水中聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)的模型修正

沈 玥，周詩(shī)韻

(復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系，上海 200433)

聲速測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的基本內(nèi)容之一[1]，通常采用共振干涉法和相位比較法測(cè)量超聲波的波長(zhǎng)，乘以超聲信號(hào)發(fā)生器的頻率，即可計(jì)算得到超聲波在特定介質(zhì)中的聲速. 該實(shí)驗(yàn)的基本原理為：發(fā)射換能器發(fā)出的聲波與其在接收換能器上反射的聲波相干疊加，當(dāng)2個(gè)換能器間的距離等于半波長(zhǎng)λ/2的整數(shù)倍時(shí)，形成駐波，接收換能器上聲壓波腹達(dá)到極大[2]. 當(dāng)測(cè)量介質(zhì)為空氣時(shí)，增大接收器與發(fā)射器的距離，接收振幅的極大值單調(diào)減小，這表明需要考慮發(fā)射聲波的波形、傳播過(guò)程中的損耗以及換能器性能的影響[3-6]；當(dāng)接收器與發(fā)射器非常接近時(shí)，原本相距λ/2的2次駐波共振極大值之間，出現(xiàn)振幅較小的“次極大”值. 這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因可能與信號(hào)源頻率不純導(dǎo)致“次頻”共振[7-9]，聲波在探頭間多次反射[10-11]，以及換能器厚度帶來(lái)的相位滯后[12]有關(guān). 同樣的方法可以用來(lái)測(cè)量水中的聲速，例如研究聲速與水溶液中介質(zhì)濃度(如NaCl)的依賴(lài)關(guān)系[13]. 然而在水中，接收器的振幅及相位的變化規(guī)律與空氣中不完全相同.

本文研究了水中聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)中與原有模型不符的現(xiàn)象. 在介質(zhì)為水的實(shí)驗(yàn)條件下，沿用空氣中聲波的多次反射模型[10-11]，同時(shí)考慮聲波在水-空氣界面處反射的影響，建立了水中聲波的傳播模型. 用Mathematica軟件對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，并討論了液面高度對(duì)模擬結(jié)果的影響. 模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.

1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與結(jié)果

1.1 實(shí)驗(yàn)原理和實(shí)驗(yàn)裝置

從發(fā)射源發(fā)出的一定頻率的平面波，經(jīng)過(guò)空氣傳播到達(dá)接收器. 若接收面與發(fā)射面嚴(yán)格平行，當(dāng)兩者距離為半波長(zhǎng)λ/2的整數(shù)倍時(shí)，入射波與反射波相干疊加形成穩(wěn)定的駐波. 實(shí)驗(yàn)上，連續(xù)移動(dòng)接收換能器，記錄每次接收振幅極大或李薩如圖呈直線(xiàn)時(shí)接收換能器的位置，即可通過(guò)線(xiàn)性擬合計(jì)算出超聲波的波長(zhǎng)λ. 聲波波速v可表示為

v=νλ,

(1)

在已知超聲波頻率ν的情況下，即可計(jì)算出波速.

使用杭州大華儀器制造有限公司生產(chǎn)的SV-DH-7A聲速測(cè)定儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過(guò)配套的SUX-6型信號(hào)發(fā)生器對(duì)發(fā)射換能器輸入頻率ν為37.850 kHz的正弦信號(hào). 用固緯公司生產(chǎn)的雙通道DS-1102A-U型示波器同時(shí)觀察輸入信號(hào)和接收換能器上獲取的信號(hào). 聲速測(cè)定儀放置于45.3 cm×14.0 cm×12.4 cm的水槽內(nèi). 為考量水-空氣界面對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，選擇液面較低(水面距換能器中軸線(xiàn)35.0 mm)和液面較高(水面距換能器中軸線(xiàn)為61.0 mm)的2種情況進(jìn)行測(cè)量.

1.2 異?，F(xiàn)象

在水中聲速的測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，通常以出現(xiàn)駐波時(shí)的探頭間距離為y軸，數(shù)據(jù)的序號(hào)為x軸進(jìn)行線(xiàn)性擬合，斜率即為半波長(zhǎng)λ/2. 共振干涉法和相位比較法的擬合優(yōu)度R2通?？蛇_(dá)0.996，計(jì)算得到聲速的測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值的相對(duì)偏差小于3%. 在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生觀察到與理論預(yù)期不一致的“異?！爆F(xiàn)象，包括：

共振干涉法中，接收波振幅隨2個(gè)換能器間距的變化情況如圖1所示. 由于接收換能器增益可調(diào)，主要關(guān)注振幅的相對(duì)變化. 其中橙色點(diǎn)代表振幅主極大值，藍(lán)色點(diǎn)表示振幅極小值. 由于示波器精度的限制，在一定范圍內(nèi)移動(dòng)接收換能器，接收波振幅的變化都很小，圖1給出了更多的數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)描述主極大附近的振幅情況. 可以看到，共振干涉法的測(cè)量不確定度較大. 隨著2個(gè)換能器距離的增加，接收振幅的主極大值并非單調(diào)減小，這與空氣中的情況不同[5-6]. 圖1中紅色虛線(xiàn)表示振幅主極大的包絡(luò)線(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)其谷值所對(duì)應(yīng)的換能器距離與液面高度有關(guān). 液面較低時(shí)，包絡(luò)線(xiàn)在探頭相距75 mm左右達(dá)到峰值，而在探頭相距223 mm左右達(dá)到谷值. 增加液面高度，則包絡(luò)線(xiàn)在探頭相距180 mm左右達(dá)到谷值. 此外，也觀察到了振幅“次極大”的現(xiàn)象，如圖1中的紅點(diǎn)所示. “次極大”現(xiàn)象在空氣中也有發(fā)現(xiàn)，但是僅出現(xiàn)在換能器的間距小于50 mm處[10]. 而在水中，換能器間距大于230 mm，這一現(xiàn)象仍然存在.

相位比較法中，連續(xù)移動(dòng)接收換能器并記錄李薩如圖呈直線(xiàn)時(shí)的位置. 對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性擬合并觀察其殘差圖. 如圖2所示，殘差圖表現(xiàn)出二次曲線(xiàn)特征. 當(dāng)液面較低時(shí)，殘差圖上凸，表明在水槽中部(約處160～200 mm)，每次需要移動(dòng)換能器超過(guò)λ/2的距離，才能觀察到李薩如圖出現(xiàn)1次直線(xiàn). 當(dāng)液面較高時(shí)，殘差圖下凹，即在水槽中部每次只需移動(dòng)小于λ/2的距離，就能觀察到李薩如圖出現(xiàn)一次直線(xiàn). 實(shí)驗(yàn)中，相位比較法測(cè)得的數(shù)據(jù)點(diǎn)一般具有0.5 mm的不確定度，約是殘差偏離范圍的1/10，因此可以認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)方法具有系統(tǒng)誤差. 需要說(shuō)明的是，在共振干涉法中，主極大的位置不確定度為2～5 mm, 如圖1所示，而擬合殘差圖的偏離范圍也在±5 mm之間，因此不對(duì)共振法的殘差圖做分析.

(a)液面較低

(b)液面較高圖1 實(shí)驗(yàn)中測(cè)得接收振幅與接收器移動(dòng)距離的關(guān)系

(a)液面較低

(b)液面較高圖2 相位比較法實(shí)驗(yàn)殘差圖

2 模型建立

2.1 多次反射模型

圖3給出了實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖. 以發(fā)射器為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，考慮聲波的衰減，發(fā)射器發(fā)射的初始聲波在t時(shí)刻被相距為l的接收器接收，則到達(dá)接收器時(shí)的初始聲波為

(2)

其中,α為聲波在介質(zhì)中傳時(shí)的衰減系數(shù)，A為超聲波振幅，ω為角頻率，λ為波長(zhǎng)，φ0為初始相位.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置側(cè)視示意圖

考慮聲波在換能器之間的多次反射. 假定Yn+1(t,l)是Yn(t,l)的反射波，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，超聲波自接收器傳播到發(fā)射器，而n為偶數(shù)時(shí)，自發(fā)射器傳播到接收器. 接收器只能接收到所有下標(biāo)為偶數(shù)的波列. 考慮聲波在介質(zhì)中的指數(shù)衰減，當(dāng)探頭相距較大時(shí)，Y6及其之后的反射波可被忽略，則接收聲波可以表示為

(3)

其中Y2k(t,l)為

Y2k(t,l)=γ2kexp[-α(2k+1)l]·

(4)

在水中，聲波波長(zhǎng)變長(zhǎng)，衰減系數(shù)變小，因此即便距離較遠(yuǎn)，聲波在發(fā)射器與接收器之間多次反射的影響依舊不可忽略，多列反射波疊加造成了實(shí)驗(yàn)中觀察到的次極大現(xiàn)象. 溫度為26.0 ℃，大氣壓條件下，水中的聲速為1 498.3 m/s[14]，實(shí)驗(yàn)中所用聲波頻率為37.850 kHz，則聲波的波長(zhǎng)為3.960 0×10-2m，為方便計(jì)算取λ=4.000 0×10-2m；換能器界面由鋁制成，正入射時(shí)聲壓反射系數(shù)γ與界面兩邊介質(zhì)的聲阻抗Z1和Z2滿(mǎn)足

(5)

這幾列聲波的頻率是一致的，在數(shù)學(xué)上可以證明Y′(t,l)必可化簡(jiǎn)為A′cos (ωt+Φ)的形式，實(shí)驗(yàn)中接收波振幅即為Y′(t,l)的振幅A′. 為消除時(shí)間的影響，方便地得到A′的表達(dá)式，使其只為距離l的函數(shù)，可將Y′(t,l)先平方，對(duì)時(shí)間t做1個(gè)周期的積分，再除以周期長(zhǎng)度T，即

(6)

平方是為了防止三角函數(shù)在t軸上下震蕩導(dǎo)致積分值為0，由此可利用Mathematica模擬接收波振幅隨接收器移動(dòng)距離的關(guān)系如圖4所示.

圖4 振幅相對(duì)強(qiáng)度與探頭距離的關(guān)系(多次反射模型)

該模型與共振干涉法中接收波聲壓隨探頭距離周期性變化的現(xiàn)象相符，并出現(xiàn)了振幅“次極大”. 然而該模型下聲壓極大值隨距離是單調(diào)減小的，這與水中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象并不相符，需要對(duì)該模型進(jìn)行更多的修正.

2.2 液面反射模型

測(cè)量水中聲速時(shí)，換能器并非處于無(wú)限大的水域. 如圖3所示，其側(cè)面和底面是水與有機(jī)玻璃水槽壁的交界面，上界面是水和空氣的交界面. 換能器位于水槽中央，聲波從水槽中線(xiàn)發(fā)出. 由于聲源距各界面的距離與水中聲波波長(zhǎng)為同一數(shù)量級(jí)，因此需要考慮聲波在各界面上的反射波對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.

空氣聲阻抗為425.8 kg/(m2·s)，有機(jī)玻璃的聲阻抗為3.16×106kg/(m2·s)[14]. 由(5)式，假設(shè)聲波正入射，計(jì)算可得上界面的反射系數(shù)為0.999，其余三面的反射系數(shù)為0.362，上界面的反射更為明顯. 在實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)，不改變換能器的位置，僅改變液面高度，示波器上李薩如圖的形狀也會(huì)改變. 這一現(xiàn)象說(shuō)明上界面的反射對(duì)本實(shí)驗(yàn)有很大的影響. 僅考慮聲波在水與空氣的交界面上發(fā)生反射并到達(dá)接收器，如圖3所示，可以寫(xiě)出到達(dá)接收換能器的反射波Yr為

(7)

定義d/2為界面到換能器中軸線(xiàn)的距離，則

(8)

考慮到斜入射時(shí)有效聲阻抗并不嚴(yán)格與正入射時(shí)相同，并且存在能量耗散，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中反射聲波的影響會(huì)更小，因此取反射波的權(quán)重因子W=0.9，略小于反射系數(shù). 由于這列波不是垂直入射于接收器表面，接收器不能完整接收該列聲波，因此在最后乘以cosθ. 于是，在僅考慮入射波和水-空氣界面反射波的情況下，接收器處的聲波為

Y′(t,l)=Y0(t,l)+Yr(t,l),

(9)

取d/2=50.0 mm，其余參量同上. 采用(6)式模擬接收波振幅隨接收器移動(dòng)距離的關(guān)系. 由于此時(shí)并未考慮聲波在換能器間的任何反射，因此所得到的模擬結(jié)果無(wú)法體現(xiàn)聲壓的周期性變化，但可以得到主極大包絡(luò)線(xiàn)的變化趨勢(shì).

在圖5中，在約l=110 mm左右包絡(luò)線(xiàn)達(dá)峰值，在l=240 mm左右處達(dá)到谷值，隨后再次增大. 與圖1(a)中主極大包絡(luò)線(xiàn)的變化趨勢(shì)相符合.

圖5 振幅相對(duì)強(qiáng)度與探頭距離的關(guān)系(液面反射模型)

3 討 論

3.1 共振干涉法中參量d的影響

結(jié)合以上2種反射模型，接收器處聲波為

(10)

設(shè)置與前文相同的參量，令d/2=50.0 mm，采用與(6)式類(lèi)似的處理方法來(lái)模擬共振干涉法中接收波振幅隨接收器位置的變化關(guān)系，如圖6(a)所示. 可知當(dāng)兩換能器距離較近時(shí)(小于130 mm)，兩次極大值之間出現(xiàn)了振幅較小的“次極大”，而“主極大”振幅的包絡(luò)線(xiàn)先增大后減小再增大，呈非單調(diào)變化，這與圖1(a)的現(xiàn)象一致. 此時(shí)，“主極大”包絡(luò)線(xiàn)的谷值出現(xiàn)在換能器相距250 mm左右. 增大液面到換能器中心的距離，令d/2=65.0 mm，如圖6(b)所示，包絡(luò)線(xiàn)的谷值則出現(xiàn)在兩換能器相距125 mm左右. 這與圖1中包絡(luò)線(xiàn)谷值位置隨液面高度的變化趨勢(shì)一致.

(a)液面較低

(b)液面較高圖6 振幅相對(duì)強(qiáng)度與探頭距離的關(guān)系(綜合兩種模型)

3.2 相位比較法中參量d的影響

(a)液面較低

(b)液面較高圖7 相位比較法模擬結(jié)果的線(xiàn)性擬合殘差圖

利用Mathematica繪制參數(shù)方程

(11)

的函數(shù)圖來(lái)模擬實(shí)驗(yàn)中的李薩如圖，并考察參量d對(duì)相位比較法造成的影響. 令d/2取50.0 mm和65.0 mm來(lái)模擬液面較低和液面較高的不同狀態(tài)，其余參量同前文. 記錄李薩如圖呈直線(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的距離l，并進(jìn)行直線(xiàn)擬合，所得殘差圖如圖7所示. 當(dāng)液面較低時(shí)，殘差圖上凸，而液面較高時(shí)下凹，這種特征與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.

3.3 李薩如圖的“多余”直線(xiàn)

在相位比較法中，如果只考慮理想模型，每當(dāng)兩換能器的相位差滿(mǎn)足2kπ或(2k+1)π時(shí)，李薩如圖都會(huì)出現(xiàn)直線(xiàn). 此時(shí)換能器每次移動(dòng)的距離是λ/2，隨換能器的移動(dòng)，直線(xiàn)的斜率左右交替. 然而實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，有時(shí)會(huì)在換能器移動(dòng)λ/2的距離內(nèi)出現(xiàn)1次“多余”的直線(xiàn)，其傾斜方向與上一次直線(xiàn)相同，如圖8所示. 相似的現(xiàn)象在空氣中也有論述，但僅發(fā)生在接收器與發(fā)射器間距為λ以?xún)?nèi)時(shí)，其原因可能與聲波的多次反射有關(guān)[15]. 在水中的實(shí)驗(yàn)時(shí)，這一現(xiàn)象僅在液面極低(水面距換能器中軸線(xiàn)25.0 mm)、兩換能器間距170～200 mm之間觀察到. 若增高液面，當(dāng)水-空氣界面高于換能器中軸線(xiàn)30.0 mm以上，該異常消失. 在之前的討論中，實(shí)驗(yàn)上液面較低的狀態(tài)對(duì)應(yīng)水面距換能器中軸線(xiàn)35.0 mm，因此并未出現(xiàn)這一現(xiàn)象.

(a)l=173.82 mm

(b)l=182.35 mm

(c)l=196.05 mm圖8 實(shí)驗(yàn)中觀察到的李薩如圖異常

在上面的討論中，模擬取d/2=50.0 mm和d/2=65.0 mm時(shí)，沒(méi)有觀察到這一現(xiàn)象. 而當(dāng)減小到d/2=40.0 mm時(shí)，便可觀察到1次異常點(diǎn). 如圖9所示，當(dāng)l=172.22 mm和l=197.01 mm時(shí)，李薩如圖分別出現(xiàn)斜率為負(fù)和正的直線(xiàn)，兩者出現(xiàn)的間距為24.79 mm，略大于λ/2. 在這2次位置中間，當(dāng)l=178.38 mm時(shí)，李薩如圖出現(xiàn)1

次“多余的”直線(xiàn)，斜率為負(fù)，與l=172.22 mm時(shí)相同. 這一結(jié)果與圖8的現(xiàn)象一致. 其原因是液面反射波中Yr(t,l)非線(xiàn)性變化的相位干擾. 隨著液面增高，反射波影響減小，異常現(xiàn)象消失.

(a)l=172.22 mm

(c)l=197.01 mm圖9 模擬結(jié)果中的李薩如圖異常

4 結(jié) 論

用共振干涉法和相位比較法測(cè)量水中的聲速，發(fā)現(xiàn)了不同于理論預(yù)期的異?，F(xiàn)象. 考慮聲波在接收和發(fā)射換能器間的多次反射，以及聲波在水-空氣界面的反射，建立了實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，并?yīng)用Mathematica進(jìn)行模擬. 模擬結(jié)果可以顯示：共振干涉法中，兩換能器間的多次反射引起了振幅“次極大”的出現(xiàn). 液面反射波與正常傳播的波列的相位差，決定了接收聲波在特定位置上相干相長(zhǎng)或相干相消，引起了振幅主極大的非單調(diào)變化. 這一相位差與水面高度有關(guān)，因此水深不同，相干相消的位置也不同. 由于液面反射波引入了非線(xiàn)性變化的干擾相位，使接收波列的相位變化更為復(fù)雜，導(dǎo)致了相位比較法的系統(tǒng)誤差：當(dāng)水深增加時(shí)，殘差圖從上凸變?yōu)橄掳? 而特別的，當(dāng)液面特別低時(shí)，模擬中觀察到了李薩如圖的“多余”直線(xiàn). 本文的模型較好的解釋了水中聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的諸多現(xiàn)象.