關(guān)于Gorenstein AC-余撓模

陳 東，熊 濤

(1.成都大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610106；2.西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

受以上思想的啟發(fā)，論文推廣了Gorenstein余撓模，引入Gorenstein AC-余撓模的概念，Gorenstein AC-余撓模類是介于Gorenstein余撓模類和余撓模類之間的一種模類.討論Gorenstein AC-余撓模的很多性質(zhì)，如Gorenstein AC-余撓模與平坦模、Gorenstein AC-平坦模之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[3]用Gorenstein余撓模刻畫每個(gè)R-模是Gorenstein平坦模的環(huán)類，論文相應(yīng)地用Gorenstein AC-余撓模刻畫每個(gè)R-模是Gorenstein AC-平坦模的環(huán)類.最后討論Gorenstein AC-余撓包、Gorenstein AC-平坦蓋的存在性，同時(shí)討論每個(gè)R-模是Gorenstein AC-余撓模的條件.

為討論方便，需回顧一些相關(guān)概念：設(shè)C是R-模類且M是一個(gè)R-模.稱一個(gè)態(tài)射φ:M→C為M的C-預(yù)包(絡(luò))，若C∈C且對(duì)每個(gè)態(tài)射g：M→C′，其中C′∈C，存在態(tài)射f：C→C′，使得g=fφ.一個(gè)C-預(yù)包(絡(luò))φ：M→C稱為C-包(絡(luò))，若滿足gφ=φ的自同態(tài)g：C→C均是同構(gòu).一般情況下，C-包(絡(luò))未必存在，但若存在，則在同構(gòu)意義下必唯一.

文獻(xiàn)[10]稱C-包(絡(luò))φ：M→F具有唯一映射性質(zhì)，如果對(duì)任意的同態(tài)f：M→F′，其中F′∈C，存在唯一的同態(tài)g：F→F′，使得gφ=f.

設(shè)H是R-模類.稱H是內(nèi)射可解類，如果內(nèi)射模包含在H中，并且對(duì)任意的X′∈H的正合列0→X′→X→X′′→0，X′′∈H當(dāng)且僅當(dāng)X∈H.

正合列0→A→B→C→0稱為純正合列，是指任意的R-模X，誘導(dǎo)序列0→A?X→B?X→C?X→0仍是正合列.對(duì)上述純正合列，若存在R-模M，使得0→HomR(C,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0仍是正合列，則M稱為純內(nèi)射模.文獻(xiàn)[7]定義了任意R-模M的弱平坦維數(shù)和弱內(nèi)射維數(shù)，分別記為：

論文所涉及的環(huán)均是有單位元的交換的結(jié)合環(huán)，所涉及的模均是酉模.用GFac表示Gorenstein AC平坦模類，M⊥,M+分別表示模M的右正交補(bǔ)和特征模HomZ(M,Q/Z).

1 主要結(jié)果

定義1稱R-模M為Gorenstein AC-余撓模，是指對(duì)任意的Gorenstein AC-平坦模G，有

注由定義1，容易看到：

(1) {Gorenstein余撓模}?{Gorenstein AC-余撓模}?{余撓模}，即Gorenstein AC-余撓模類是介于Gorenstein余撓模類與余撓模類之間的一種模類；

(2) 類似于余撓模的性質(zhì)，Gorenstein AC-余撓模類是內(nèi)射可解的.

以下給出Gorenstein AC-余撓模類存在的一些條件.

命題2設(shè)M是R-模，若widRM<∞，則M+是Gorenstein AC-余撓模.

命題3設(shè)M是R-模，若M是弱余撓模且wfdRM<∞，則M是Gorenstein AC-余撓模.

命題4設(shè)M是R-模，若M是純內(nèi)射模且wfdRM<∞，則M是Gorenstein AC-余撓模.

以下討論Gorenstein AC-余撓模的性質(zhì).

命題5設(shè)0→A→B→C→0是正合列，若B是Gorenstein AC-余撓模，則A是Gorenstein AC-余撓模，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的Gorenstein AC-平坦模G，存在正合列HomR(G,B)→HomR(G,C)→0.

命題6(1) 設(shè)M是R-模，若f：F→M是M的Gorenstein AC-平坦蓋，則F是Gorenstein AC-余撓模當(dāng)且僅當(dāng)M是Gorenstein AC-余撓模；

(2) 若R是關(guān)于Gorenstein AC-平坦模類擴(kuò)張封閉的環(huán)，g：M→L是G的Gorenstein AC-余撓包，則L是Gorenstein AC-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M是Gorenstein AC-平坦模.

證明(1) 由于f：F→M是M的Gorenstein AC-平坦蓋，故存在正合列0→Ker(f)→F→M→0，其中Ker(f)是Gorenstein AC-余撓模.由命題5知，F(xiàn)是Gorenstein AC-余撓模當(dāng)且僅當(dāng)M是Gorenstein AC-余撓模.

(2) 類似(1)的證明，此略.

命題7設(shè)M是Gorenstein AC-余撓模，則M是平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M是Gorenstein AC-平坦模.

文獻(xiàn)[5]討論了每個(gè)R-模是Gorenstein余撓模的條件.相應(yīng)地，下面討論每個(gè)R-模都是Gorenstein AC-余撓模的條件,即定理1.

定理1設(shè)R是環(huán)，則以下各條等價(jià)：

(1) 每個(gè)R-模是Gorenstein AC-余撓模；

(2) 每個(gè)Gorenstein AC-平坦模是Gorenstein AC-余撓模；

(3) 每個(gè)Gorenstein AC-平坦模是投射模.

若R是關(guān)于Gorenstein AC-平坦模類擴(kuò)張封閉的環(huán),則上述條件還等價(jià)于：

(4) 每個(gè)R-模具有唯一映射性質(zhì)的Gorenstein AC-余撓包；

(5) 每個(gè)Gorenstein AC-平坦模具有唯一映射性質(zhì)的Gorenstein AC-余撓包；

(6) 對(duì)任意的同態(tài)f：M1→M2，其中M1,M2是Gorenstein AC-余撓模，則Ker(f)也是Gorenstein AC-余撓模.

證明(1)?(2).顯然.

(3)?(1).設(shè)M是R-模，N是Gorenstein AC-平坦模.由條件知,N是投射模，故Ext′R(N,M)=0.因此，M是Gorenstein AC-余撓模.

(1)?(4)?(5)，(1)?(6).顯然.

(5)?(2).設(shè)M是Gorenstein AC-平坦模，f：M→F是M的Gorenstein AC-余撓包，于是存在正合列A:0→M→F→Cok(f)→0，其中Cok(f)是Gorenstein AC-平坦模.設(shè)g：Cok(f)→L是Cok(f)的Gorenstein AC-余撓包，考慮正合列A的交換圖

因?f=0，故g?f=0=g?0.由于f：M→F是M的具有唯一映射性質(zhì)的Gorenstein AC-余撓包，故g?=0，于是有Im(?)=Cok(f)?Ker(g)=0，從而Cok(f)=0，故M=F，因此M是Gorenstein AC-余撓模.

推論1設(shè)R是完全凝聚環(huán)，且gl.dim(R)<∞，則每個(gè)R-模是Gorenstein AC-余撓模.

證明由于R是完全凝聚環(huán)，故由文獻(xiàn)[6]中的定義4.1和文獻(xiàn)[13]中的命題3.2知，{Gorenstein AC-平坦模}={Gorenstein平坦模}={Gorenstein投射模}.

另一方面，由于gl.dim(R)<∞，故由文獻(xiàn)[14]中的命題10.2.3知，{Gorenstein投射模}={投射模}.由定理1知，每個(gè)R-模是Gorenstein AC-余撓模.

定理2若R是關(guān)于Gorenstein AC-平坦模類擴(kuò)張封閉的環(huán)，以下各條等價(jià)：

(1) 每個(gè)R-模是Gorenstein AC-平坦模；

(2) 每個(gè)Gorenstein AC-余撓模是內(nèi)射模；

(3) 每個(gè)Gorenstein AC-余撓模是Gorenstein AC-平坦模；

(4) 每個(gè)R-模有Gorenstein AC-平坦的Gorenstein AC-余撓(平坦)包；

(5) 每個(gè)R-模具有唯一映射性質(zhì)的Gorenstein AC-平坦蓋；

(6) 每個(gè)Gorenstein AC-余撓模具有唯一映射性質(zhì)的Gorenstein AC-平坦蓋；

(7) 對(duì)任意的同態(tài)：f：M1→M2，其中M1，M2是Gorenstein AC-平坦模，則Cok(f)也是Gorenstein AC-平坦模.

證明(1)?(2)，(1)?(3)，(1)?(7) . 顯然.

(1)?(5) .設(shè)M是R-模，由假設(shè)，M是Gorenstein AC-平坦模，于是M的恒等映射1M：M→M是M的Gorenstein AC-平坦蓋，從而是唯一性質(zhì)的Gorenstein AC-平坦蓋.

(5)?(6) .顯然.

(3)?(1) .設(shè)M是R-模，由文獻(xiàn)[6]中的命題4.8知，存在正合列0→M→C→N→0，其中C是Gorenstein AC-余撓模，N是Gorenstein AC-平坦模.由假設(shè)知，C是Gorenstein AC-平坦模.由于R是對(duì)Gorenstein AC-平坦模封閉的環(huán)，由文獻(xiàn)[6]中的引理4.7知，M是Gorenstein AC-平坦模.

(6)?(4).設(shè)m是R-模，且f：M→C是M的Gorenstein AC-余撓包.由題意知，存在C的唯一映射的Gorenstein AC-平坦蓋g：F→C，于是存在正合列B：0→K→F→C→0，其中K是Gorenstein AC-余撓模.由題意，又存在K的具有唯一映射性質(zhì)的Gorenstein AC-平坦蓋g′：F′→K.考慮正合列B的交換圖

因gi=0，故gig′=0=0ig′.由于g：F→C是具有唯一映射性質(zhì)的Gorenstein AC-平坦蓋，故ig′=0.于是有K=Im(g′)?Ker(i)=0，從而K=0，故C是Gorenstein AC-平坦模.

(7)?(1).設(shè)M是R-模，由于R是對(duì)Gorenstein AC-平坦模封閉的環(huán)，故由文獻(xiàn)[6]中的命題4.8知，存在M的Gorenstein AC-平坦蓋.考慮正合列C的交換圖

由于gig′=0，故存在正合列C:F′→F→M→0.由題意知，M是Gorenstein AC-平坦模.

特別地，當(dāng)R是凝聚環(huán)時(shí)，有推論2.

推論2[3]設(shè)R是凝聚環(huán)，則R是FC環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Gorenstein余撓模是Gorenstein平坦模.