從“一題多解”審思解題教學的思維培養(yǎng)①

程 華

(咸陽師范學院數(shù)學與信息科學學院 712000)

2018年1月《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》頒布,提出數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學核心素養(yǎng),隨即,核心素養(yǎng)如何落地實施受到教育界的普遍關(guān)注.當前,通過積累數(shù)學思維的經(jīng)驗,提升學生思維能力,有助于形成核心素養(yǎng),成為較為一致的共識[1].項目組對咸陽市九所中學的調(diào)查顯示,中學教師普遍地將思維的培養(yǎng)作為落實核心素養(yǎng)的舉措.問題是思維的載體,數(shù)學解題需要涉及多個核心素養(yǎng),解題教學歷來是提高思維能力的重要途徑.其中,“一題多解”教學由于能夠反映出解題教學的一些普遍性現(xiàn)象,又對培養(yǎng)學生的思維效果顯著,因此,通過“一題多解”來審思解題教學中思維培養(yǎng)的問題,為什么有的課堂解法紛呈,不久就被學生遺忘?為什么有的學生能夠“一題多解”,有的卻思路單一?如何更好地提升學生的思維品質(zhì)?基于思維培養(yǎng)的解題教學對我們教師提出哪些要求?等等.

1 “一題多解”教學問題的分析

“一題多解”是從不同角度分析問題,根據(jù)所給信息,應用已有的數(shù)學知識、經(jīng)驗,通過觀察、推測和想象,沿著不同方向思考、重組已有信息,獲得多種解法的過程.解題教學并不僅僅是研究解法、講授解法的教學,雖然一些一線教師對“一題多解”的研究已經(jīng)相當深入,然而調(diào)查反映出,在思維培養(yǎng)的層面上,普通教師的教學還存在著問題,有的也是解題教學的共性問題.

1.1 對解題思維的形成過程揭示不足,羅列解法,忽視對解法之間聯(lián)系的分析

一些教師無暇或者不善于揭示解題思維的形成過程,過于追求解法的數(shù)量,羅列解法,削弱了學生對通解、通法的掌握.特別是,解法之間的聯(lián)系常常被忽略,對解法的本質(zhì)揭示不夠充分,影響了學生思維的深刻性.以下用一個簡單例子來說明.

1.2 面對不同思維層次和類型學生的認知差異,因材施教的措施不足

有時課堂反應很熱烈,但是課后能掌握多種解法的學生卻不多,教師感嘆“學生沒有看起來聰明！”事實上,由于同一班級學生思維發(fā)展并不均衡,認知也存在不同偏好.當解法列舉過多時,活躍的反應往往出自思維敏捷的學生.他們與教師思維互動積極,而普通學生可能還沒理清頭緒,就表現(xiàn)為認真聽講和記筆記.一些思維難度大的解法,普通學生可能只停留在欣賞,不能實質(zhì)性地思維參與.思維敏捷的學生常常掩蓋了普通學生實際的接受能力.同時,為了照顧思維敏捷性、靈活性低的學生,一些教師又“啟發(fā)”過度.引導問題過于精細,限制了思維空間,使學生思維鍛煉不夠.

“順學而教”“以學定教”其實還沒能真正落實,教師在鼓勵學生個性化思維的同時,面對不同思維層次、類型的學生,如何深度參與思考,還欠缺有效的因材施教措施.

1.3 對學生觀察方法的引導不足,對數(shù)學語言轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)突出不夠

有的學生能夠“一題多解”,有的卻思路單一.學生的思維靈活發(fā)散程度,決定了解法的多少,原因雖然復雜,但是與學生數(shù)學觀察能力的強弱,知識模塊的豐富程度,進而導致的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換能力的高低有直接關(guān)系.但是,在當前過快的課堂節(jié)奏下,教師難以耐心引導學生觀察,等待他們找到適宜的語言轉(zhuǎn)換方式,影響了學生思維發(fā)散性、靈活性的提高.

觀察是學生解題思路的源頭,解法來自對問題的觀察、表征,進而分析、解決.“多解”需要能找到多個觀察角度,引發(fā)多方面的聯(lián)想,要基于對數(shù)學對象意義的豐富認識的.數(shù)學對象是以數(shù)學語言表述的,一般認為,如果按照數(shù)學語言的外在表征,分為符合語言、圖形語言、文字語言等形式;如果按照數(shù)學語言所屬的數(shù)學分支,又可分為代數(shù)語言、幾何語言、三角語言、復數(shù)語言等形式[2].同一種數(shù)學語義可以用不同的數(shù)學語言形式表示,不同的數(shù)學語義解釋,提供不同的思維方向,這才為不同的化歸提供了可能,即通常所說的“化歸的語義轉(zhuǎn)換策略”.數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換,就是在不同數(shù)學語言之間所進行的翻譯.以下舉例來說明.

可見,“一題多解”往往來自對同一數(shù)學形式做出的不同語義解釋.如果學生觀察力不強,認知結(jié)構(gòu)中的知識模塊不豐富,就難以發(fā)現(xiàn)對象意義的多樣性,不能在數(shù)學語言之間靈活地轉(zhuǎn)換,則難有“一題多解”.學生思維上的“想不到”,往往與其相關(guān)的語義形式不熟悉或者不擅長有關(guān).

2 基于思維培養(yǎng)的“一題多解”教學的思考

以上這些現(xiàn)象,既與應試環(huán)境下教師難以突破“囚徒困境”無奈地適應有關(guān),也與教師的教育理念、思維能力、數(shù)學素養(yǎng)等綜合因素相關(guān),對此提出幾點建議.

2.1 基于三個維度精選解法,依據(jù)教師的解題思維設(shè)計學生的思維序列

對解題教學的思維價值,教師要有正確的認識.教師要從關(guān)注自己的解法是否被學生所理解和學會,轉(zhuǎn)為關(guān)注學生思維參與的深淺,是否經(jīng)歷了較為充足的解題思維過程的體驗,領(lǐng)悟到多少思維方法.所以,解法不可能求全,而要精選.

關(guān)于選擇解法的標準,筆者曾調(diào)查培訓教師,答案有：“對學生思維啟發(fā)性好”“教師好教”“學生好學”“優(yōu)美”“簡捷”,等等,可見,教師選擇解法有三個維度:心理學維度是大多數(shù)學生要喜歡,教育學維度是教師好教、學生好學,學科維度是要對后續(xù)學習思維價值高.其中,適合學生認知水平且思維價值高是最重要的.

教師的解題思路是教學思路的源頭.只有真正鉆研過解法的教師,才能設(shè)計出與學生的思維過程相吻合的問題,加速學生的思維進展.而解題成果到底需要呈現(xiàn)多少、如何呈現(xiàn),必須真正掌握和依據(jù)大多數(shù)學生的認知水平,否則,就會出現(xiàn)課堂熱鬧,課后遺忘的現(xiàn)象.

2.2 合理組合和突出不同教學方式的優(yōu)勢,適應不同學生的思維差異

教師需要探索講授、合作、探究等不同教法對不同思維類型學生的作用,合理組合以適應學生的思維差異.其實教法本身并不存在先進與落后之分,只有適宜與否的區(qū)別.教育心理學研究表明,不同的認知方式具有不同的信息加工偏好,會影響學生的學習方式.比如,“場獨立”型學生更適合自主學習;“場依存”型學生需要有結(jié)構(gòu)嚴謹?shù)慕虒W指導;“沖動型”認知方式思維敏捷,會用自己最先想到的答案,不注意細節(jié),但能迅速抓住整體;“沉思型”認知方式謹慎細致,認知時間較長,但錯誤較少[3].合作學習有利于發(fā)揮“場獨立”型學生的優(yōu)勢,但是要防止其成為話霸,使“場依存”型學生被邊緣化;講授法能突出系統(tǒng)性、邏輯性,但是要防止限制學生思維的廣度,等等.教師可以摸索不同教法與不同思維類型的匹配性.

教師還要對不同教法如何引導思維,提高思維效率的研究細化.比如,“講授法”中“講什么”“何處講”“怎么講”,以及它們關(guān)系的問題.筆者認為,教師講的比例要隨學生思維力的增強而遞減.“一題多解”教學中的“講”,核心是凸顯思考的方法.具體地,一是要以“講”發(fā)揮組織和引導的作用,用高階思維問題讓學生發(fā)現(xiàn)方法、選擇方法和尋找方法的聯(lián)系.譬如,你的解法關(guān)鍵是什么?遇到哪些困難?如何解決?每種解法好在哪里?哪種解法更一般性?解法之間是否存在聯(lián)系?這些解法都體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想方法?等等.二是通過“講”提煉如何想到和尋找解法的,使學生能與教師的思維作對比.三是解題總結(jié)中用“講”串聯(lián)解法的條件、優(yōu)缺點、解法的本質(zhì),使散碎的解題知識結(jié)構(gòu)化.四是講出不同解法背后的思維差異,把差異也包括解法中的錯誤,轉(zhuǎn)化為教學資源.要用“講”,把學生的思維引向深刻.舉一個例子說明.

案例3已知實數(shù)x1,x2,y1,y2滿足

圖1

思維要分享就需要思維顯化,由學生先講尋找思路的體會,整理思維,而教師的“講”進一步梳理學生(或自己)是如何理解、思考問題的,講出思維的異與同,思維逐步清晰.兩個思路的本質(zhì)都是化歸方法和數(shù)形結(jié)合,把代數(shù)條件翻譯為圖形,直觀推理.直覺的觸發(fā)點都由平方結(jié)構(gòu)關(guān)系引起的.差異在于,思路1由平方的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到單位圓,目標翻譯為單位圓上A,B兩點到定直線的距離和,利用梯形中位線定理,直觀簡明,運算量小.思路2則是將平方關(guān)系轉(zhuǎn)譯為圓的參數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為三角進行化簡,利用三角知識去解決最值.用“講”引導學生從學習解法,上升到學習思維策略.這對教師的數(shù)學功底、思維能力以及對學生的了解度要求很高.

2.3 用討論與追問促使學生思維深入,提高思維的批判性,形成思維互助的氛圍

“一題多解”解法的多樣化給予學生更多的探索、創(chuàng)造和分享的機會,要鼓勵學生敢于試錯,并學習化解錯誤.研究如何用討論與追問促進學生深入思考,培養(yǎng)批判思維,也養(yǎng)成互助的習慣.以下結(jié)合案例來說明.

有的學生解得a10:b10=S19:T19=77:62.

又有學生獲得另一解法:

令Sn=k(4n+1),Tn=k(3n+5),

則a10=S10-S9=4k,b10=T10-T9=3k,

所以a10:b10=4:3.

所以,獲得解法并不是解題教學唯一的目的.讓學生獨立判斷,從錯誤中析取合理的部分,獲得信心;讓學生參與錯誤的發(fā)現(xiàn),也經(jīng)歷修正錯誤、思維互助和尋找正確解法的過程,培養(yǎng)邏輯思維能力,也收獲如何從失敗到成功的經(jīng)驗.一般地,教師可以用:“他說的對嗎?為什么?”“你的方法與他的方法有什么不同?”等追問,學生學表達，學傾聽,學優(yōu)化，也學認同,學習欣賞他人的優(yōu)秀.

2.4 加強觀察方法的學習,豐富知識模塊,增強數(shù)學語言轉(zhuǎn)化的能力

觀察能力與知識面是相輔相成的,認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識模塊越豐富,觀察觸發(fā)點就越多,語義轉(zhuǎn)化也會越豐富.

3 結(jié)束語

解題教學實質(zhì)上是學生思維活動的教學,從這個意義上講，“一題多解”其實只是思維教學的一種情境.教師要從教做題到教思維,這其中,教師思維的深刻程度是核心.教師是否善于抓住問題的本質(zhì),找到解題的規(guī)律,邏輯清晰而準確地概括和表達,決定了他能否幫助學生認識到問題的本質(zhì)、解法的本質(zhì),經(jīng)歷完整的數(shù)學思考,才能夠提高學生的思維能力,發(fā)展核心素養(yǎng).羅增儒教授曾說:“數(shù)學家創(chuàng)造了知識,而教師創(chuàng)造的是對知識的理解”,這種創(chuàng)造,需要基于我們對自己教學思維活動的不斷地反思.