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    源于教材巧改編 基于標(biāo)準(zhǔn)育無痕

    2020-09-10 07:23:10黃雙華
    關(guān)鍵詞:幾何直觀核心素養(yǎng)

    摘? 要:2019年中考廣東卷第24題集幾何證明與幾何計算于一體,源于教材、梯度合理、知識綜合、表述簡潔,有效考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),對一線教師的課堂教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用.

    關(guān)鍵詞:源于教材;幾何直觀;核心素養(yǎng)

    一、試題呈現(xiàn)

    題目 (2019年廣東卷)如圖1,在[△ABC]中,[AB=AC,] [⊙O]是[△ABC]的外接圓,過點C作[∠BCD=][∠ACB]交[⊙O]于點D,連接AD交BC于點E,延長DC至點F,使[CF=AC,] 連接AF.

    (1)求證:[ED=EC;]

    (2)求證:AF是[⊙O]的切線;

    (3)如圖2,若點G是[△ACD]的內(nèi)心,[BC ? BE=25,]求BG的長.

    二、試題特色

    1. 巧妙對接地氣,源于教材改編

    此題考查了等腰三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓的切線的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識點. 解答的關(guān)鍵是正確添加輔助線,完成幾何圖形的構(gòu)建.

    解決第(2)小題,需連接OA,OB,OC,構(gòu)造出箏形,由箏形的性質(zhì)(一條對角線平分對角,并且垂直平分另一條對角線)可知[BC⊥OA.] 而箏形源自人教版《義務(wù)教育教科書 · 數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“教材”)八年級上冊第十二章“全等三角形”數(shù)學(xué)活動中的活動2“用全等三角形研究箏形”.

    第(3)小題源自教材九年級上冊第二十四章“圓”復(fù)習(xí)題24中的第13題:如圖3,點E是[△ABC]的內(nèi)心,AE的延長線和[△ABC]的外接圓相交于點D,求證:[DE=DB.] [A][B][C][D][E][圖3]

    此題的第(3)小題是將教材習(xí)題中的幾何證明改成了幾何計算,在解決問題的過程中用到的知識和方法大致相同,但需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)[BA=BG]并證明,使得第(3)小題的思維含量進(jìn)一步提升. 這種“源于教材,又高于教材”的命題原則,不僅體現(xiàn)了命題者對教材的尊重,也讓學(xué)生在緊張的考試中,因見到如此“接地氣”的試題,而使緊張的情緒有所緩解,并能引領(lǐng)教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中回歸教材,認(rèn)真研究和挖掘教材中例題和習(xí)題的深層次價值,啟示學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中以教材為本、重視教材、吃透教材,深刻領(lǐng)悟教材中例題和習(xí)題所蘊(yùn)涵的思想與價值.

    2. 指向核心素養(yǎng),思維拾級而上

    題目表述簡潔,三道小題層次分明、梯度明顯,思維水平拾級而上.

    第(1)小題起點較低,立意基礎(chǔ),學(xué)生容易解決,解答思路自然. 主要考查圓周角定理、等角對等邊等基礎(chǔ)知識,以及等量轉(zhuǎn)化思想. 具體證明過程如下.

    證明:因為[AB=AC,]

    所以[AB=AC.]

    所以[∠ACB=∠D.]

    又因為[∠BCD=∠ACB,]

    所以[∠BCD=∠D.]

    所以[ED=EC.]

    第(2)小題難度適度提升. 通過多條輔助線的添加,完成箏形的構(gòu)建. 此題考查圓的切線判定、平行四邊形的判定等核心知識,體現(xiàn)能力立意.

    證明一條直線是圓的切線,通常有兩種方法:(1)作垂線、證半徑;(2)連半徑、證垂直. 其中,證垂直較常見的方法是平行線法(即證明[AF∥BC]和[OA⊥BC]).

    學(xué)生可借助幾何直觀,發(fā)現(xiàn)四邊形[ABCF]為平行四邊形或[AF∥BC,] 找到正確的思考路徑,逐步推導(dǎo). 證明過程如下.

    證明:因為[∠BAD=∠BCD,∠BCD=∠D,]

    所以[∠BAD=][∠D.]

    所以[AB∥DF.]

    又因為[CF=AC,AC=AB,]

    所以[AB=CF.]

    所以四邊形[ABCF]為平行四邊形.

    所以[AF∥BC.]

    如圖4,連接[OA,OB,OC,] 得[OB=OC.]

    因為[AB=AC,]

    所以O(shè)A是線段BC的垂直平分線.

    所以[OA⊥BC.] 所以[AF⊥OA.]

    因為OA為[⊙O]的半徑,

    所以AF是[⊙O]的切線.

    第(3)小題屬于幾何計算題. 顯然,當(dāng)幾何證明題具備了條件和結(jié)論,可以運(yùn)用“兩頭湊”的思想方法來指導(dǎo)證明思路,而幾何計算題只給出條件,讓學(xué)生去推理計算,使得題目的思維含量進(jìn)一步提升,突出了對數(shù)感、符號意識、幾何直觀、邏輯推理、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

    首先,緣于數(shù)感,由[BC ? BE=25,] 猜想某條邊長的平方為25.

    其次,基于數(shù)學(xué)建模,挖掘出[△ABE]和[△CBA]符合共邊共角的“母子型”相似模型. 因為[∠BAE=∠BCA,][∠ABE=][∠CBA,] 所以[△ABE∽△CBA.] 所以[BC ? BE=][AB2.] 易得[AB2=25]. 所以[AB=5.]

    再次,緣于直觀,猜想[BG=BA,] 再細(xì)心求證. 如圖5,連接AG,因為點G是[△ACD]的內(nèi)心,所以[∠EAG=∠CAG.] 所以[∠BAD+∠EAG=∠CAG+∠BCA,] 即[∠BAG=∠BGA.] 所以[BG=BA=5.]

    符號意識、幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)一直貫穿其中. 解題時,先是利用合情推理、幾何直觀,逐步推導(dǎo)梳理有用的結(jié)論,找到正確的思考路徑,再用演繹推理來完成解答過程. 在這個過程中,使學(xué)生積累了解決問題的基本活動經(jīng)驗,檢驗了學(xué)生是否有依據(jù)、有條理、有合乎邏輯的思維,不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,也落實了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

    3. 重視數(shù)學(xué)概念,關(guān)注數(shù)學(xué)理解

    很多學(xué)生不能準(zhǔn)確地對第(3)小題進(jìn)行解答,其中就有對數(shù)學(xué)概念理解不到位的原因,甚至有很多學(xué)生分不清三角形的內(nèi)心和外心. 關(guān)于圓的概念,教材指出:圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合. 學(xué)生在讀題和審題時如果能夠深刻理解圓的概念的本質(zhì)屬性,就可以想到[OB=OC,] 再進(jìn)一步聯(lián)想到軸對稱的性質(zhì),構(gòu)建箏形,就很容易發(fā)現(xiàn)[OA⊥BC.] 第(3)小題涉及了圓、相似三角形、三角形內(nèi)心等重要數(shù)學(xué)概念,促使學(xué)生在審題和解題過程中,不斷理解和完善相關(guān)概念,不斷整合和系統(tǒng)化數(shù)學(xué)知識體系,從而正確而深入地理解數(shù)學(xué)概念. 因此,關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)尤為重要. 在日常教學(xué)中,教師只有熟悉教材、回歸教材、講透概念,才能以不變應(yīng)萬變,幫助學(xué)生打下堅實的知識基礎(chǔ),進(jìn)而輕松應(yīng)對各種知識遷移性題目.

    三、教學(xué)導(dǎo)向

    1. 回歸教材,把握價值取向

    數(shù)學(xué)學(xué)科教育的價值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的核心知識和核心知識中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法上.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)是教師把握課堂教學(xué)價值的依據(jù). 解決此題的過程中用到了平行四邊形、三角形、圓、弧、圓周角、內(nèi)心、切線等相關(guān)概念,圓周角定理、圓的軸對稱性質(zhì)、切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)等,從《標(biāo)準(zhǔn)》的要求來看,以上內(nèi)容都屬于核心知識.

    第(2)小題對于[OA⊥AF]的證明有另一種參考答案為:如圖6,連接OA,因為[AB=AC,] 所以[AB=AC.] 因為OA為半徑,所以[OA⊥BC.] 再結(jié)合[AF∥BC,] 所以[OA⊥AF.] 并介紹說這種方法運(yùn)用的是垂徑定理及其推論.

    關(guān)于垂徑定理及其推論,教材是這樣處理的. 先給出垂徑定理(垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條?。?,再給出推論(平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條?。? 顯然,這并不是上述證明的依據(jù).

    垂徑定理反映的是圓的軸對稱性質(zhì),在證明圓是軸對稱圖形時順勢獲得了垂徑定理. 至于圓為什么是軸對稱圖形?為什么任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸?教學(xué)時不能把“折一折”就當(dāng)作證明. 教師可以采用“在圓上任取一點,證明它關(guān)于直徑所在的直線(對稱軸)的對稱點也在圓上”的方法進(jìn)行證明(詳見教材九年級上冊“24.1.2 垂直于弦的直徑”). 教材中介紹的方法是證明一個圖形是軸對稱圖形的常用方法,需要讓學(xué)生掌握.

    是什么原因讓一部分教師錯誤地認(rèn)為,這里采用的依據(jù)是垂徑定理及其推論呢?原來,可以將垂徑定理及其推論概括為:若一條直線,① 過圓心;② 垂直于弦;③ 平分弦;④ 平分弦所對的優(yōu)弧;⑤ 平分弦所對的劣弧. 滿足其中任意的兩項,則必滿足其余三項. 垂徑定理即“① + ②[→]③④⑤”;推論即“① + ③[→]②④⑤”. 經(jīng)這樣處理,“① + ⑤[→] ②③④”就也是其中的一條推論. 然而,這些性質(zhì)被《標(biāo)準(zhǔn)》和教材刪減,其背后的原因值得細(xì)思. 在日常教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會和歸納教材例題和習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生有效地利用數(shù)學(xué)思想方法解決相關(guān)問題的能力. 通過引導(dǎo)學(xué)生深入探究,享受數(shù)學(xué)之美,但是要避免出現(xiàn)解題方法和解題技巧的機(jī)械運(yùn)用,以及技能化、假過程的現(xiàn)象,更不能出現(xiàn)“脫離教材搞教學(xué)”的現(xiàn)象. 我們有充分的理由相信,基于《標(biāo)準(zhǔn)》的評價所倡導(dǎo)的對學(xué)生情感態(tài)度、方法能力、高階思維等方面的培養(yǎng)將會讓學(xué)生受益終身.

    由此可見,“教什么”反映了教師對教學(xué)內(nèi)容的理解. 只有先確定教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)價值,才能研究如何教學(xué). 因此,在日常教學(xué)中,教師應(yīng)基于《標(biāo)準(zhǔn)》、回歸教材,把握好教材的編寫意圖和教學(xué)內(nèi)容的教育價值,這樣才能在減輕學(xué)生過重負(fù)擔(dān)的基礎(chǔ)上提升課堂效率.

    2. 回歸理性,落實核心素養(yǎng)

    《標(biāo)準(zhǔn)》指出,教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ),面向全體學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索與合作交流,并關(guān)注對學(xué)生理性精神的培養(yǎng). 克萊因把數(shù)學(xué)看成是一種精神,一種理性精神. 齊民友說,每個論點都必須有根據(jù),都必須持之以理. 因此,教師在講授數(shù)學(xué)定理、解決數(shù)學(xué)問題時,既要讓學(xué)生知道直觀感知、合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、探索中的作用,也要讓學(xué)生感悟形式化演繹證明的力量,有意識地發(fā)展學(xué)生的理性思維能力,按照問題發(fā)展的一般規(guī)律來尋求解題思路,生成解題通法. 從感性認(rèn)識回歸到理性認(rèn)識,不但能讓學(xué)生達(dá)到從“知道正確的層面”到“崇尚理性需要證明”思想上的飛躍,還能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維習(xí)慣,提升學(xué)生的理性思維能力,進(jìn)而促使學(xué)生逐步養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度.

    參考文獻(xiàn):

    [1]齊民友. 數(shù)學(xué)與文化[M]. 長沙:湖南教育出版社,1991.

    收稿日期:2020-07-18

    作者簡介:黃雙華(1983— ),男,中學(xué)高級教師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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