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    關(guān)于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計思考①

    2020-09-24 07:23:24孫居國
    數(shù)學(xué)通報 2020年8期
    關(guān)鍵詞:共線定理平面

    孫居國

    (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)

    高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課與習(xí)題課是兩個不同的概念,主要表現(xiàn)在復(fù)習(xí)課是與具體數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的,例“函數(shù)單調(diào)性”復(fù)習(xí)課,“數(shù)列通項”復(fù)習(xí)課,是通過講解習(xí)題為載體,達(dá)到鞏固知識方法,發(fā)展能力的目的,而習(xí)題課則是以講授解題方法為主要目標(biāo),通常不受具體內(nèi)容的約束,主要用于考前集中訓(xùn)練,專家講座等.因此,高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課,應(yīng)根據(jù)具體特點,進(jìn)行整體設(shè)計,分步完成,從而提高課堂效率.

    當(dāng)前的高三復(fù)習(xí)課主要是以精講多練為主,師生都有比較成熟的教輔資料,課堂教學(xué)基本環(huán)節(jié)包括:回憶知識要點、分析例題、反饋練習(xí)、鞏固提高等環(huán)節(jié).但由于教輔資料的編寫者與授課者往往不是同一個人;還有例題通常按題型分類,選題還是由易到難,由簡單到復(fù)雜的自然分類方法;如果按部就班按講義資料的順序講解問題,則針對性不強,教學(xué)的整體目標(biāo)還不明確,每一個題目承載的目標(biāo)功能不能充分的發(fā)掘.

    下文結(jié)合“平面向量基本定理”復(fù)習(xí)課,對如何處理好課堂中的題目、方法、知識、能力等方面的關(guān)系,談?wù)劯呷龜?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的一些想法.

    1 題目服務(wù)主題

    高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是將高中所學(xué)的所有數(shù)學(xué)內(nèi)容,按計劃、分階段的分配到每一個具體的課時中,也就是說,每一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課都有具體的復(fù)習(xí)內(nèi)容和任務(wù). 這一具體的復(fù)習(xí)內(nèi)容和任務(wù)就是我們每節(jié)課的主題,因此,每一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要緊扣主題. 現(xiàn)在有的課堂是在課前將主題內(nèi)容羅列一遍,提醒注意要點,然后開始講解習(xí)題,還有的課堂就直接給出課題,然后解決習(xí)題,給人的感受就是主題服務(wù)題目,學(xué)生將題目解決了,就順利完成了學(xué)習(xí)任務(wù). 還有在課堂一開始,將主題內(nèi)容羅列一遍,提醒注意要點,就是將解題思路告知學(xué)生,特別是好學(xué)生失去了嘗試回憶自主探究的機會.

    為了做到提高復(fù)習(xí)效率,可以以題目為載體,在解題目的過程中回憶知識,探究方法,使得主題清晰明確.

    應(yīng)說清楚為什么就可以得出λ,μ的值.突出平面向量的基本定理是什么?

    學(xué)生解答解析:

    教師追問1:這個題目用到了平面向量中的什么知識?

    學(xué)生回答:平面向量基本定理.

    教師給出平面向量基本定理的內(nèi)容:

    如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

    其實這一過程中,由于是填空題,絕大部分學(xué)生都能得到答案,問題解決了,也給出了平面向量基本定理的內(nèi)容.其實在這一過程中,“題目服務(wù)主題”的還不夠,深化概念知識,提升能力的機會還是“滑過”了.

    “題目服務(wù)主題”的方法,就是教師不要輕易把學(xué)生的解法視為必然,而是要追問“你是怎么想到的?你為什么這樣想?”這是數(shù)學(xué)理性精神最自然的體現(xiàn).

    S:根據(jù)平面向量基本定理.

    T:什么是平面向量基本定理?

    S:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

    在這一對話交流中,將學(xué)生的模糊知識得到清楚.讓學(xué)生明確通過這一問題的解決,學(xué)生認(rèn)識到今天學(xué)習(xí)的主題——平面向量基本定理.

    因此,題目服務(wù)概念、知識和方法;題目是無限的,做不完的,概念、知識和方法是有限的. 通過有限的題目達(dá)到鞏固概念、知識和方法的目標(biāo),通過有限的概念、知識和方法解決無限的題目. 同時,教師在選擇問題時,要明確題目承載的知識.

    問題的設(shè)計立足于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定義、定理、公理、公式、法則等基礎(chǔ)知識和基本技能,要求學(xué)生解答時對需要的知識內(nèi)容進(jìn)行再現(xiàn)和確義.這類問題的價值主要表現(xiàn)為兩個方面,一個是原有知識再一次強化,使學(xué)生在原來認(rèn)識的基礎(chǔ)上再加深認(rèn)識,從而進(jìn)一步鞏固,另一個價值是為本節(jié)課較高要求內(nèi)容作準(zhǔn)備,在原有的基礎(chǔ)上認(rèn)識得更清晰、更完整、更深刻.

    2 現(xiàn)象服務(wù)本質(zhì)

    在一節(jié)數(shù)學(xué)課上,不同的問題承載的功能不一樣,要達(dá)成的目標(biāo)也不一樣. 如果問題1是為了服務(wù)于主題,把今天所要學(xué)的知識內(nèi)容在原來學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,重新整理一遍,那么接下來通常是利用知識解決問題.

    由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了高中數(shù)學(xué)所有內(nèi)容,不同的學(xué)生有不同的思維風(fēng)格和習(xí)慣,因此,面對同一問題在同一個班上會出來不同的想法和做法.例如看下面問題.

    解法1:如圖,過M點作AN的平行線交AC于D點,

    由平行線比例性質(zhì)可知

    CD∶DN∶NA=1∶1∶4,

    故PN∶MD∶BN=4∶5∶10,AP∶AM=4∶5,

    解法2:連接PC,設(shè)△BPM面積為x,△PCN面積為y,

    點M是BC的中點,AN=2NC,

    所以△APN面積為2y,△BPA面積為3y,

    =0,

    又因為e1與e2不共線,

    且B,P,N三點共線.

    且A,P,M三點共線.

    還有同學(xué)提出建立坐標(biāo)系,用解析法解決問題.以上是師生共同探討,得出的解決此題的一些方法.

    如果此問題到此結(jié)束了,教師只是給出了問題,并羅列了一下解題方法,這只是停留在方法的層面上,還沒觸及本課的本質(zhì)——向量解法的優(yōu)勢,對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提高不大,達(dá)不到較好的復(fù)習(xí)效果.

    由于此問題比較特殊,中點、二比一關(guān)系,幾何意義比較明顯,用向量方法并沒有體現(xiàn)出優(yōu)越性,但是說明了同一數(shù)學(xué)對象可以用不同方向去解決.通過問題,為學(xué)生提供所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與已有的經(jīng)驗建立內(nèi)部的聯(lián)系的實踐機會.

    在學(xué)生對這些問題進(jìn)行充分的感知后,再進(jìn)行抽象概括,使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建立起內(nèi)在聯(lián)系,成為一個有機的知識整體,達(dá)到對數(shù)學(xué)理論的理性認(rèn)識.使數(shù)學(xué)思維能力得到深化.

    為此,將問題2中的BM=CM,AN=2NC改為BM=xCM,AN=yNC,由于用幾何方法過分依賴圖形的直觀性,而一般化以后,比較難以得出結(jié)果,此時用向量方法解決,則會體現(xiàn)平面向量基本定理的必要性和優(yōu)越性.

    解法如下:因為BM=xCM,AN=yNC,

    因為B,P,N三點共線,

    通過這一比較分析,體現(xiàn)向量基本定理解決問題的一般性和普適性.在比較、聯(lián)系、辨析中獲得基本方法和經(jīng)驗.更能體現(xiàn)向量基本定理的本質(zhì).

    3 目標(biāo)服務(wù)能力

    在問題1、2解決的基礎(chǔ)上,學(xué)生獲得了知識、方法,這都是學(xué)生用來解決問題的工具,本課基本上完成了教學(xué)目標(biāo)任務(wù),對于學(xué)生而言是重要的. 但教會學(xué)生獨立解決問題的能力則更重要. 當(dāng)能力達(dá)到了一定的程度,學(xué)習(xí)新知識,解決新問題相對就容易了.

    有的教師認(rèn)為,提高學(xué)生的能力,就是講難題,做難題,這種認(rèn)識是不全面的.為了提高學(xué)生的能力,選擇問題應(yīng)能反映數(shù)學(xué)的本質(zhì),與本節(jié)課的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān),具有發(fā)展性,表述形式簡潔,流暢且好懂,能給學(xué)生提供比較分析、抽象概括的機會.

    =-1,

    =AD2-DC2=9FD2-DC2

    =4,

    解法3:坐標(biāo)法

    設(shè)D(0,0),B(-a,0),C(a,0),F(x,y),E(2x,2y),A(3x,3y),

    通過問題3,你對利用平面基本定理解決數(shù)學(xué)問題有什么新的感悟?

    利用平面向量基本定理,選擇恰當(dāng)?shù)幕资歉玫慕鉀Q問題的關(guān)鍵.到此為止,順利地完成了教學(xué)目標(biāo).但在目標(biāo)中,為了更加突出能力目標(biāo)的重要性,在完成目標(biāo)后,進(jìn)行反思,給學(xué)生提供比較分析、抽象概括的機會,體現(xiàn)目標(biāo)服務(wù)能力.

    反思這個環(huán)節(jié)是對本節(jié)課的過程進(jìn)行整理,對其中涉及的基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié),對不同解題思路進(jìn)行比較,并思考優(yōu)化、改進(jìn)解題過程,所以是學(xué)習(xí)過程中的一個再概括環(huán)節(jié).由于是在已有實踐基礎(chǔ)上進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動,因此學(xué)生對問題所涉及的知識、思想和方法的體驗、領(lǐng)悟會更加深刻.從感性到理性、從具體到抽象、從模糊到清晰逐漸過渡的過程,逐漸走向深入.讓學(xué)生感受到完成任務(wù)的滿足感,戰(zhàn)勝困難的喜悅感,引起繼續(xù)解決數(shù)學(xué)問題研究數(shù)學(xué)問題的熱情.

    通過本課3個問題的解決,追問學(xué)生是怎么想到的.提煉出用平面向量基本定理解決問題的方法步驟.

    通常有三種方法解決向量問題,即:根據(jù)幾何意義;選擇基底運算;建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算,其中坐標(biāo)法是選擇單位正交向量為基底.

    解決問題的步驟:

    選擇基底,線性表示,化簡運算,獲得結(jié)果.

    將問題解決方法提升到一般化的層面,這些都是推理論證,抽象概括等能力培養(yǎng)和指導(dǎo)思維的方式,讓學(xué)生學(xué)會思考,從而極大的提高學(xué)生的解題水平和數(shù)學(xué)能力.

    當(dāng)然,高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,一節(jié)課要完成各方面的功能不大可能,但是作為教師,對于每一個選題都要有所思考,至少在某一方面要達(dá)到其應(yīng)有的價值,努力做到服務(wù)主題、服務(wù)本質(zhì)、服務(wù)能力.

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