數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)部支持系統(tǒng)的構(gòu)建①

孫朝仁

(江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004)

教學(xué)支持系統(tǒng)就是把學(xué)習(xí)對(duì)象及其相關(guān)要素作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系、相互作用，綜合考察學(xué)習(xí)對(duì)象的一種教學(xué)方法．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)部教學(xué)支持系統(tǒng)，主要包括概念發(fā)生系統(tǒng)、思維還原系統(tǒng)、經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)系統(tǒng)，主要涉及數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系維度、系統(tǒng)關(guān)聯(lián)維度和經(jīng)驗(yàn)增值維度．這些維度要素的相互作用與相互聯(lián)系，有助于學(xué)生學(xué)深、學(xué)透、學(xué)好數(shù)學(xué)．

本文主要在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”系統(tǒng)思維的參與下，建構(gòu)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)部教學(xué)支持系統(tǒng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)轉(zhuǎn)型和做好實(shí)驗(yàn)教學(xué)．

1 構(gòu)建概念發(fā)生支持系統(tǒng)，突出“學(xué)”與“思”的交互作用

概念是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“基石”，經(jīng)歷概念的發(fā)生過(guò)程是學(xué)生習(xí)得概念繞不開(kāi)的思維路徑．任何概念的發(fā)生都需要支持條件，包括外部關(guān)系維度(實(shí)驗(yàn)環(huán)境的支持與互動(dòng)、實(shí)驗(yàn)工具的選擇與匹配、學(xué)習(xí)心理過(guò)程的調(diào)適與穩(wěn)態(tài)等，另文已有研究，這里不再贅述)和內(nèi)部關(guān)系維度．從內(nèi)部關(guān)系維度來(lái)看，支持概念發(fā)生的條件包括先行組織、分布式認(rèn)知策略的支持與適切、學(xué)生的“學(xué)”與“思”，及其系統(tǒng)思維的內(nèi)部交互作用．比如，實(shí)驗(yàn)教學(xué)中通過(guò)引入變量，用變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系描述事物的變化過(guò)程，研究事物的變化規(guī)律，是“用函數(shù)模型”定量研究事物變化規(guī)律的精要所在，也是從內(nèi)部支持函數(shù)概念發(fā)生的一個(gè)經(jīng)典樣例．具體來(lái)說(shuō)，研究二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，需要基于“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”的圖像畫(huà)法及其性質(zhì)的獲得過(guò)程作為認(rèn)知支持條件，這就是從內(nèi)部關(guān)系描述概念的發(fā)生過(guò)程，使得學(xué)生新舊知識(shí)自然銜接．換句話說(shuō)，經(jīng)歷概念的發(fā)生過(guò)程，主要是經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的抽象過(guò)程、參與完整的抽象活動(dòng)——感知與識(shí)別、分類(lèi)與概括、想象與構(gòu)建、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化．

圖1

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為概念抽象的行為載體，在促進(jìn)概念發(fā)生的同時(shí)，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象水平，同時(shí)也有助于發(fā)展學(xué)生的思考能力．學(xué)與思是“做好”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的精髓，是“教好”數(shù)學(xué)思考的內(nèi)部支持條件．在蘇霍姆林斯基看來(lái)，“要培養(yǎng)自己孩子的智力，那你就得教給他思考．”由此可見(jiàn)，思考是概念習(xí)得的關(guān)鍵與根本，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)所在，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確指出，“數(shù)學(xué)思考就是讓學(xué)生在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)“做”與“思考”積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展獨(dú)立思考、體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和基本思維方式.”為此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在概念發(fā)生維度，需要提供以下三個(gè)方面的內(nèi)部支持條件，方能讓學(xué)生在學(xué)與思中獲得概念、在學(xué)與思的交互作用中獲得概念的保持與遷移能力．一是用好先行組織，降低概念發(fā)生起點(diǎn)；二是采用分布式認(rèn)知策略，經(jīng)歷概念發(fā)生的抽象過(guò)程；三是“做、學(xué)、思”互動(dòng)交往與結(jié)合，促進(jìn)概念的獲得、保持與遷移水平．

不妨以“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的概念發(fā)生的教學(xué)為例，從內(nèi)部關(guān)系維度說(shuō)明概念發(fā)生的支持條件，突出學(xué)與思的交互作用過(guò)程，具體設(shè)問(wèn)過(guò)程如下：首先，直奔主題設(shè)問(wèn)．即我們學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？我們是從哪些方面研究的？二次函數(shù)的一般形式是什么？(y=ax2+bx+c．其中，a≠0，且為a、b、c為常數(shù))下面我們?cè)撗芯渴裁?？如何研究？從哪一種函數(shù)形式入手？(y=ax2．其中，a為常數(shù)，且a≠0)；其次，讓學(xué)生觀察二次函數(shù)表達(dá)式，并猜想描述它的圖像有什么特征？(學(xué)生回答：關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；y的最小值為0；從左向右，圖像“先降后升”；無(wú)最大值)；再次，讓學(xué)生畫(huà)出函數(shù)y=x2的圖像．(1)如何給自變量取值更合理？從表格數(shù)據(jù)分析來(lái)看，你能描述二次函數(shù)圖像的特征嗎？(因?yàn)楫?dāng)x=±1時(shí)，y=1，所以由點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，猜想該圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；隨著x值的增大，y的值“先減后增”)(2)畫(huà)圖像時(shí)為什么要用平滑的曲線連接而不用折線連接？(除了“折點(diǎn)”，折線上的任一點(diǎn)都不在二次函數(shù)y=x2的圖像上，所以不可以用“折線”連接)(3)觀察圖像并描述二次函數(shù)y=x2的圖像性質(zhì)．(圖像有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值；當(dāng)a>0時(shí)，圖像開(kāi)口向上；圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng))在揭示“二次函數(shù)圖像的性質(zhì)”的過(guò)程中，其中，“直奔主題設(shè)問(wèn)”及其思考是先行組織行為，為“概念發(fā)生”鋪設(shè)思維經(jīng)驗(yàn)；從解析式的角度和觀察表格數(shù)據(jù)走勢(shì)的角度，分析猜想二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是落實(shí)分布式認(rèn)知策略的表現(xiàn)形式；在畫(huà)出圖像的過(guò)程中，借助回歸觀察，描述二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，是“做學(xué)思”交互作用的基本方式，有助于學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中獲得體驗(yàn)，并將感性體驗(yàn)及時(shí)上升到理性思考的高度．這就是數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系給數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供的最好支持條件，實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)”與“做中思”的目標(biāo)．

2 構(gòu)建思維還原支持系統(tǒng)，突出“說(shuō)”與“述”的參與作用

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的不止于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，更在于系統(tǒng)關(guān)聯(lián)，突破知識(shí)接受的瓶頸，將不好理解轉(zhuǎn)化為好理解、不能解決的轉(zhuǎn)化為可解決、將“學(xué)術(shù)性”知識(shí)轉(zhuǎn)化為“教育性”內(nèi)容，讓學(xué)生在“思維還原”中獲得智慧，提高思維還原的水平．像二次函數(shù)圖像為什么用平滑的曲線連接，而不用折線連接？只有讓學(xué)生在研究分段函數(shù)的基礎(chǔ)上，才能明白“曲線”與“折線”的不同．一般來(lái)說(shuō)，大部分課堂都是“告訴式教學(xué)”(只強(qiáng)調(diào)用平滑的曲線連接，而不說(shuō)為什么)，沒(méi)有讓學(xué)生從思維還原中感知“平滑有理、折得有誤”，也就是說(shuō)沒(méi)有提供適切的實(shí)驗(yàn)教學(xué)支持條件．具體來(lái)說(shuō)，思維還原的支持條件包括舉例說(shuō)明、概念辨別、概括反思以及類(lèi)比化規(guī)等支持要素和系統(tǒng)要素的交往與互動(dòng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確指出，“教師應(yīng)該根據(jù)不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平、根據(jù)學(xué)段目標(biāo)，合理設(shè)計(jì)并組織實(shí)施綜合實(shí)踐活動(dòng)．”這是由學(xué)生問(wèn)題解決的心理水平?jīng)Q定的．一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的發(fā)展依賴(lài)于5個(gè)相互關(guān)聯(lián)的要素，即概念、技能、過(guò)程、態(tài)度和元認(rèn)知．其中，元認(rèn)知也就是對(duì)認(rèn)知對(duì)象的認(rèn)知，是指?jìng)€(gè)人對(duì)自己的思維過(guò)程的認(rèn)識(shí)與反思，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋O(jiān)控與調(diào)節(jié)，促進(jìn)思維的有序還原．像研究二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，讓學(xué)生在畫(huà)出圖像的過(guò)程中(列表、描點(diǎn)和連線)，觀察圖像的特征，在描述圖像性質(zhì)的過(guò)程中，通過(guò)元認(rèn)知監(jiān)控(為什么要用平滑的曲線連接，而不能用折線連接等)，將5個(gè)支持要素相互關(guān)聯(lián)，促進(jìn)概念抽象，這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)部支持系統(tǒng)構(gòu)建的具體表現(xiàn)．

當(dāng)然，從系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的維度看思維還原支持條件，還需要突出“說(shuō)”與“述”的參與．“說(shuō)”旨在讓概念認(rèn)識(shí)渾然天成、整體通透，“述”旨在讓概念理解邏輯清晰、思維融通，在“說(shuō)”與“述”的過(guò)程中強(qiáng)化元認(rèn)知．這里的元認(rèn)知是一種數(shù)學(xué)反思，是概念、技能、過(guò)程與態(tài)度的上位概念，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的精髓．可以說(shuō)，沒(méi)有元認(rèn)知就沒(méi)有概念系統(tǒng)及其要素的關(guān)聯(lián)，沒(méi)有元認(rèn)知就沒(méi)有思維還原．換句話說(shuō)，元認(rèn)知是思維還原的主要支持體系，是學(xué)生建立知識(shí)關(guān)聯(lián)的思維橋梁，是“過(guò)程目標(biāo)”轉(zhuǎn)化為“目標(biāo)過(guò)程”的思維路徑，也是通過(guò)“說(shuō)”與“述”來(lái)表現(xiàn)的．為此，就系統(tǒng)關(guān)聯(lián)教學(xué)支持體系視角來(lái)說(shuō)，需要做好三個(gè)方面的工作：一是通過(guò)“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在實(shí)物畫(huà)圖中感知圖像性質(zhì)的來(lái)龍去脈；二是通過(guò)“說(shuō)”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在描述圖像性質(zhì)的過(guò)程中，形成概念產(chǎn)生式系統(tǒng)；三是通過(guò)“述”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在復(fù)述過(guò)程中，形成穩(wěn)定的概念關(guān)聯(lián)系統(tǒng)．

3 構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)支持系統(tǒng)，突出“做”與“用”的補(bǔ)償作用

經(jīng)驗(yàn)增值是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育的價(jià)值追求，呈現(xiàn)學(xué)生“做好實(shí)驗(yàn)”“學(xué)好數(shù)學(xué)”的積極心理狀態(tài)．按照龐加萊和阿達(dá)瑪?shù)挠^點(diǎn)，“數(shù)學(xué)創(chuàng)造就是辨別，就是選擇．選擇什么？就是選擇所期待的思想組合．”這里的“辨別”“選擇”與“組合”都是經(jīng)驗(yàn)成分的重組與再造，既是經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)的支持條件，也意味著新經(jīng)驗(yàn)的再生，標(biāo)志著經(jīng)驗(yàn)適用范圍的擴(kuò)大，以及經(jīng)驗(yàn)水平的增值．從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)支持系統(tǒng)構(gòu)建的目的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不止于理解數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)理解，更在于數(shù)學(xué)創(chuàng)造和創(chuàng)造數(shù)學(xué)，這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育的現(xiàn)代化朝向，也是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的育人價(jià)值所在和變換角度看問(wèn)題的能力體現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)部支持力量．像通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件探討“二次函數(shù)圖像的平移”就是對(duì)“一次函數(shù)圖像的平移”的經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)．具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于一次函數(shù)y=2x+1的圖像，如果向上平移3個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y=2x+4的圖像；如果向下平移3個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y=2x-2的圖像．基于這樣的“平移經(jīng)驗(yàn)的組合”，我們可以猜想驗(yàn)證得到二次函數(shù)y=2x2+1的圖像，如果向上平移3個(gè)單位，得到的是函數(shù)y=2x2+4的圖像；如果向下平移3個(gè)單位，得到的是函數(shù)y=2x2-2的圖像．這就是經(jīng)驗(yàn)增值的具體表現(xiàn)．當(dāng)然“經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)”還需要“做”與“用”的補(bǔ)償作用．

“經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)”心理水平是后天學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程性結(jié)果，是長(zhǎng)期“做數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”的經(jīng)驗(yàn)緩存和補(bǔ)償．其中，生物表觀機(jī)制的經(jīng)驗(yàn)成分并不普遍(表觀機(jī)制是一種醫(yī)學(xué)概念，即為遺傳學(xué)理)，主要是對(duì)緩存經(jīng)驗(yàn)的重組與調(diào)用．一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)驗(yàn)調(diào)用和重構(gòu)的質(zhì)量是一種內(nèi)在的核心素養(yǎng)，是提出問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，是靠“四基”“四能”支撐的能力復(fù)合體．《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定，即“人們通過(guò)數(shù)學(xué)教育以及自身的認(rèn)知活動(dòng)，所獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學(xué)思想品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力綜合．”這就要求數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既要重視“四基”的不同發(fā)展，又要強(qiáng)化“四能”的教學(xué)支持體系的構(gòu)建，不止于外部環(huán)境的創(chuàng)設(shè)，更在于經(jīng)驗(yàn)的重組與調(diào)用，擴(kuò)大經(jīng)驗(yàn)的適用范圍，提高經(jīng)驗(yàn)增值水平，方能讓學(xué)生在習(xí)得知識(shí)技能、思想方法的同時(shí)，獲得核心素養(yǎng)的內(nèi)生長(zhǎng)，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)才干和服務(wù)社會(huì)的能力．為此，需要做好三個(gè)方面工作：一是做好數(shù)學(xué)，為經(jīng)驗(yàn)調(diào)用就緒積極的心理狀態(tài)；二是用好數(shù)學(xué)，為經(jīng)驗(yàn)增值鋪設(shè)思想基礎(chǔ)；三是重構(gòu)數(shù)學(xué)，為經(jīng)驗(yàn)遷移和經(jīng)驗(yàn)再造提供教學(xué)支持．

不妨以“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”的教學(xué)反思環(huán)節(jié)為載體，以此說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)增值之道，突出數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“做”與“用”的補(bǔ)償作用．具體活動(dòng)流程設(shè)計(jì)如下：首先，呈現(xiàn)本節(jié)課的知識(shí)運(yùn)行線索和框架結(jié)構(gòu)，在智能的“做”的參與下，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課“做”數(shù)學(xué)的經(jīng)歷，強(qiáng)調(diào)“列表、描點(diǎn)和連線”是研究函數(shù)圖像的一般方法，同時(shí)通過(guò)元認(rèn)知監(jiān)控的方式(在列表、描點(diǎn)的基礎(chǔ)上連線，為什么用平滑曲線，而不用折線連接)指出“拋物線是平滑曲線”的依據(jù)．其次．基于智能“用”提出問(wèn)題，即這節(jié)課我們研究了函數(shù)y=ax2的圖像與性質(zhì)，你認(rèn)為我們還需要研究二次函數(shù)哪些形式？(即y=ax2+c和y=ax2+bx，也就是需要研究頂點(diǎn)在y軸上和頂點(diǎn)在x軸上的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，這樣有助于單元概念的建立，突出經(jīng)驗(yàn)增值的意義．)最后，基于“經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)”和經(jīng)驗(yàn)外擴(kuò)呈現(xiàn)問(wèn)題，即你認(rèn)為我們應(yīng)該怎樣研究函數(shù)y=x3和y=x4的圖像與性質(zhì)？(這樣的設(shè)計(jì)，有助于比較研究，也有助于拓展學(xué)生的思維留白空間，擴(kuò)大經(jīng)驗(yàn)適用范圍)這一問(wèn)題的提出，一方面可以擴(kuò)大“列表、描點(diǎn)和連線”的適用范圍，另一方面也可以拓展學(xué)生的思維空間，豐富學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)縱向數(shù)學(xué)化的能力，為后續(xù)高中“冪函數(shù)”的學(xué)習(xí)鋪設(shè)思維軌道，提供經(jīng)驗(yàn)支持．

如果說(shuō)，如何使學(xué)生愿意學(xué)，喜歡學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)感興趣是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)外部支持體系決定的，那么，如何讓學(xué)生做自己能做的事，并對(duì)自己所做的事負(fù)責(zé)則是由數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)部支持體系決定的．因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)部支持系統(tǒng)的構(gòu)建，意義重大，價(jià)值不菲．