這既是在更大范圍內(nèi)檢驗和修正概念定義的過程，又是一個概念應(yīng)用的過程，從中可以看出概念的本質(zhì)特征是否已被學(xué)生真正理解.⑦用習(xí)慣的形式符號表示新概念.通過概念形成的上述步驟，學(xué)生比較全面地了解概念的內(nèi)涵，而且還掌握概念的許多具體例證，對于概念的各種變式也有較好的理解，總之，學(xué)生對概念的內(nèi)涵和外延都有了比較準(zhǔn)確、全面的理解.這時，就應(yīng)該及時地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號.[5]對于函數(shù)概念而言，使用y=f(x)表示，學(xué)生接受并能理解其內(nèi)涵和外延.

以上7個步驟是理解概念的過程，稱之為“概念形成”，是數(shù)學(xué)抽象的過程，實際上就是從特殊到一般的方法.

在實際的概念教學(xué)中，并不是所有的教學(xué)按照這種方式進(jìn)行設(shè)計的，也存在另外的一種方式，就是“概念同化”.在教學(xué)中，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式直接提出概念，并揭露其本質(zhì)屬性，由學(xué)生主動地與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系去學(xué)習(xí)和掌握概念的方式，叫做概念同化.概念同化方式獲得概念，實際上是用演繹方式理解和掌握概念.因為它是從抽象定義出發(fā)來學(xué)習(xí)概念的，所以應(yīng)注意及時應(yīng)用實例，使抽象概念獲得具體例證的支持.這種方式在概念教學(xué)中也比較常見，例如一次函數(shù)概念教學(xué)中，首先揭示概念的關(guān)鍵屬性，給出定義、名稱和符號.給出定義為“一次函數(shù)就是形如y=kx+b的函數(shù)，其中k,b∈R”.其次對概念進(jìn)行特殊的分類，討論這個概念所包含的各種特例，突出概念的本質(zhì)特征.特例如：y=kx，y=b，y=0，等等.接著，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念建立聯(lián)系，把新觀念納入到已有概念體系中，同化新概念.把一次函數(shù)與函數(shù)概念、一次多項式概念等等作比較，認(rèn)識一次函數(shù)與這些相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別.再用肯定例證與否定例證讓學(xué)生辨認(rèn)，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念分化.例如舉例：y=x-1,y=-x+b,y=0,ay=x+3(a≠0)等，要求學(xué)生指出相應(yīng)的k,b各是多少.最后，把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，使有關(guān)概念融會貫通，組成一個整體.[5]

從概念的特性來看，既表現(xiàn)為一種過程操作，又表現(xiàn)為對象、結(jié)構(gòu).概念兼有這樣的二重性.概念的過程和對象有著緊密的依賴關(guān)系，形成一個概念，往往要經(jīng)歷由過程開始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J(rèn)知過程.[6]概念的這種特性對于概念教學(xué)有著重要的啟示，也就是教學(xué)既要注重概念的對象性，從靜態(tài)理解概念，把概念作為結(jié)果、結(jié)構(gòu)關(guān)系；同時要注意概念的過程性，也就是概念的動態(tài)過程，從算法、操作等方面理解概念.這和核心素養(yǎng)的形成不謀而合，也就是“教概念”，就是從“靜”、“動”的角度激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的特征、性質(zhì)及變化，從而理解概念本質(zhì)——結(jié)構(gòu)，在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力與情感、態(tài)度、價值觀就暴露出來，進(jìn)而得到發(fā)展.

3 高中函數(shù)概念教學(xué)的“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)家向來都不是按照他創(chuàng)造數(shù)學(xué)的思維過程去敘述他的工作成果，而是恰好相反，把思維過程顛倒過來，把結(jié)果作為出發(fā)點(diǎn)，去把其他的東西推導(dǎo)出來.因此，他強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生.他認(rèn)為這是一種最自然的、最有效的學(xué)習(xí)方法.[7]

函數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)“再創(chuàng)造”思想.首先，“再創(chuàng)造”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究過程，再現(xiàn)數(shù)學(xué)思維，有助于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，實際上就是“做數(shù)學(xué)”的過程，通過教師精心設(shè)計，創(chuàng)設(shè)問題情景學(xué)生自己動手實驗研究、合作商討，探索問題的結(jié)果并進(jìn)行組織的學(xué)習(xí)方式.[8]其次，教學(xué)中的“再創(chuàng)造”能夠促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解.很多時候，教師就是舉例、講解，學(xué)生的任務(wù)則是模仿、記憶，最后就是解題訓(xùn)練；而數(shù)學(xué)家根據(jù)自己的直覺、歸納類比，開展各種猜想，然后再加以驗證；符號、定義、定理是最終思維的結(jié)果，但是忽略了思維的過程.因此，函數(shù)概念的教學(xué)中可以根據(jù)函數(shù)的歷史發(fā)展讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程，讓學(xué)生了解函數(shù)是從基本的常量問題發(fā)展為變量關(guān)系，再從變量演變?yōu)檠芯壳€問題，然后就是函數(shù)解析式，最終是出現(xiàn)集合論的現(xiàn)代定義，而高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)其實就是“對應(yīng)說”的定義.最后，再創(chuàng)造的教學(xué)體現(xiàn)在“數(shù)學(xué)是一種活動”，提倡學(xué)生積極參與、探究的活動，在這個過程中，學(xué)生要發(fā)現(xiàn)問題、理解問題，使用數(shù)學(xué)解決問題，并進(jìn)行不斷的反思，這和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)逐步形成過程不謀而合，也就是形成數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度價值觀的過程.

3.1 函數(shù)概念“再創(chuàng)造”的設(shè)計

基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就要思考數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)是什么？對于函數(shù)概念教學(xué)來說，是函數(shù)的定義、還是形成函數(shù)的概念，又或者是通過學(xué)習(xí)函數(shù)概念，學(xué)會思考與解決問題的方法.

對于函數(shù)教學(xué)，學(xué)生在初中已經(jīng)有了變量說的概念，因此從實際情境中“鑒別”出變量及“推斷”兩個變量之間的依存關(guān)系作為課堂教學(xué)起點(diǎn)目標(biāo)(也是重點(diǎn))；“判斷”對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用(也是重點(diǎn)).[9]在此基礎(chǔ)上，體現(xiàn)概念“再創(chuàng)造”可以通過“數(shù)學(xué)活動”來實現(xiàn).因此，我們設(shè)計了下面的教學(xué)，希望能從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角，引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”函數(shù)概念，揭示函數(shù)內(nèi)涵，理解函數(shù)思想，掌握與函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)語言.

3.1.1活動一：從現(xiàn)實到變量

函數(shù)是和現(xiàn)實問題密切相關(guān)的，因此，從現(xiàn)實問題出發(fā)，分析其中的數(shù)量問題，發(fā)現(xiàn)常量和變量，這是建立函數(shù)概念的第一步(如圖1).

問題1：某電氣維修公司要求維修工人每周工作至少1天且不超過6天, 給每個維修工開出的工資是每天300元．該公司每周付給維修工人一次工資．問維修工人所得的工資情況如何？

問題2：某次高速列車加速到每小時300km后保持勻速前進(jìn)30分鐘．分析該列車在這30分鐘的運(yùn)動情況.

這兩個都是實際問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)來分析，把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這個過程中，從具體變抽象，而數(shù)學(xué)抽象就是“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.”那么，這兩個問題，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系.

第一個活動并不是要學(xué)生馬上尋找變量之間的“函數(shù)”關(guān)系，而是發(fā)現(xiàn)問題情境中的常量和變量，從實際的背景抽象出數(shù)學(xué)的符號或術(shù)語，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)可以把生活問題“簡化”：剔除無關(guān)的背景，從數(shù)量關(guān)系研究問題.

3.1.2活動二：變量之間的關(guān)系

從上述的兩個問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了變量之間的關(guān)系，不過開始是比較直觀的“比例”關(guān)系，還沒有上升到“函數(shù)”關(guān)系.這時候，可以給出下面的問題.

問題3：數(shù)學(xué)老師批改學(xué)生作業(yè)時, 用5分制(即不超過5的正整數(shù))評分．對于有6人的學(xué)習(xí)小組, 將其成員編號為1,2,3,4,5,6, 某次作業(yè)按編號從小到大的評分依次是5,3,4,2,4,5．該怎樣表示該學(xué)習(xí)小組此次作業(yè)情況？

圖1

通過問題1,2,3的研究，學(xué)生將從識別變量，根據(jù)已有的比例概念、初中函數(shù)概念，發(fā)現(xiàn)變量之間的依存關(guān)系，進(jìn)而“再創(chuàng)造”初中函數(shù)概念(如圖2).

圖2

這個概念的形成可以說是水到渠成，并沒有太多人為的加工，這也是函數(shù)原始的概念之一，學(xué)生通過思考分析“現(xiàn)實”，得到了變量的關(guān)系，盡管比較原始，但是學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)，“再創(chuàng)造”，那么這樣的數(shù)學(xué)活動可以幫助學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)建模的能力，同時也讓學(xué)生有著“直觀想象”的思維過程.隨著問題的進(jìn)一步思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變量依存”有局限(例如，狄利克雷函數(shù))，同時也有著規(guī)律、法則,有的時候可以用“式子”描述，而有的時候可以使用其他方式，但是不變的是一個變量和另一個變量的“對應(yīng)”關(guān)系，這就產(chǎn)生了“對應(yīng)”的思想.

3.1.3活動三：建立對應(yīng)的概念

再次探討上述3個問題，可以從對應(yīng)關(guān)系來分析.

問題1：w=300d，d=1,2,3,4,5,6.w=300,600,900,1200,1500,1800.

問題2：s=300t，0≤t≤0.5. 0≤s≤150.

問題3：不能直接用代數(shù)式描述，可以使用表格(表1)，也可以從集合的角度來建立對應(yīng)關(guān)系(圖3).

表1

圖3

對于問題1和2，學(xué)生想到兩個變量的依存關(guān)系可以使用“式子”表示，但是問題3卻不能直接找到這樣的“式子”，很多學(xué)生自然想到“表格”，表格的形式一目了然，是一種很好的表示方法，可以展示出來.表格的另一種轉(zhuǎn)化是集合的形式，因此，教師可以啟發(fā)學(xué)生采用集合的形式來表示“對應(yīng)”關(guān)系.在圖3的啟示下，進(jìn)一步引導(dǎo)問題1(圖4)和問題2(圖5)也可以采用集合對應(yīng)的方式表示.

圖4

圖5

盡管問題1和問題2的表達(dá)式相似：w=300d，s=300t，統(tǒng)一變量都是：y=300x.但是由于x的變化范圍不同，結(jié)果得到的y的值也不同.學(xué)生意識到函數(shù)不僅僅和表達(dá)式有關(guān)，還和自變量x有關(guān).問題1和問題3比較，盡管自變量x變化范圍相同，但是由于對應(yīng)關(guān)系不同，其函數(shù)值也不同，那么所表示的函數(shù)也不同.這樣學(xué)生就發(fā)現(xiàn)，建立函數(shù)概念的幾個要素：變量，自變量x的取值范圍，對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)值(圖6).

圖6

這些函數(shù)的要素發(fā)現(xiàn)并不是教師一一給出，而是學(xué)生在問題辨析中逐步得到的，也就是通過直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到了函數(shù)的基本模型，這是再創(chuàng)造的過程.

3.1.4活動四：形成函數(shù)的概念

通過以上三個活動，學(xué)生基本形成了函數(shù)的初步概念：對于數(shù)集A中的數(shù), 按照某種對應(yīng)關(guān)系f， 在數(shù)集B中有唯一確定的數(shù)與數(shù)集A中的數(shù)對應(yīng).

這個概念是學(xué)生初步的、模糊的歸納，但是“函數(shù)”本質(zhì)已經(jīng)體現(xiàn)出來：兩個數(shù)集中的兩個變量及它們的對應(yīng)關(guān)系.這個初步的概念需要進(jìn)一步的完善，進(jìn)而形成準(zhǔn)確的定義，因此給出下面兩個問題：

問題4：空氣質(zhì)量指數(shù)(簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)．AQI的值越大, 說明污染越嚴(yán)重, 對人體健康的影響也越明顯．圖7是某市兩周內(nèi)的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖．你能根據(jù)該圖確定這兩周內(nèi)任一時刻t的AQI之值y嗎？

問題5：在一個展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中, 一位參加節(jié)目的少年能將圓周率π準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點(diǎn)后面200位, 更神奇的是, 當(dāng)主持人說出小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)時, 這位少年都能準(zhǔn)確地說出該數(shù)位上的數(shù)字．

記圓周率π小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)為n(n∈N*), 該數(shù)位上的數(shù)字為y,y和n是什么關(guān)系？

這兩個問題和前面三個有著明顯的不同，無論是解析式還是圖表都無法表示問題4和5的變量關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生思考：對應(yīng)關(guān)系是否一定要使用解析式或者表格，圖象或者文字語言可以表示對應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步鞏固函數(shù)的概念：找到變量，變量之間的對應(yīng)關(guān)系如何？變量的變化范圍如何？

圖7 某市兩周內(nèi)的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖

從問題4和問題5學(xué)生將發(fā)現(xiàn)，對于“函數(shù)”的概念，關(guān)鍵是找到兩個變量之間的對應(yīng)法則，并且確定自變量的取值范圍，那么這個函數(shù)就定了.而對應(yīng)法則既可以是解析式，也可以是表格、圖象，甚至是語言文字.這就可以得到函數(shù)的定義了：設(shè)A,B是非空的數(shù)集, 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f, 使得對于集合A中的任意一個數(shù)x, 在集合B中都有唯一確定的數(shù)y與其對應(yīng), 那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù), 記作y=f(x),x∈A.

這樣學(xué)生通過比較分析“再創(chuàng)造”函數(shù)的概念，其過程可以通過圖8表示.

圖8

3.1.5活動五：理解辨析概念

對于函數(shù)，學(xué)生從“對應(yīng)”的角度建立了概念，然而，從函數(shù)的形式定義角度來看，有幾個問題值得學(xué)生進(jìn)一步辨析，這包括：自變量的變化——定義域，對應(yīng)關(guān)系，因變量的變化——值域及符號f的意義.這幾個問題是互相關(guān)聯(lián)的，是影響學(xué)生理解函數(shù)概念的主要因素.

首先，定義域是辨析函數(shù)內(nèi)涵因素之一.再次討論問題1和問題2，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管兩個函數(shù)的解析表達(dá)式都是一樣的：y=300x，也就是對應(yīng)關(guān)系一樣，但是兩者顯然是不同的函數(shù)，其定義域不同導(dǎo)致了函數(shù)值也不相同.這實際上讓學(xué)生理解“定義域”作為函數(shù)的基本要素之一是不可忽略的.當(dāng)然，定義域相同，對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的，這就是問題1和問題3的區(qū)別.

其次，理解對應(yīng)關(guān)系f的意義.從上面的5個問題我們看出建立函數(shù)的關(guān)鍵是數(shù)集A和B之間的對應(yīng)關(guān)系f，那么這個f到底是什么呢？為什么要引入f？y=f(x)中的是函數(shù)的解析式嗎？這些問題對于剛剛建立函數(shù)概念的學(xué)生而言是有點(diǎn)困難的.因此，可以通過“再創(chuàng)造”讓學(xué)生進(jìn)一步理解.回顧問題1到問題5，兩個變量之間建立關(guān)系是通過某個對應(yīng)法則確定的，例如問題1和2都是正比例關(guān)系，而問題3是通過表格表示出的，問題4是通過圖象給出，而問題5只能是一段文字說明兩個變量之間的關(guān)系.由此，可以引導(dǎo)學(xué)生探究這種關(guān)系可以引入f來表示，即f：x→y.這是一個歸納抽象的過程，就是由“給定集合A中的任意一個數(shù)x, 通過對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y與其對應(yīng)”得到.學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)這個f不僅僅是一個式子，也可以說表格，或者圖象，甚至是一段文字，它是多樣的.引入f可以統(tǒng)一這些對應(yīng)關(guān)系的不同形式，x和y之間的關(guān)系就是，這是一種表示的方法，此處的f也可以使用g，h等字母表示.學(xué)生通過這樣的比較發(fā)現(xiàn)y就是x通過對應(yīng)法則f得到的，也實現(xiàn)了用x，f表示出變量y，即y=f(x).[9]

最后就是對于值域和定義中的數(shù)集B的區(qū)別.這個問題可能并不是很難理解，但是“值域”卻是教學(xué)中的難點(diǎn).“與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值, 函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域”，但是函數(shù)定義中卻使用的是數(shù)集B，那么學(xué)生可能質(zhì)疑：為何不用值域代替數(shù)集B呢？顯然值域是集合B的子集，可以幫助學(xué)生思辨：從函數(shù)定義角度來看，先有數(shù)集B，還是先有值域呢？從定義看，顯然數(shù)集A和B是建立函數(shù)的先決條件，而值域是在對應(yīng)法則的作用下生成的，因此二者的關(guān)系就比較清晰了.再者，從定義“集合A中的任意一個數(shù)x, 通過對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y與其對應(yīng)”可以看出，集合B包含了值域.值域也是函數(shù)的重要組成部分，是定義域中的數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值的集合，由定義域、值域可以判斷函數(shù)的基本性質(zhì).

對于函數(shù)的概念還有其它一些問題進(jìn)行辨析，例如可以通過變式鞏固函數(shù)的定義；再例如，函數(shù)的表示方法包括哪些，有沒有其他的例子？等等.

3.1.6活動六：問題解決，概念運(yùn)用

概念的學(xué)習(xí)必須在應(yīng)用中得到鞏固，因此，在函數(shù)概念形成之后，運(yùn)用概念解決問題才能檢驗學(xué)生對概念的理解掌握情況.問題要從概念的本質(zhì)進(jìn)行設(shè)計，通過解決問題反饋學(xué)生的理解情況.在此，可以給出體現(xiàn)概念本質(zhì)的練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用概念解決問題，辨析函數(shù)定義的意義，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理，鞏固函數(shù)的概念，理解定義域、對應(yīng)關(guān)系的重要性，并掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)語言.

3.2 再創(chuàng)造的終極目標(biāo)：提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

對于函數(shù)的概念，不一定按照“概念形成”的方式進(jìn)行教學(xué)，也就是不從特殊的實例出發(fā)，歸納抽象出共性.也有的教材從“映射”的角度來學(xué)習(xí)函數(shù)，但是值得注意的是映射概念的獲得也是通過“概念形成”方式，然后“同化”函數(shù)概念.無論哪種方式，通過“再創(chuàng)造”可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)的概念.因為“再創(chuàng)造”是提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程.

在函數(shù)的教學(xué)中，通過六個數(shù)學(xué)活動過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”過程，體現(xiàn)并促進(jìn)學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在活動一和二中從現(xiàn)實的問題1和2，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，得到了變量，通過直觀想象，建立了比例關(guān)系，運(yùn)用初步的函數(shù)思想，構(gòu)建了簡單的數(shù)學(xué)模型.在這個數(shù)學(xué)活動中，數(shù)學(xué)抽象發(fā)揮了重要作用，學(xué)生將具體的問題表征為變量關(guān)系，從而為研究函數(shù)做好準(zhǔn)備.在第三個活動中，學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象，把變量的依賴關(guān)系轉(zhuǎn)化為“對應(yīng)關(guān)系”.這個活動中，學(xué)生要把文字語言轉(zhuǎn)換為圖表語言，讓學(xué)生理解“對應(yīng)”的概念，那么學(xué)生進(jìn)行的思維活動是豐富而復(fù)雜的，既要有代數(shù)式的運(yùn)算、數(shù)據(jù)的比較、觀察，又要有邏輯推理的運(yùn)演，而且還要直觀想象新的“關(guān)系”——對應(yīng).

4 總結(jié)與建議

函數(shù)概念的教學(xué)是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理念，進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)的再創(chuàng)造是有意義的嘗試；從實際教學(xué)效果分析，這樣的“嘗試”是有效果的，學(xué)生的參與度增加，能夠?qū)ΜF(xiàn)實問題進(jìn)行創(chuàng)造性的分析研究，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、運(yùn)算和建模的核心素養(yǎng).當(dāng)然，這樣的教學(xué)改革也存在著一些問題，例如，不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生參與的積極性，數(shù)學(xué)問題的背景影響，課堂的容量和學(xué)生的理解之間的矛盾……

4.1 函數(shù)概念教學(xué)“再創(chuàng)造”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要貫穿于教學(xué)活動的全過程，函數(shù)概念教學(xué)的“再創(chuàng)造”不僅重視數(shù)學(xué)的教學(xué)，而且重視學(xué)生的學(xué)習(xí)，努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.教學(xué)中的6個函數(shù)概念再創(chuàng)造的活動設(shè)計，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、運(yùn)算和建模等素養(yǎng)的綜合發(fā)展.在函數(shù)概念教學(xué)的再創(chuàng)造的過程中，學(xué)生基于原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，敢于質(zhì)疑，認(rèn)真反思，理解函數(shù)概念的內(nèi)涵本質(zhì)，逐步完善了函數(shù)概念，并且發(fā)展了數(shù)學(xué)思維的深刻性、廣泛性、靈活性；在情感、態(tài)度和價值觀方面，積極參與課堂、動手操作、自主探索，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面得到全面提升.

4.2 再創(chuàng)造中的數(shù)學(xué)活動在函數(shù)概念學(xué)習(xí)中的作用

合理的教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題可以激發(fā)學(xué)生的思考與交流，有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.在函數(shù)概念教學(xué)的再創(chuàng)造中，我們設(shè)置了5個數(shù)學(xué)問題，這些問題包括生活中的現(xiàn)實問題、環(huán)境問題以及抽象的數(shù)學(xué)問題，它們是多樣的、多層次的，從不同的角度反映了函數(shù)的本質(zhì).與此相應(yīng)的，設(shè)置了6個數(shù)學(xué)活動，這些活動結(jié)合教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生用函數(shù)的思想方法觀察問題、解決問題，并學(xué)會使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題.通過6個數(shù)學(xué)活動，學(xué)生從已有的函數(shù)前概念，進(jìn)一步抽象、運(yùn)算、建模，形成新的函數(shù)概念，這就不斷發(fā)展了他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

4.3 函數(shù)概念教學(xué)“再創(chuàng)造”是要回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，就是要學(xué)生理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.所謂數(shù)學(xué)本質(zhì)，張奠宙先生認(rèn)為主要是：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉，數(shù)學(xué)理性精神的體驗.[11]因此，概念教學(xué)體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)就是要揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的形成過程，掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”再創(chuàng)造的過程.正如上面函數(shù)的概念，其本質(zhì)是數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，是一類特殊的“映射”，那么學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)必須理解“對應(yīng)”的概念，與此緊密相連的還有集合、定義域、值域等，而其重要的思想就是“對應(yīng)思想”，“函數(shù)思想”是建立在此基礎(chǔ)上的，通過解決相關(guān)的問題，讓學(xué)生建立函數(shù)概念，理解對應(yīng)思想.通過函數(shù)概念教學(xué)“再創(chuàng)造”，幫助學(xué)生理解了函數(shù)的本質(zhì)特征，掌握了函數(shù)思想和方法，這必然會提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).