淺析讓學(xué)生從實(shí)踐中體會(huì)模型思想的重要性

鄒玉屏

摘 要：模型思想是新課標(biāo)提出的十大核心概念之一，是一種數(shù)學(xué)的基本思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，模型無處不在。為了使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，借助方尖碑這一直觀模型，讓學(xué)生通過參與“提出問題—交流研討—解決問題—回顧反思”等實(shí)踐過程，深刻地體會(huì)了在同一時(shí)刻，不同物體和影長(zhǎng)的比值相等，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型就是相似三角形中對(duì)應(yīng)兩條邊的比值相等。而測(cè)量出方尖碑影長(zhǎng)后，就可以計(jì)算出方尖碑的高度。這一過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，加深了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，也收獲了解決問題的成就感。

關(guān)鍵詞：模型思想;直觀模型;相似三角形;比值

模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一。2011版《課標(biāo)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。數(shù)學(xué)思想的建立對(duì)于學(xué)生終生發(fā)展起著非常重要的作用。然而課堂上教師對(duì)碎片化的學(xué)習(xí)資源反復(fù)講解，小學(xué)生還是沒有感覺，沒有感悟，更沒有體會(huì)。其實(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)中很多知識(shí)與學(xué)生的生活緊密聯(lián)系，可以從生活中找到原型。

一、提出問題

重慶兩江幸福廣場(chǎng)的方尖碑是有名的建筑之一，該如何測(cè)量它的高度呢？在學(xué)習(xí)了三角形的知識(shí)后，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以方尖碑與方尖碑影長(zhǎng)為直角邊，連接兩條邊的端點(diǎn)就可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形，能否用直角三角形的知識(shí)來解決這一問題呢？于是我們帶著問題，進(jìn)行了實(shí)地測(cè)查。

二、交流討論

（一）在操作中抽象

我們利用一個(gè)周末的早上，帶上了1米的標(biāo)桿和卷尺來到了現(xiàn)場(chǎng)，我們發(fā)現(xiàn)將測(cè)量參照物和被測(cè)量物體同時(shí)照射在太陽下，形成各自的影子，然后在地面同時(shí)標(biāo)記出不同對(duì)象影子的位置，再去分別測(cè)量這一時(shí)刻影子和被測(cè)量物體影子的長(zhǎng)度。著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“圖形是一種重要的幫手，它是直觀表征題意和學(xué)生思維的載體?！庇谑俏乙龑?dǎo)學(xué)生將這一過程用畫圖的方式進(jìn)行思考。

（二）在畫圖中推理

學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)角度一樣，大小不同的三角形底邊和高之間有一定的規(guī)律。“標(biāo)桿影子長(zhǎng)度與標(biāo)桿高度倍數(shù)≈每個(gè)人影子長(zhǎng)度與每個(gè)人身高倍數(shù)”，可以根據(jù)測(cè)量參照物高度和影子的比例關(guān)系，再根據(jù)測(cè)量出的被測(cè)量物理影子長(zhǎng)度，就可以計(jì)算出被測(cè)量物的高度了。

三、解決問題

經(jīng)過我們實(shí)際測(cè)量與畫圖推理，接下來應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)入模型的建立了。

（一）方法驗(yàn)證：

我們先測(cè)量參照物和我們自已的影子，分別為1.15米，1.73米、1.84米和1.68米，再求出影子與對(duì)應(yīng)的各個(gè)身高的倍數(shù)，結(jié)果表明，這四組數(shù)據(jù)的倍數(shù)都相同。學(xué)生們初步建立了直觀模型，我又引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了直觀聯(lián)想。方尖碑的影長(zhǎng)如何測(cè)量？它的影長(zhǎng)和高度的比值又該以哪個(gè)為準(zhǔn)呢？方尖碑的高度還跟什么有關(guān)呢？

（二）方尖碑測(cè)量：

1、為保證數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，測(cè)量了三次;2、測(cè)量數(shù)據(jù)單位為米

因?yàn)椴僮鞯姆奖愫蜕疃鹊乃伎?，學(xué)生們經(jīng)過討論和探究，從根據(jù)驗(yàn)證得到的規(guī)律，以第一次測(cè)量出測(cè)量參照物的影子長(zhǎng)度為1米開始，開始測(cè)量碑的高度，因?yàn)槿绻妹壮邅碇苯訙y(cè)量有點(diǎn)麻煩，學(xué)生們就想到了轉(zhuǎn)化的方法。先在影子的尖那里用粉筆畫一個(gè)點(diǎn)，再看從點(diǎn)到方尖碑的終點(diǎn)有多少塊磚，每塊磚長(zhǎng)0.8米，一共有58塊磚，58×0.8=46.4米。第一次測(cè)出來的影子長(zhǎng)46.4米。方尖碑影子的長(zhǎng)度是46.4米，情況說明現(xiàn)在太陽正好形成了一個(gè)45度的角。這時(shí)正好是等腰直角三角形，所以第一次方尖碑高度的測(cè)量情況是46.4米。

接下來學(xué)生又展開了第二次測(cè)量。第二次竿子的影子長(zhǎng)0.85米，它的實(shí)際長(zhǎng)度約是影子的1.18倍，而第二次方尖碑的影子長(zhǎng)42.4米與42.27米（來源于兩人分別同時(shí)測(cè)量的數(shù)據(jù)）。磚的數(shù)量有53塊，影子就長(zhǎng)42.4米，最后取平均數(shù)得出來49.96米。

我們第三次測(cè)量，竿子影子長(zhǎng)0.73米，實(shí)際長(zhǎng)度約是影子的1.37倍，此時(shí)方尖碑的影子長(zhǎng)為35.20米、34.39米和35.18米（來源于3人分別同時(shí)測(cè)量的數(shù)據(jù)），同樣利用倍數(shù)關(guān)系算出方尖碑高度分別為48.22米、47.12米、48.20米。我們?nèi)∑骄鶖?shù)得47.85米。

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，為了科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。我們經(jīng)過多組數(shù)據(jù)的測(cè)量和計(jì)算，得出“參照物高度和影子的比值=被測(cè)量物的高度與被測(cè)量物影子長(zhǎng)度比值”這一數(shù)學(xué)模型。若要求被測(cè)量物的高度，就可以采用這一關(guān)系式“參照物高度和影子的比值×被測(cè)量物影子長(zhǎng)度比值”來解決問題。

四、回顧反思

我們利用相似三角形的對(duì)應(yīng)兩邊的比值相等這一模型，將三次測(cè)量計(jì)算得到結(jié)果平均后，我們算出方尖碑高48.07米。后來經(jīng)過查閱資料，方尖碑實(shí)際高度為50米，為什么有偏差呢？經(jīng)過我們分析偏差的主要原因有以下幾點(diǎn)：

第一，在太陽的照射下，方尖碑頂端尖端部分因?yàn)樘≡诘孛鏇]有形成影子;第二，地面的影子因?yàn)殛柟獾纳⑸洌白雍痛u平行;第三，也可能我們測(cè)量時(shí)沒有做到精準(zhǔn)測(cè)量，存在誤差。

我們生活的世界是豐富多彩的，這一場(chǎng)數(shù)學(xué)之旅幫助學(xué)生插上思維的翅膀，用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，在動(dòng)手動(dòng)腦的實(shí)踐活動(dòng)中，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的品質(zhì)，提高了學(xué)生的直觀想象和建模能力，促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。這樣的“數(shù)學(xué)之旅”我希望在以后的教學(xué)生涯中多嘗試，多實(shí)施。

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