X-丁投射模

吳德軍, 宋夢(mèng)鈺

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

在本文中,R表示有單位元的結(jié)合環(huán),所有的模都是右R-模,X表示包含所有平坦R-模的類,P(R)表示投射模類,X-Dpd(R)<∞表示環(huán)R上的整體X-丁投射維數(shù)有限,R-Mod表示R-模范疇.2009年,Ding等[1]引入了一般環(huán)上的強(qiáng)Gorenstein平坦模的概念.2010年,Gillespie[2]將強(qiáng)Gorenstein平坦模重新命名為丁投射模并且證明了丁模類和Gorenstein模類具有類似的性質(zhì).2010年,Bennis和Ouarghi[3]引入了X-Gorenstein投射模,證明了對(duì)X-Gorenstein投射模而言,Gorenstein投射模的一些結(jié)論仍然成立. 2013年,Yang等[4]研究了一般環(huán)上丁投射模的相關(guān)性質(zhì).本文在文獻(xiàn)[3-4]的基礎(chǔ)上引入了X-丁投射模,即如果存在正合列P=∶…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,對(duì)于任意R-模F∈X,HomR(-,F)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么稱M是X-丁投射模.本文證明了X-丁投射模類是投射可解的并且X-丁投射模保持直和項(xiàng)和直和.進(jìn)而引入了X-丁投射維數(shù)的定義并給出了X-丁投射維數(shù)有限的等價(jià)刻畫以及其他相關(guān)性質(zhì).證明了若環(huán)R的整體X-丁投射維數(shù)有限,則(X-DP(R),(X-DP(R))⊥)是完備遺傳余撓對(duì).

定義1[4]如果存在正合列P=∶…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,對(duì)于任意平坦模F,HomR(-,F)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么稱M是丁投射模.在這種情況下,稱正合列P為強(qiáng)完全零調(diào)復(fù)形.

定義2[3]設(shè)X是包含所有投射模的R-模類.如果存在正合列

P=∶…→P1→P0→P0→P1→…

其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,對(duì)于任意R-模P∈X,HomR(-,P)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么稱M是X-Gorenstein投射模. 在這種情況下,稱正合列P為X-完全零調(diào)復(fù)形.

引理1[5](Horse Lemma) 設(shè)X是R-模類,且X對(duì)有限直和封閉.設(shè)0→M′→M→M″→0是R-模短正合列并且對(duì)于任意R-模Y∈X,HomR(-,Y)作用在短正合列上保持正合.若M′和M″有余真右X-分解,則M也有余真右X-分解.

定義3[6]稱R-模類X是投射可解的,若P(R)?X,且對(duì)任意短正合列0→X′→C→X″→0,其中X″∈X,則X′∈X當(dāng)且僅當(dāng)C∈X.

定理1[6](Eilenberg’s swindle)若R-模類X是投射可解的且對(duì)可數(shù)直和封閉,或是內(nèi)射可解的且對(duì)可數(shù)直積封閉,則R-模類X對(duì)直和項(xiàng)封閉.

定義4[7]設(shè)C是R-模范疇的子范疇.

定義5[7]設(shè)A,B是R-模類.若A=⊥B且B=A⊥,則稱C=(A,B)是余撓對(duì).

定義7[7]設(shè)(A,B)是余撓對(duì).若滿足下面等價(jià)條件的任意一個(gè):

1) 對(duì)任意R-模M,存在正合列0→M→Y→L→0,其中Y∈B,L∈A.

2) 對(duì)任意R-模M,存在正合列0→D→C→M→0,其中C∈A,D∈B.則稱余撓對(duì)(A,B)是完備的.

定義8設(shè)X是包含所有平坦模的R-模類.如果存在正合列P=∶…→P1→P0→P0→P1→…,其中Pi,Pi是投射模,i∈Z,對(duì)于任意R-模F∈X,HomR(-,F)作用在正合列P上保持正合,并且M=Ker(P0→P1),那么稱M是X-丁投射模.在這種情況下,稱正合列P為X-強(qiáng)完全零調(diào)復(fù)形.記X-DP(R)為X-丁投射模類.

定理2設(shè)M是右R-模.則下列條件等價(jià):

1)M是X-丁投射模;

2)M滿足以下兩個(gè)條件:

② 存在正合列0→M→P0→P1→…,其中Pi是投射模,i≥0且為整數(shù),對(duì)任意R-模F∈X,HomR(-,F)作用在正合列上保持正合.

3) 存在正合列0→M→P→G→0,其中P是投射模,G是X-丁投射模.

證明1)?2)、1)?3)由X-丁投射模定義可得.

3)?2) 設(shè)任意R-模F∈X.用HomR(-,F)作用于短正合列0→M→P→G→0,由長(zhǎng)正合序列定理有

定理31) 投射模是X-丁投射模,X-丁投射模是丁投射模.

2) 若X是平坦模類,則X-丁投射模和丁投射模一致.

3) 若X是丁投射模類,則任意X-丁投射模是投射模.

2) 顯然.

推論1任意的R-模M是投射的當(dāng)且僅當(dāng)M是X-丁投射模且M∈X.

證明: 由定理3可證.

推論2對(duì)于任意的結(jié)合環(huán)R,下列條件等價(jià):

1)X是投射模類.

2) 對(duì)于任意R-模F,F是X-丁投射模.

證明由定理3可證.

引理2設(shè)0→A→B→C→0是短正合列.若A,C是X-丁投射模,則B是X-丁投射模.

定理4X-丁投射模類是投射可解的.

證明設(shè)0→A→B→C→0是短正合列,其中C是X-丁投射模.只需證明A是X-丁投射模當(dāng)且僅當(dāng)B是X-丁投射模.若A是X-丁投射模,由引理2知B是X-丁投射模.若B是X-丁投射模,由X-丁投射模定義知,存在短正合列0→B→P→N→0,其中N是X-丁投射模,P是投射模.考慮交換圖,如圖1所示.

圖1 交換圖Fig.1 Commutative diagram

因?yàn)镃和N是X-丁投射模,由引理2知,L是X-丁投射模.對(duì)于短正合列0→A→P→L→0,由P是投射模和X-丁投射模的定義知A是X-丁投射模.

推論3X-丁投射模類對(duì)直和與直和項(xiàng)封閉.

證明由X-丁投射模定義,X-丁投射模對(duì)直和封閉.因?yàn)閄-丁投射模類是投射可解的,所以由定理1知X-丁投射模對(duì)直和項(xiàng)封閉.

充分性) 由M,N是X-丁投射模知存在正合列

A=∶0→M→P0→P1→…

B=∶0→N→Q0→Q1→…

其中Pi,Qi均為投射模,i∈Z,用HomR(-,F)作用保持正合.存在同態(tài)f:M→N和同態(tài)Pi→Qi,考慮交換圖，如圖2所示.

圖2 交換圖Fig.2 Commutative diagram

考慮交換圖，如圖3所示.

圖3 交換圖Fig.3 Commutative diagram

圖4 交換圖Fig.4 Commutative diagram

其中K=Coker(M→N⊕P0).令

D=∶0→M→M→0→…

C=∶0→M→N⊕P0→Q0⊕P1→…
L=∶0→K→Q0⊕P1→…

則存在正合列0→D→C→L→0,其中復(fù)形D,C正合,從而復(fù)形L正合,且HomR(-,F)作用L上保持正合,其中F∈X.因?yàn)橛姓狭?→M→N⊕P0→K→0,0→M→N→L→0,所以存在同態(tài)h:K→L使交換圖如圖5所示.

圖5 交換圖Fig.5 Commutative diagram

引理3若存在正合列0→Kn→Gn-1→…→G0→M→0,其中G0,…,Gn-1是X-丁投射模,則對(duì)任意平坦維數(shù)有限R-模A,有

其中:i>0且為整數(shù).

證明將長(zhǎng)正合列打斷成一系列短正合列,如下:

A=∶0→C1→G0→M→0

其中C1=Ker(G0→M)

B=∶0→C2→G1→C1→0

其中C2=Ker(G1→G0)

…

X=∶ 0→Kn→Gn-1→Cn-1→0

其中Cn-1=Ker(Gn-2→Gn-3)

用HomR(-,F)作用于長(zhǎng)正合列X,對(duì)任意平坦維數(shù)有限R-模F,由長(zhǎng)正合列定理可得

又因?yàn)镚0,…,Gn-1是X-丁投射模,所以

定義9若存在正合列0→Gn→Gn-1→…→G0→M→0,其中:G0,…,Gn是X-丁投射模,則稱R-模M的X-丁投射維數(shù)小于等于n.用X-DpdR(M)表示R-模M的X-丁投射維數(shù).

稱GX-Dpd(R)為環(huán)R上的整體X-丁投射維數(shù),記

引理4M是任意R-模,考慮下面兩個(gè)正合列:

A=∶0→Ln→Xn-1→…→X0→M→0

證明設(shè)Ln是X-丁投射模.取R-模M的投射分解

P1→P0→M→0

圖6 交換圖Fig.6 Commutative diagram

考慮交換圖，如圖7所示.

圖7 交換圖Fig.7 Commutative diagram

0→K→Pn-1⊕Ln→…→

P0⊕X1→X0→0

其中X0是X-丁投射模.由于X-丁投射模對(duì)直和與直和項(xiàng)封閉,所以Pn-1⊕Ln與Xi⊕Pi-1是X-丁投射模,i=1,…,n-1.因?yàn)閄-丁投射模類是投射可解的,所以K是X-丁投射模.類似有正合列

定理6設(shè)0→K→G→M→0是短正合序列,其中G是X-丁投射模.若M是X-丁投射模,則K是X-丁投射模.否則

X-DpdR(K)=X-DpdR(M)-1≥0

證明對(duì)于短正合列0→K→G→M→0,若M是X-丁投射模,因?yàn)閄-丁投射模類是投射可解的,所以K是X-丁投射模.

若M不是X-丁投射模,設(shè)M的X-丁投射維數(shù)為m,則M有X-丁投射分解分解:

0→Xm→Xm-1→…→X1→X0→M→0

其中X0,…,Xm是X-丁投射模.對(duì)K作投射分解,有…→Pm-1→Pm-2→…→P1→P0→K→0,其中Pi是投射模,i≥0且為整數(shù).存在正合列0→I→Pm-2→…→P0→K→0,其中I=Im(Pm-1→Pm-2).所以有正合列0→I→Pm-2→…→P0→G→M→0.由引理4可知I是X-丁投射模,此時(shí)X-DpdR(K)≤m-1.若X-DpdR(K)

X-DpdR(K)=m-1=X-Dpd(M)-1

命題1設(shè)R-模M的X-丁投射維數(shù)有限,n是整數(shù).下列條件等價(jià):

1)X-DpdR(M)≤n;

4) 若存在正合列0→Kn→Gn-1→…→G0→M→0,其中Gi是X-丁投射模,則Kn也是X-丁投射模.

進(jìn)而,X-DpdR(M)可由下列公式計(jì)算:

2)?3) 顯然.

A=∶0→C′1→G′0→Kn→0

其中C′1=Ker(G′0→Kn)

B=∶0→C′2→G′1→C′1→0

其中C′2=Ker(G′1→G′0)

…

X=∶0→G′m→G′m-1→C′m-1→0

其中C′m-1=Ker(G′m-2→G′m-3)

對(duì)于任意平坦模F,用HomR(-,F)分別作用短正合列A,…,X,再由長(zhǎng)正合序列定理有

其中m>0且為整數(shù).由維數(shù)推移公式可知,

從而

故

由定理5知C′1,…,C′m-1,Kn是X-丁投射模.

4)?1) 因?yàn)镵n是X-丁投射模,所以

X-DpdR(M)≤n

結(jié)論得證.

定理7設(shè)M是具有有限X-丁投射維數(shù)的R-模,且X-DpdR(M)=n,則M存在滿的X-丁投射預(yù)覆蓋φ:G→M.記K=Kerφ,則pdRK=n-1.

證明因?yàn)閄-DpdR(M)=n,所以存在正合列0→Cn→…→C0→M→0,其中Ci是X-丁投射模,0≤i≤n.對(duì)M作投射分解,存在正合列

其中K′=Kerdn-1,Pi是投射模,0≤i≤n-1.由引理4可知,K′是X-丁投射模.根據(jù)X-丁投射模定義,存在零調(diào)復(fù)形

…→Q-1→Q0→Q1→…→Qn-1→Qn→…

使得有正合列0→K′→Q0→Q1→…→Qn-1→G→0,其中G是X-丁投射模,Qi是投射模,其中i>0且是整數(shù).對(duì)任意R-模F∈X,用HomR(-,F)作用保持正合.因此存在同態(tài)Qi→Pn-1-i,0≤i≤n-1,和同態(tài)f:G→M,交換圖如圖8所示.

圖8 交換圖Fig.8 Commutative diagram

于是可誘導(dǎo)出復(fù)形的鏈映射,如圖9所示.

圖9 交換圖Fig.9 Commutative diagram

0→HomR(C′,K)→HomR(C′,P0⊕G)

并且HomR(C′,φ)是滿的,即φ是M的X-丁投射預(yù)覆蓋.

推論4設(shè)M是具有有限X-丁投射維數(shù)的R-模,且X-DpdR(M)=n.若存在短正合列0→M→H→G→0使得pdR(H)=n,則G是X-丁投射模.

證明對(duì)n分類討論,有以下情形:

若n=0,即X-DpdR(M)=0,則M是X-丁投射模,由X-丁投射模定義,必然存在短正合列0→M→H→G→0,其中H是投射模,所以pdR(H)=0.

若n>0,由定理7,存在短正合列0→K→G′→M→0,其中G′是X-丁投射模,K=Ker(G′→M)且pdR(K)=n-1.對(duì)于X-丁投射模G′,存在短正合列0→G′→P→G→0,其中P是投射模,G是X-丁投射模.考慮交換圖，如圖10所示.

圖10 交換圖Fig.10 Commutative diagram

因?yàn)閜dR(K)=n-1,且P是投射模,所以pdR(H)≤n.

若n=1,pdR(K)=n-1=0,則K是投射模,因此pdR(H)=1.否則pdR(H)=0,則H是投射模即為X-丁投射模,又因?yàn)镚是X-丁投射模,由X-丁投射模類是投射可解的,所以M是X-丁投射模,矛盾.

若n>1,對(duì)于短正合列0→K→P→H→0,pdR(H)=pdR(K)+1=n.

命題2對(duì)任意R-模M和M′,

證明設(shè)X-DpdR(M)=m,X-DpdR(M′)=n,其中m,n均是整數(shù)且m

將上述兩個(gè)正合列作直和可得正合列

0→Gn′→…→Gm⊕G′m→…→

G0⊕G0′→M⊕M′→0

由于X-丁投射模類對(duì)直和封閉,所以G0⊕G′0,…,Gm⊕G′m是X-丁投射模.因此,

X-DpdR(M⊕M′)=n

設(shè)M′是N的直和項(xiàng),只需證明X-DpdR(M′)≤X-DpdR(N)即可.設(shè)X-DpdR(N)=n.對(duì)n進(jìn)行歸納假設(shè):當(dāng)n=0時(shí),由于X-丁投射模保持直和項(xiàng)封閉,所以N是X-丁投射模.當(dāng)n>0時(shí),設(shè)N=M⊕M′,選取正合列

0→K′→G′→M′→0,0→K″→G″→M→0

其中G′,G″是投射模,K′=Ker(G′→M′),K″=Ker(G″→M).則有下列交換圖,如圖11所示.

圖11 交換圖Fig.11 Commutative diagram

由同調(diào)代數(shù)基本定理知,序列0→K′⊕K″→G′⊕G″→N→0正合.因?yàn)閄-DpdR(N)=n>0,所以N不是X-丁投射模.由定理6可知:

X-DpdR(K′⊕K″)=X-DpdR(M)-1=n-1

因此,由假設(shè)歸納,X-DpdR(K′)≤n-1.又因?yàn)槎陶狭?→K′→G′→M′→0中G′是X-丁投射模,所以X-DpdR(M′)≤n.從而

X-DpdR(M′)≤X-DpdR(N)

結(jié)論得證.

命題3設(shè)0→A→B→C→0是短正合序列,若A,B,C中任意兩個(gè)X-丁投射維數(shù)有限,則第三個(gè)也有限.

證明1) 若X-DpdR(A)≤n,X-DpdR(C)≤m,m≤n.由命題1,對(duì)任意平坦模Q,有

用HomR(-,Q)作用正合列0→A→B→C→0,由長(zhǎng)正合序列定理,有

2) 若X-DpdR(A)≤n,X-DpdR(B)≤m,m≤n.

3) 或X-DpdR(B)≤n,X-DpdR(C)≤m,m≤n.

2)、3)證明類似于1),分別可知C與A的X-丁投射維數(shù)有限.結(jié)論得證.

定理8若GX-Dpd(R)<∞,則(X-DP(R),(X-DP(R))⊥)是完備遺傳余撓對(duì).

因此,(X-DP(R),(X-DP(R))⊥)是遺傳余撓對(duì).對(duì)于正合列0→K→G→M→0,其中K∈(X-DP(R))⊥,G是X-丁投射模.由完備余撓對(duì)定義,(X-DP(R),(X-DP(R))⊥)是完備遺傳余撓對(duì).