大道至簡 點線同源

宋春 劉金英 趙國華

摘? 要：網格中的幾何作圖問題是近幾年中考天津卷探索的新題型，具有立意新穎、綜合性強、思維含量高等特點，能較好地考查學生的數學學科核心素養(yǎng). 文章以2020年中考天津卷第18題為載體，透過學生熟知的幾何模型，尋源頭、探解法，反思其中蘊含的道理.

關鍵詞：網格作圖;解法研究;尺規(guī)作圖;圖形變換

2020年中考天津卷第18題是一道有關無刻度直尺的網格作圖題，是一道創(chuàng)新題，思維含量高，靈活性強，區(qū)分度較高. 此題既考查了學生利用網格構圖、綜合運用數學知識解決問題的能力，又考查了點的位置的確定方法. 同時，有效地考查了學生理解數學語言，并準確運用數學語言表述作圖過程的能力.

一、試題呈現

題目 （2020年天津卷）如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網格中，[△ABC]的頂點[A，C]均落在格點上，點[B]在網格線上，且[AB=53].

（1）線段[AC]的長等于________ ;

（2）以[BC]為直徑的半圓與邊[AC]相交于點[D，] 若點[P，Q]分別為邊[AC，BC]上的動點，當[BP+PQ]取得最小值時，試用無刻度的直尺，在如圖1所示的網格中，畫出點[P，Q，] 并簡要說明點[P，Q]的位置是如何找到的（不要求證明）________ .

此題體現了《義務教育數學課程標準（2011年版）》對作圖的要求：在尺規(guī)作圖中，了解作圖的原理，保留作圖的痕跡. 同時，考查了學生通過網格綜合運用數學知識解決問題的能力，屬于“綜合與實踐”的范疇. 試題雖小，卻蘊涵著較高的思維內涵和深入研究的價值，為后續(xù)教學中教師的教和學生的學提供了極好的素材.

網格作圖問題承載著幾何直觀能力、發(fā)現與探究能力、邏輯推理與合情推理能力、計算能力、轉化能力等，同時，蘊涵著數形結合、數學建模等數學思想，是中考命題的熱點之一.

網格作圖問題有以下優(yōu)點：第一，有利于考查圖形與變換的性質;第二，有利于考查圖形與直觀;第三，有利于考查學生的綜合與實踐能力;第四，有利于考查學生的逆向思維能力;第五，有利于命題者打磨出精品試題;第六，有利于數學學科核心素養(yǎng)在網格問題中的落地.

二、試題研究

1. 探解法，變換角度尋路徑

第（1）小題，通過勾股定理即可求出線段AC的長. 第（2）小題是“單定點 + 雙動點”借助網格作線段長之和最小的問題. 通過作點B關于直線AC的對稱點[B′，] 再過點[B]作BC的垂線，且與AC的交點為P，垂足為點Q，即可找到點P，Q的位置. 解決問題的工具限定用無刻度的直尺，借助網格完成作圖，同時增加了半圓的背景，進一步提升了作圖方法的多樣性、靈活性、可操作性等.

第（1）小題中， 求得[AC=13.] 第（2）小題的作法與分析如下.

作法1：借助網格作線段長之和最小的問題.

如圖2，取格點[A′，C′，] 連接[A′C′，] 連接BD并延長，與[A′C′]相交于點[B′;] 連接[B′C，] 與半圓相交于點E，連接BE，與AC相交于點P，連接[BP]并延長，與BC相交于點Q，則點P，Q即為所求.

限于篇幅，現僅對第（2）小題中作出點B關于直線AC的對稱點[B]的作法加以推介，之后的步驟同作法1.

作法2：借助平行線分線段成比例定理作對稱點.

分析：連接BD. 因為BC為半圓的直徑，所以[BD⊥AC.] 要作點B關于直線AC的對稱點[B′，] 只需在BD的延長線上截取[DB′=DB]即可.

如圖3，取格點[A′，C′，] 連接[A′C′，BC′，] 連接BD并延長，與[A′C′]相交于點[B.] 線段[AC]與網格線相交于點[B，] 點[B]恰好在線段[BC]上，且[BB=BC.] 因為[AC∥AC]，則點[B]是點B關于直線AC的對稱點.

類似地，如圖4，在網格線上作出[AM=CN=53，] 來確定點[B]的位置.

或者，如圖5，在網格線上作出[MM=23，] 易證[MM∶MN=2∶3.] 連接BD并延長，與直線MN的交點即為點[B.]

或者，如圖6，過點B作水平線[BN，] 與AC相交于點K，易得[BK=KN=52，] [GF=13.] 取格點E，F，連接EF并延長與網格線相交于點[N，] 易證[GC∶GN=][2∶3.] 易得[NC∥AC.] 連接BD并延長，與[NC]的延長線的交點即為點[B.]

作法3：構造角平分線作軸對稱點.

分析：由于角平分線所在直線是角的對稱軸，如圖7，只需作[∠3=∠1.] 因為[∠1=∠2，] 所以[∠2=∠3.] 所以[KA=][KC.] 又因為[OA=][OC，] 所以[∠COK=90°.] 由圖7易證[△CON∽][CKO，] 可得[NK=ON2CN=94.] 所以[KH=14.]

如圖7，取格點E，F，連接EF交網格線于點K. 連接BD并延長，與AK相交的點即為點[B.]

類似地，如圖8，[OK]的延長線交網格線于點[K，] 易得[KK=12.] 從而得到[∠2=∠3.]

如圖8，取格點E，F，連接FE并延長，與網格線相交于點[K，] AC與網格線相交于點[O，] 連接[OK]，交[CK]于點K. 連接BD并延長與AK相交的點即為點[B.]

或者，如圖9，只需作[∠2=∠1，] 點[O]在[OK]上，易得[∠2=∠3.] 所以[∠3=∠1.] 于是，作[AH∥BC]即可.

如圖9，取格點F，G，M，連接FG交網格線于點H，連接GM并延長與網格線相交于點[K，] 連接[OK]交AH于點[O.] 連接[CO]，連接BD并延長，與[CO]的延長線的交點即為點[B.]

作法4：通過雙軸對稱作對稱點.

如圖10，先作點W關于直線AC的對稱點I，再作點B關于直線AC的對稱點[B.]

如圖10，取格點W，[W，A，C，] 連接[WW，AC，] 交點為點I，連接AI，連接BD并延長，其與AI的交點即為點[B.]

類似地，如圖11，先作點E關于直線AC的對稱點[E，] 再作點B關于直線AC的對稱點[B.]

如圖11，取格點E，F，[A，C，] 連接[EF，AC，] 交點為點[E]，連接[AE，] 連接BD并延長，與[AE]的延長線交點即為點[B.]

作法5：先算后作新發(fā)現.

如圖12，在圖10的基礎上，AC為線段WI的中垂線. 過點I作[IH⊥WC]于點H，易求得[AC=13，] [CE=][91313，] [WE=61313，] [WI=121313.] 利用等面積法，可得[IH=3613.] 由勾股定理，可得[WH=2413，] [HC=1513.] 所以[tan∠HCI=][125.] 因為 A，W，C，I四點共圓，可得[∠IAA=][∠HCI.] 所以[tan∠IAA=125.]

因此，在圖13中，[tan∠NAN=125，] 易得[NN=25.] 則射線AN與射線AB關于直線AC成軸對稱.

如圖13，取格點E，F，連接EF，與網格線相交于點N，連接AN，連接BD并延長，與AN相交的點即為點[B.]

作法6：脫離半圓作軸對稱點.

如圖14，利用網格作[NN=25，] 再作[AB=AB=53.]在[Rt△ANN]中，易求得[AN=135， ABAN=2539，] 則[ABBN=][2514，] 于是，作出[AI=52， NJ=75]即可確定點[B]的位置.

如圖14，取格點E，F，連接[EF，] 與網格線相交于點G;取格點H，連接HG，與網格線相交于點N;取格點[N，] M，J，連接[NM，] 與網格線相交于點I，連接IJ，與AN的交點即為點[B.]

作法7：借助平移作對稱點.

如圖15，先作點W關于直線AC的對稱點I，直線AC是WI的垂直平分線，再過點B作WI的平行線，即可確定點[B.]

如圖15，取格點[A，C，W，W，B，] 連接[AC，][WW，AB，AC]與[WW]相交于點I，[AB]與網格線相交于點[B，]連接[BB，] 與AI的交點即為點[B.]

作法8：用解析法求特殊點的坐標.

如圖16，以點A為原點建立平面直角坐標系，得到點A[0，0，] 點B[0，-53，] 點C[3，-2.] 則可得直線AC的解析式為[y=-23x，] 直線BD的解析式為[y=][32x-53.]

如圖16，點D是直線AC與直線BD的交點，易求得點[D1013，-2039，] 點[B][2013， 2539.] 則直線[AB]的解析式為[y=512x.] 易得點N[125，1，] 點K[3， 54，] 點[B][2， 43.]

直線[AB，BB]與網格線的交點易于找到，這種方法雖然計算量大，但點的位置確定準確.

綜合以上作法，突出了幾何變換在網格問題中的作用. 在網格中，要確定一個點，需要確定兩條直線的位置，依托于全等、相似、線與線的相對位置、圖形的基本性質等，讓學生有“抓手”，會利用網格作垂直、平行，構造相似與全等，將單位長度的線段n等分. 試題增加了圓的背景，使問題更靈活、方法更多樣、思維空間更廣闊，更能考查學生綜合解決問題的能力. 作法8突出了網格的坐標功能，適當建立平面直角坐標系，利用直線的解析式求出特殊點的坐標. 代數方法與幾何方法各有千秋，相互依托.

2. 懸空點平移，另辟蹊徑

因為點B的對稱點[B]的位置在格點內部，無法借助網格直接構造垂線，所以確定點Q的位置難度較大. 轉化方法很關鍵，需要兩個易于確定位置的點，確定直線的位置. 此題還可以將點[B]平移，找到過點[B]的兩條線段.

如圖17，將與點B關于直線AC的對稱點[B]相關的點[A，K，A，T]均向下平移3個單位長度，再向左平移[13]個單位長度得到[A，K，A，T，] 連接[AK，][ AT]，相交于點H，連接[BH]分別與AC，BC相交于點P，Q.

三、進一步思考

1. 網格可以提供解決幾何問題的多種途徑

在網格背景下研究平面圖形. 一方面，保留了圖形自身的幾何特性;另一方面，網格自身的位置及數量的特殊性，賦予了圖形一些特殊關系，進而使圖形的一般幾何性質得以特殊化和數量化. 網格作圖給學生提供了多角度探究問題的方法，由于構圖時可以選用網格中的特殊點，為學生拓展、創(chuàng)新搭建了平臺，進而可以通過圖形的旋轉、平移、翻折、位似變換來構圖，也可以先作后證，還可以根據圖形的特點及運算的需要，在網格中建立平面直角坐標系，用解析法確定點的位置、直線的位置等.

2. 網格可以考查學生運用數學的綜合能力

在知識層面上，此題主要考查了勾股定理、成比例線段、相似三角形、全等三角形、垂直平分線的性質、平行四邊形的性質等;在技能層面上，主要考查了學生的計算能力、作圖能力和推理能力，其核心是構造全等三角形，作出平行和垂直;在基本思想方法上，主要考查了數形結合、幾何直觀、化歸思想、函數思想等.

3. 網格可以搭建培養(yǎng)創(chuàng)新思維的廣闊舞臺

在解題探究的過程中，引導學生探索數學問題的規(guī)律和方法、積累解題經驗、回歸數學本質，有利于提高學生的解題能力，提升學生的數學學科核心素養(yǎng). 波利亞曾說過，掌握數學就意味著善于解題. 筆者認為，解題素養(yǎng)源于數學素養(yǎng)，尤其是數學學科核心素養(yǎng). 本文中的多種解法都源自于一個簡單的道理借助點共線可以確定線的位置，借助線共點可以確定點的位置，可以簡化成兩點定一線、兩線定一點、點線同源. 道理是極其簡單的，簡單是厚積薄發(fā)的力量，學會了簡單，其實不簡單.

參考文獻：

[1]宋春，劉金英，趙國華. 小網格? 大舞臺：以2018年天津市中考網格作圖題的研究為例[J]. 中國數學教育（初中版），2018（10）：43-46.

[2]劉金英，顧洪敏，李興梅. 求真·求實·求發(fā)展：談2015年中考數學基礎復習[J]. 中國數學教育（初中版），2015（1 / 2）：5-23.

收稿日期：2020-08-03

作者簡介：宋春（1969— ），男，中學高級教師，主要從事初中數學教學及中考命題研究.