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    從課本中汲取解題營養(yǎng)

    2020-09-24 07:23:46
    數(shù)學(xué)通報 2020年8期
    關(guān)鍵詞:蘇教版例題課本

    張 俊

    (江蘇省興化市第一中學(xué) 225700)

    由于高考最終以試題的形式出現(xiàn),因而在高三復(fù)習(xí)中,很多教師往往把提高學(xué)生的解題能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的中心任務(wù).這本無可厚非,但筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn),不少老師往往拋開課本,或圍繞一本復(fù)習(xí)資料,或圍繞備課組自編的講義組織復(fù)習(xí),講練題目.在與不少老師的交流中,筆者了解到下面的想法頗為流行:教材只是講授知識的載體,對指導(dǎo)怎樣解題作用不大.事實(shí)上,勿論知識傳授與解題本身并不割裂,即便單純地從指導(dǎo)解題出發(fā),教材中同樣蘊(yùn)含著豐富的解題營養(yǎng).只要深入地研究課本,就能汲取課本中富含的養(yǎng)分,提高解題技能,充分發(fā)揮其應(yīng)有的價值.

    限于篇幅,本文所舉案例皆來源于蘇教版必修4、必修5中“三角恒等變換”、“解三角形”兩個章節(jié).

    1 擴(kuò)大課本中例習(xí)題的應(yīng)用范圍

    課本中除了必須掌握的定理、公式、法則外,還有很多的例題、習(xí)題.它們散落在課本中,其中不少題目的結(jié)論或簡潔深刻,或內(nèi)涵豐富,是經(jīng)典命題.由于各種原因所限,它們只能以例習(xí)題的形式屈居在課本中.比如向量的定比分點(diǎn)公式、三角形內(nèi)外角平分線定理、海倫公式等,它們本身都是著名的結(jié)果,熟知它們,解題時猶如多了克敵制勝的法寶,對跨越思維障礙,迅速解決問題幫助很大.

    案例1蘇教版(必修4)中有一道習(xí)題:求證:sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β.

    這道題形式簡潔,結(jié)構(gòu)整齊,與平方差公式交相輝映,極富美感,不僅便于記憶,而且應(yīng)用方便,我們不妨稱之為“正弦平方差公式”.

    題1(2017屆南通揚(yáng)州泰州二模):在△ABC中,已知AB=2,AC2-BC2=6,則tanC的最大值是.

    題2(2019屆無錫高三零模:)在銳角ABC中,已知2sin2A+sin2B=2sin2C,則

    類似于正弦平方差公式這般的經(jīng)典結(jié)論課本中俯拾皆是,我們切忌不加選擇地強(qiáng)行推銷給學(xué)生.只有那些便于記憶便于運(yùn)用的我們才可擇其精者教給學(xué)生,而且還要注意時機(jī)和學(xué)生水平,否則不僅未曾變成學(xué)生降服難題的倚天劍,反而徒增他們的負(fù)擔(dān)而已.

    2 發(fā)揮課本中例習(xí)題的題根功能

    雅諾夫斯卡婭有句名言:“解題就是把題目化歸為已經(jīng)解過的題”.課本中的很多題目歷經(jīng)歲月的錘煉,發(fā)展空間大,變化方向多,是很多試題的題根.一方面,解題時我們可以通過聯(lián)想、構(gòu)造、連續(xù)轉(zhuǎn)化等手段將其化生為熟,另一方面,我們面對課本題時要在領(lǐng)悟本質(zhì)的基礎(chǔ)上,主動變式, 從而獲得對問題的全方位認(rèn)識.

    此題是2019年高考江蘇卷中的一道把關(guān)題,有一定難度.事實(shí)上,它是蘇教版(必修4)中一道例題的改編,即,

    所以sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

    題5(蘇教版(必修5)例題):在△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,試判斷該三角形的形狀.

    3 善用公式定理證明中的變形手段

    課本中的很多公式、定理本身就是解題教學(xué)的良好范例,其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)解題方法、技能、策略等.教學(xué)中我們要將它們充分地挖掘并展示出來,杜絕那種拋售結(jié)論后就匆忙應(yīng)用的功利性教學(xué)方式.還要注意是,一定要讓學(xué)生全程參與,仔細(xì)體會,認(rèn)真消化,并嘗試將它們應(yīng)用到解題實(shí)踐中.

    題6(2016年高考江蘇卷第14題):在銳角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是.

    有趣的是,題6可看作案例2中題5的變式,這樣我們就看到了這些形式各異的問題之間的聯(lián)系,揭示了它們的本質(zhì),類似的問題隨手可編,比如:

    題7:在銳角三角形ABC中,cosA=2cosBcosC,求tanAtanBtanC的最小值.

    題8:在△ABC中,已知BC2+4AC2=AB2,求tanA+2tanB+3tanC的最小值.

    4 領(lǐng)悟公式定理證明中的思想方法

    作為傳遞數(shù)學(xué)知識的載體,課本中孕育著豐富的思想方法.除了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、化歸轉(zhuǎn)化等耳熟能詳?shù)乃枷敕椒ㄍ猓覀冞€要善于提取一些隱藏于所學(xué)習(xí)知識和例題習(xí)題中,對解題有直接幫助的的思想方法.它們以內(nèi)隱的形式躲在幕后,卻往往是解決問題的關(guān)鍵.比如對數(shù)公式證明中的取對數(shù)方法;等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)中的累加法、疊乘法,再如課本中散落著很多的題、定理和公式,它們的形式或結(jié)構(gòu)或解決方法無不指向一個共同的本質(zhì):齊次,而化非齊次式為齊次式是解決很多問題的一種重要策略.這些閃爍著智慧光芒的東西,躲在知識定理公式題目的背后,熠熠生輝.它們是高級的解題武器.但需要我們沉入教材才能找到它們,并將之用于解題實(shí)踐.

    案例4題9(2018年高考江蘇卷第13題):在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

    相距十年,同一位置(第13題),同以三角形為背景,基于同一思想,我們給出了它們優(yōu)雅的解答,也許這就是冥冥之中的巧合吧!

    圖1

    =2mRcos∠ADB=2mRcosC,

    故m=sinA=sinθ.

    課本為什么要在“三角函數(shù)”與“三角恒等變換”這兩個三角章節(jié)之間插入“平面向量”一章呢?顯然是想凸顯向量的工具性作用,我們要深刻體會這一點(diǎn),對于可用向量處理的內(nèi)容,在教學(xué)時千萬不能輕易滑過,要舍得花力氣,盡量突出向量方法的優(yōu)越性.

    代入數(shù)據(jù)即可算得答案,一道難題談笑間灰飛煙滅.

    兩邊平方實(shí)現(xiàn)向量等式數(shù)量化的方法也可以用于題11的解決,限于篇幅,不在贅述.經(jīng)歷了前面兩道題目的解決過程,我們對課本正弦定理證明處的一段旁白也許會有更深的理解,這段話是:向量的數(shù)量積是將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式的常用工具.

    圖2

    據(jù)此求得m+n=3.

    解題是教師普遍關(guān)心的話題,怎樣學(xué)習(xí)解題,我們往往求助于各種所謂的解題寶典、秘笈,卻忽視向課本學(xué)習(xí),從中汲取解題營養(yǎng).對課本的研究越深,越覺其包羅萬象,博大精深.作為教學(xué)的首席資料,課本不僅是我們教知識的載體,同樣也能教我們怎樣去解題.誠愿我們每位數(shù)學(xué)老師讀好課本,學(xué)好課本,用好課本,充分發(fā)揮其應(yīng)有的價值.正是:解題寶典何處尋?教材博大孕乾坤.外接古今群賢智,內(nèi)含數(shù)學(xué)思想魂.千招萬式源不盡,妙法巧思趨無窮.恰如方程求善解,朝研暮究道方通.

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