組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片非線性大撓度分析

韓明君, 周朝逾, 李鴻瑞, 馬連生

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

波紋管是應(yīng)用于密封系統(tǒng)中的一類彈性元件,波紋管管壁比較薄,靈敏度比較高,主要應(yīng)用于補(bǔ)償管線熱變形、減震、吸收管線沉降變形等作用,在波紋管密封系統(tǒng)領(lǐng)域的研究中,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做出了很大的突破[1-5].對(duì)波紋管應(yīng)力及變形等方面的研究采用的方法很多,Aleksander等[6]把在軸對(duì)稱載荷作用下波紋管認(rèn)為是波紋的旋轉(zhuǎn)殼，研究了U形膨脹波紋管在內(nèi)壓載荷作用下的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài).丁雪興等[7]利用 ANSYS程序?qū)C(jī)械密封焊接金屬波紋管波紋膜片進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析,求出了固有頻率和振型,為波紋管的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析提供了依據(jù).黃乃寧等[8]用應(yīng)變壽命法對(duì)金屬波紋管的壽命進(jìn)行了研究，并且得出不同材料的性能對(duì)金屬波紋管的壽命造成不同程度的影響，比較準(zhǔn)確的分析出金屬波紋管的疲勞壽命，有效地提高了波紋管的使用水準(zhǔn).Faraji等[9]利用商業(yè)軟件(ABAQUS/EXPLICIT)對(duì)金屬波紋管進(jìn)行有限元模擬,以找出最佳設(shè)計(jì)參數(shù).使用估計(jì)的設(shè)計(jì)參數(shù)得出可接受的產(chǎn)品.在實(shí)驗(yàn)分析中得出產(chǎn)品的質(zhì)量與回彈量、冠徑和厚度分布關(guān)系.Marcal等[10]采用NON-LIN 程序,考慮了彈塑性和大位移,以波紋管承載后的變形測(cè)量為基礎(chǔ),評(píng)定U型和焊接膜片波紋管.樊大鈞等[11]用無(wú)量綱變尺度優(yōu)化的數(shù)值積分初參數(shù)方法和自編程序,對(duì)焊接圓弧波紋管的線性和非線性特性進(jìn)行了分析.

以上文獻(xiàn)都是用有限元數(shù)值模擬的方法分析了工程中的一些問題,但是由于波紋管結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,這些方法缺乏解析法所具有的通用性.對(duì)波紋管結(jié)構(gòu)模型用解析法研究的較少[12],最早是依賴于簡(jiǎn)單的梁模型近似法,Freely等[13]通過將錐形殼體近似簡(jiǎn)化為平板,采用梁理論對(duì)焊接膜片波紋管的應(yīng)力進(jìn)行了分析.Dinno等[14]提出了一種計(jì)算軸對(duì)稱載荷作用下厚殼回轉(zhuǎn)體下限極限壓力的方法.通過該方法求出了有限幾何參數(shù)范圍內(nèi)的結(jié)果.王新志等[15]根據(jù)薄殼非線性動(dòng)力學(xué)理論,用修正迭代法求解出二次近似解析解,把大撓度解作為扁球薄殼的初撓度處理,推導(dǎo)出了扁球薄殼在大撓度下的非線性動(dòng)力學(xué)基本方程.

由于運(yùn)用解析法對(duì)波紋管膜片求解的難度比較大,本文通過連續(xù)化方法建立組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的精確力學(xué)模型,將其簡(jiǎn)化為具有初撓度的圓環(huán)薄板,通過薄殼的非線性大撓度理論[16],求解了扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的無(wú)量綱控制方程,利用迭代原理,根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件,得到了精確度較高的二次解析解,討論了扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的不同傾斜角斜邊波形、圓弧部分不同矢高以及圓弧部分不同波長(zhǎng)在膜片最大變形處的撓度和載荷的關(guān)系,波紋管的微小變形將直接影響密封氣膜流場(chǎng),從而對(duì)密封性能產(chǎn)生影響,優(yōu)化波紋管可以提高密封性能.此分析結(jié)果對(duì)干氣密封系統(tǒng)中波紋管的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值,可以在工程中根據(jù)實(shí)際的需要選取合適的波紋管.

1 基本方程和邊界條件

將組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片看作是具有初撓度的圓環(huán)板結(jié)構(gòu),根據(jù)連續(xù)化方法對(duì)膜片進(jìn)行非線性大變形分析,扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片是一個(gè)呈軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的圓環(huán)薄殼,膜片的立體視圖如圖1所示,由于膜片傾斜角的角度不同,從而使其波形結(jié)構(gòu)也不同.膜片不同傾斜角斜邊波形如圖2所示,取45°斜邊波形膜片模型簡(jiǎn)化圖如圖3所示.具有初撓度組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的厚度為t,膜片的內(nèi)外半徑分別為d、a,組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片中圓弧波長(zhǎng)為2R,矢高為h,扁圓錐殼部分膜片的矢高為f,膜片的外邊界固定,內(nèi)邊界自由.膜片受到均布載荷q和集中力P的作用,對(duì)如圖4所示的膜片進(jìn)行非線性大變形計(jì)算分析.由于波紋管結(jié)構(gòu)為膜片內(nèi)位焊接而成,故其變形可以簡(jiǎn)化為一端固定一端自由.將組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片看作是具有初撓度的圓環(huán)薄板,建立坐標(biāo)系：r為徑向坐標(biāo),w為撓度,Nr為徑向薄膜力.

圖2 波紋管膜片波形圖Fig.2 Bellows diaphragm waveform

圖3 波紋管膜片模型簡(jiǎn)化圖Fig.3 Simplified diagram diaphragm’s model

圖4 膜片力學(xué)模型

通常將扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片中的扁錐殼部分和圓弧部分認(rèn)為是圓環(huán)薄板所具有的初撓度,取

(1)

式中:wa為組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片在扁錐殼部分的初撓度;wb為組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片在圓弧部分的初撓度.

組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的基本方程組如下[17-18]：

扁圓錐殼部分滿足如下方程組:

(2)

圓弧膜片部分的基本方程組：

(3)

圓環(huán)板部分的基本方程組：

(4)

周邊固定處邊界條件為

(5)

自由周邊處邊界條件為

(6)

連續(xù)處邊界條件為

式中

(·)(1)表示組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片具有初撓度扁圓錐殼部分；

(·)(2)表示組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片具有初始撓度的圓弧部分；

(·)(3)表示組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片內(nèi)部無(wú)初撓度圓環(huán)薄板部分.

為了計(jì)算方便,引入下列無(wú)量綱量:

引入三個(gè)階梯函數(shù)ρ1、ρ2、ρ3后,將方程(2～4)可簡(jiǎn)潔的進(jìn)行合并,將引入的無(wú)量綱量代入所合并的方程組,便可得到無(wú)量綱控制方程,具體表示如下：

(9)

此即無(wú)量綱化后的控制方程.方程中的3個(gè)階梯函數(shù)為

由無(wú)量綱表示的邊界條件如下:

固定周邊處

(10)

自由周邊處

(11)

連續(xù)處

2 對(duì)基本方程求解

組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的扁圓錐殼部分位于膜片固定端；而膜片的圓弧部分則位于膜片中間部分,將膜片的扁圓錐殼部分和圓弧部分看作是由具有初撓度的圓環(huán)薄板,波紋管膜片由扁圓錐殼、圓弧、圓環(huán)板三部分組合而成.利用修正迭代法對(duì)膜片的撓度W進(jìn)行二次近似求解,可以得到組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的非線性解析值.

2.1 具有初撓度扁圓錐殼部分膜片的基本方程求解

當(dāng)b/a≤x≤1時(shí),扁圓錐殼部分膜片的基本方程為

(14)

利用修正迭代法對(duì)基本方程(14)進(jìn)行求解.

對(duì)于一次近似,有

(15)

(16)

(17)

式中

對(duì)于二次近似,有

(18)

2.2 具有初始撓度的圓弧部分的基本方程求解

當(dāng)c/a≤x≤b/a時(shí),圓弧部分膜片的基本方程為

(19)

利用修正迭代法對(duì)基本方程(19)進(jìn)行求解.對(duì)于一次近似,有

(20)

對(duì)于二次近似,有

(23)

2.3 內(nèi)部無(wú)初撓度圓環(huán)薄板部分的基本方程求解

當(dāng)d/a≤x≤c/a時(shí),圓環(huán)薄板膜片的基本方程為

(24)

利用修正迭代法對(duì)基本方程(24)進(jìn)行求解.對(duì)于一次近似,有

(25)

式中

對(duì)于二次近似,有

(28)

3 數(shù)值計(jì)算和結(jié)果分析

選取合適的組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的材料,組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的外徑確定為a=80 mm,內(nèi)徑確定為d=65 mm,圓弧部分膜片的波長(zhǎng)為2R,波紋管膜片的彈性模量E=187 GPa,泊松比μ=0.3,膜片的壁厚為t=0.15 mm.將這些參數(shù)代入到上式各級(jí)表達(dá)式中,通過對(duì)應(yīng)關(guān)系求得各個(gè)表達(dá)式的積分常數(shù),取波紋管膜片在最大變形處的撓度為W0,得出結(jié)果如下：

通過對(duì)方程組的二次近似求解可得到扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的撓度與載荷的非線性關(guān)系,因此當(dāng)組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的波長(zhǎng)、矢高都為設(shè)定值,波紋管膜片在最大變形處發(fā)生大撓度變形時(shí),膜片不同傾斜角的斜邊的波形在圓弧最大撓度處的載荷和撓度呈現(xiàn)非線性關(guān)系,不同傾斜角的斜邊波紋管膜片最大變形處撓度W0和載荷Q2的非線性特征曲線如圖5所示.

圖5 波紋管膜片在不同傾斜角波片下的大撓度平衡路徑Fig.5 Large deflection balance path of bellows diaphragm under different inclination angles diaphragm

由圖5可以看出組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片在不同傾斜角波片下膜片最大變形處撓度的非線性特征關(guān)系,反映了不同載荷和不同傾斜角的波片作用下膜片的彎曲情況.圖5a表示在均布載荷(β1=1,β2=0)作用下、圓弧部分的波長(zhǎng)為定值(2R=4 mm)以及圓弧的矢高固定(h=0.5 mm)時(shí),波紋管膜片的傾斜角分別取γ=0°、30°、45°、60°時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系；圖5b表示在集中力(β1=0,β2=1)作用下、圓弧部分的波長(zhǎng)為定值(2R=4 mm)以及圓弧的矢高固定(h=0.5 mm)時(shí),波紋管膜片的傾斜角分別取γ=0°、30°、45°、60°時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系.圖5c表示在復(fù)合載荷(β1=1,β2=1)作用下、圓弧部分的波長(zhǎng)為定值(2R=4 mm)以及圓弧的矢高固定(h=0.5 mm)時(shí),波紋管膜片的傾斜角分別取γ=0°、30°、45°、60°時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系.通過特征關(guān)系可知,當(dāng)膜片無(wú)傾斜角(γ=0°)時(shí),膜片受到載荷時(shí)最容易發(fā)生變形,隨著波紋管膜片傾斜角的增大(γ=30°,γ=45°,γ=60°),波紋管膜片的承載能力越強(qiáng),隨著圓弧撓度的增加,膜片發(fā)生變形時(shí)所需要的載荷呈現(xiàn)的非線性增加.

當(dāng)波紋管膜片傾斜角的斜邊波形固定不變時(shí),圓弧部分不同矢高的波紋管膜片在圓弧最大撓度處的載荷和撓度呈現(xiàn)非線性關(guān)系,其波紋管膜片最大變形處撓度W0和載荷Q2的非線性特征曲線如圖6所示.

圖6 波紋管膜片在矢高變化下膜片的大撓度平衡路徑Fig.6 Large deflection balance path of bellows diaphragm under variation of vector height

圖6反映出當(dāng)組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片傾斜角固定(γ=45°)以及圓弧部分膜片波長(zhǎng)(2R=4)固定不變的情況下,不同載荷在不同矢高作用下膜片的撓度變化情況.圖6a表示在均布載荷作用下(β1=1,β2=0)、圓弧部分的波長(zhǎng)為定值(2R=4 mm)以及膜片傾斜角(γ=45°)固定時(shí),組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片圓弧部分的矢高分別取h=0、0.25、0.5、0.75 mm時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系；圖6b表示在集中力作用下(β1=0,β2=1)、圓弧部分的波長(zhǎng)為定值(2R=4 mm)以及膜片傾斜角(γ=45°)固定時(shí),組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片圓弧部分的矢高分別取h=0、0.25、0.5、0.75 mm時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系；圖6c表示在復(fù)合載荷作用下(β1=1,β2=1)，圓弧部分的波長(zhǎng)為定值(2R=4 mm)以及固定端膜片傾斜角(γ=45°)固定時(shí),組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片圓弧部分的矢高分別取h=0、0.25、0.5、0.75 mm時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系.通過特征關(guān)系可知,當(dāng)膜片圓弧部分的矢高為h=0 mm時(shí)(即圓弧部分變?yōu)閳A環(huán)板時(shí)),膜片受到載荷時(shí)越容易發(fā)生變形；隨著波紋管膜片圓弧矢高的增加(h=0.25、0.5、0.75 mm),膜片受到載荷作用時(shí)使膜片發(fā)生的變形達(dá)到平衡路徑越容易,膜片的承載能越強(qiáng)；隨著圓弧撓度的增加,膜片發(fā)生變形所需要的載荷呈現(xiàn)的非線性增加.

當(dāng)波紋管膜片傾斜角的斜邊的波形和圓弧部分矢高固定時(shí),圓弧部分不同波長(zhǎng)的膜片在圓弧最大撓度處的載荷和撓度呈現(xiàn)非線性關(guān)系,其紋管膜片最大變形處撓度W0和載荷Q2的非線性特征曲線如圖7所示.

圖7反映了圓弧部分不同波長(zhǎng)的膜片在圓弧最大撓度處不同載荷作用下載荷和撓度呈現(xiàn)非線性彎曲情況.圖7a表示在均布載荷作用下(β1=1,β2=0)圓弧部分的矢高為定值(h=0.75 mm)以及固定端膜片扁錐殼部分的傾斜角(γ=45°)固定時(shí),組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片圓弧部分的波長(zhǎng)分別取2R=4、5、6 mm時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系；圖7b表示在集中力作用下(β1=0,β2=1)圓弧部分的矢高為定值(h=0.75 mm)以及固定端膜片扁錐殼部分的傾斜角(γ=45°)固定時(shí),組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片圓弧部分的波長(zhǎng)分別取2R=4、5、6 mm時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系；圖7c表示在集中力作用下(β1=1,β2=1)，圓弧部分的矢高為定值(h=0.75 mm)以及固定端膜片扁錐殼部分的傾斜角(γ=45°)固定時(shí),組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片圓弧部分的波長(zhǎng)分別取2R=4、5、6 mm時(shí)撓度與載荷的非線性關(guān)系；通過特征關(guān)系可知,隨著波紋管膜片圓弧波長(zhǎng)的增加(2R=4、5、6 mm),膜片受到載荷作用時(shí)使膜片發(fā)生的變形達(dá)到平衡路徑也越容易,膜片的承載能力也隨之越強(qiáng)；隨著圓弧撓度的增加,膜片發(fā)生變形所需要的載荷呈現(xiàn)的非線性增加.

圖7 波紋管膜片圓弧部分波長(zhǎng)變化下膜片的大撓度平衡路徑

4 結(jié)論

1) 扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片具有類似于均勻材料圓環(huán)薄板的載荷與撓度的關(guān)系,在等效連續(xù)化方法的基礎(chǔ)上,將扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片膜片看作是連續(xù)的圓環(huán)薄板,采用修正迭代法求解了波紋管膜片的非線性大變形問題.為波紋管結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供了重要依據(jù).

2) 隨著載荷的增大,扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片的撓度也逐漸增大,同時(shí),波紋管膜片扁錐殼部分的膜片的傾斜角對(duì)其變形有很大的影響；隨著膜片傾斜角的增大,最大變形處的撓度也相應(yīng)增大,膜片的撓度非線性增大.同樣可以得出,隨著波紋管膜片圓弧部分的矢高的增加,膜片的撓度非線性增大,隨著波紋管膜片的弧長(zhǎng)變長(zhǎng),膜片的撓度非線性增大.波紋管膜片中圓弧部分的矢高越大,膜片的承載能力就會(huì)越強(qiáng)；圓弧部分波長(zhǎng)越長(zhǎng),膜片的承載能力就會(huì)越強(qiáng).

3) 扁圓錐殼-圓弧-圓環(huán)板組合結(jié)構(gòu)波紋管膜片發(fā)生的變形不僅與膜片本身具有的性質(zhì)有關(guān),而且與膜片的結(jié)構(gòu)形狀也有關(guān),扁圓錐殼部分的尺寸比例也起著比較關(guān)鍵的作用,合理的選擇波紋管膜片的波形及其矢高和波長(zhǎng),可以優(yōu)化波紋管的使用價(jià)值,使干氣密封的效果達(dá)到最佳.