歸一方見本質(zhì)

摘? 要：數(shù)學(xué)學(xué)科的核心是抽象概括和邏輯推理，具備抽象能力和推理能力可以發(fā)現(xiàn)事物的共性規(guī)律，并由已知導(dǎo)出新結(jié)論、解決新問題. 無論在知識教學(xué)還是解題訓(xùn)練中，教師都要引導(dǎo)學(xué)生變換角度尋找規(guī)律，“歸一”以求其本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)對知識的深度理解和思維的有效提升. 文章結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和獨(dú)特思考，用實(shí)例闡述數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行思維方法和解題規(guī)律的抽象概括，培養(yǎng)學(xué)生深度思考的能力，以幫助學(xué)生真正把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和解決問題的策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);思維培養(yǎng);教學(xué)本質(zhì);解題規(guī)律

事物的外在表象紛繁復(fù)雜，但我們?nèi)籼角笃鋬?nèi)在的本質(zhì)，就能發(fā)現(xiàn)它們是相通的、一致的. 學(xué)習(xí)就是去偽存真、化繁為簡的過程，只要善于抓住核心本質(zhì)，就可以深刻理解知識概念，靈活掌握思維方法，取得最佳的學(xué)習(xí)效果. 因此，教師在解題教學(xué)的過程中尤其要重視對問題本質(zhì)的探究與剖析，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對所學(xué)知識與方法的深度內(nèi)化. 簡而言之，對各種知識概念和解題方法要不斷地“歸一”，尋找它們之間的聯(lián)系和共性，然后靈活應(yīng)用這些共性和規(guī)律解決新問題. 這也是一個抽象概括和歸納推理的過程，能夠使學(xué)生達(dá)到更高的理性水平和學(xué)科素養(yǎng).

下面用實(shí)例對初中數(shù)學(xué)中一類常見的問題進(jìn)行深入剖析，探討如何在教學(xué)中把問題及其解法不斷地“歸一”，以幫助學(xué)生達(dá)到了解本質(zhì)、融會貫通的認(rèn)知層次.

一、多法歸一：從一題多解中尋找共性規(guī)律

構(gòu)造輔助圖形解幾何題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的難點(diǎn)，教學(xué)中若能引導(dǎo)學(xué)生對常見問題和常用方法的本質(zhì)和規(guī)律進(jìn)行深入地探究和歸納，形成解題的策略和方法體系，分析問題時便能有法可依、思路清晰，從而快速地找到解決問題的思路. 反之，若只做題不思考，或思考沒有觸及本質(zhì)規(guī)律，則解題就是一種低效的活動，無益于能力的提升和思維的發(fā)展. 我們以一道經(jīng)典題為例，探討如何指導(dǎo)學(xué)生在解題的同時分析、歸納思考策略和解題方法.

例1? 如圖1，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA = 4，PB = 5，PC = 3，試求∠APC的度數(shù).

1. 問題引導(dǎo)

問題1：條件給出的三條已知線段PA，PB，PC有直接聯(lián)系嗎？

三條線段分散于不同的三角形中，沒有直接的關(guān)系.

問題2：如何能使三條線段產(chǎn)生直接聯(lián)系？聯(lián)想到什么圖形？

若三條線段處于同一個三角形中，則可以組成直角三角形;若再構(gòu)造一個與等邊三角形ABC共頂點(diǎn)的等邊三角形，則可得與三條線段相關(guān)的一對全等三角形.

問題3：構(gòu)造圖形把分散條件集中起來的一般方法是什么？

用旋轉(zhuǎn)、平移、翻折等變換方式可以轉(zhuǎn)移條件到新圖形中.

問題4：從此題的條件特征判斷可以用哪種變換方式？

圖中有共端點(diǎn)的相等線段，其夾角為60°，可以采用旋轉(zhuǎn)變換的方式.

2. 嘗試操作

把相等線段所在的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，看一看能構(gòu)造出什么圖形，得到哪些結(jié)論.

（1）如圖2，由于線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得BC，繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AC. 故把△ABP分別繞點(diǎn)B，A按順時針、逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得另一等邊三角形和Rt△CPP′.

由圖2（1），易知∠BPC + ∠BP′C + ∠PBP′ + ∠PCP′ = 360°，即∠BPC + ∠APB + 60° + 90° = 360°. 因?yàn)椤螧PC + ∠APB + ∠APC = 360°，所以∠APC = 150°.

由圖2（2），易知∠APC = ∠APP′ + ∠CPP′ = 60° + 90° = 150°.

（2）如圖3，由線段AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得AB，繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得BC，故把△ACP分別繞點(diǎn)A，C按順時針、逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得另一等邊三角形和Rt△BPP′.

（3）如圖4，由于線段BC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得AC，繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AB，故把△BCP分別繞點(diǎn)C，B按順時針、逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得另一等邊三角形和Rt△APP′.

3. 總結(jié)歸納

上面的操作可以從兩種角度看.

（1）靜態(tài)視角. 以等邊三角形的一個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作等邊三角形，構(gòu)造雙等邊三角形，從而得到一對全等三角形，常稱為“手拉手”模型. 這樣，分別以PA，PB，PC為邊，向兩側(cè)各作一個等邊三角形，共有上述六種作法.

（2）動態(tài)視角. 把PA，PB，PC所在的三角形繞△ABC三個頂點(diǎn)，分別向兩個方向旋轉(zhuǎn)60°，同樣有上述六種方法.

兩種視角殊途同歸、和諧一致. 解題時只有從多種角度思考問題，用多種方法解決問題，并對其進(jìn)行抽象概括，得到簡約的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)不同方法的歸一，這樣才能達(dá)到以簡馭繁、化難為易的目的.

二、一法多用：用已有方法解決同類問題

笛卡兒曾說：我所解決的每個問題，都將成為一個范例，用于解決其他問題. 我們解決問題的價值在于獲得一種方法和能力，以便將之遷移，從而解決遇到的新問題.

例2? 如圖5，PM = 1，BM = 2，∠BPC = 90°，PB = PC，求CM的最小值和最大值.

此題可以遷移運(yùn)用例1的解題方法，思考過程如下.

1. 靜態(tài)視角

以等腰直角三角形BCP的三個頂點(diǎn)及另一條線段再作一個等腰直角三角形（注意頂點(diǎn)排列方式要和△BCP保持一致），構(gòu)成“手拉手”相似模型，把已知線段和所求線段（或經(jīng)過縮放）轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，從而使已知條件和所求問題產(chǎn)生聯(lián)系，問題便得以解決.

如圖6，將線段BM繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造等腰直角三角形BMN，可證得△CBN ∽ △PBM，相似比為[2∶1.]

在△CMN中，求得[MN=2，CN=2.] 從而得[2-2≤][CM≤2+2]（共線時取等號）. 所以CM的最小值為[2-2，] 最大值為[2+2.]

此題通過構(gòu)造常見的雙等腰直角三角形，得到兩對相似三角形，這樣產(chǎn)生了與CM有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，使問題得以解決.

2. 動態(tài)視角

（1）把點(diǎn)M所在三角形旋轉(zhuǎn)（縮放）.

由題中條件，可得[BP∶BC=1∶2，∠PBC=45°.]可以看成線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并按[1 ： 2]放大得到線段BC，所以圖6也可以看成把△BPM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并按[1∶2]放大得△BCN. 這兩種方式得到的效果相同.

類似地，還有如圖7所示的五種變換方式.

（2）確定動點(diǎn)C所在的軌跡.

與例1中圖形各點(diǎn)都是定點(diǎn)不同，例2中有些點(diǎn)的位置不能確定，可以看作動點(diǎn)，因此可以從點(diǎn)的運(yùn)動軌跡思考. 如圖8，這里的點(diǎn)N為定點(diǎn)，[CN=2]為定長，可以確定點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)N為圓心、[2]為半徑的圓，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M到⊙N的最短路徑.

如圖9，當(dāng)MN所在直線過圓心時，與圓交于兩點(diǎn)，分別取得最小值[MC1=2-2，最大值MC2=2+2.]

再來探究一下點(diǎn)C所在軌跡圓的形成來源. 把點(diǎn)M，B看成定點(diǎn)，則點(diǎn)P，C為動點(diǎn). 根據(jù)圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”，判斷點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)M為圓心、1為半徑的圓. 因?yàn)榫€段PB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍得到線段BC，所以由整體與部分的關(guān)系可推知：點(diǎn)P的軌跡繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍亦可得點(diǎn)C的軌跡，即把⊙M繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°并將半徑放大[2]倍得⊙N. 如圖10，圓心N由線段BM繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍后得到，即⊙N的半徑是⊙M半徑的[2]倍.

到這里，自然就會感受到數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一之美，不同的思維角度指向同樣的構(gòu)造方式，具有奇妙的一致性. 由此也可以深刻理解局部（點(diǎn)）與整體（軌跡）的緊密聯(lián)系，同時體會到用“運(yùn)動變換”的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題才是真正的高位思維.

3. 方法整合

例2是在例1的基礎(chǔ)上進(jìn)行發(fā)展變化，由單純旋轉(zhuǎn)拓展到旋轉(zhuǎn)加縮放，由全等關(guān)系拓展為相似關(guān)系，由確定圖形拓展為動態(tài)圖形.

問題情境：有一個形狀確定的三角形（等腰直角三角形BCP），有一個已知兩邊的三角形（△BMP），且兩個三角形有兩個公共點(diǎn)（點(diǎn)B，P），求兩個三角形第三個點(diǎn)之間的距離范圍（點(diǎn)C，M）.

思維策略：利用旋轉(zhuǎn)縮放構(gòu)造相似（全等）三角形使關(guān)鍵要素產(chǎn)生聯(lián)系，把已知條件集中到同一個三角形中.

操作方式：把等腰直角三角形PBC繞其任一頂點(diǎn)順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)并縮放，使其一邊與PM，BM，CM中的任一條線段重合. 或把線段PM，BM，CM所在的三角形旋轉(zhuǎn)45°并縮放，使之與△PBC的某一邊重合. 這是一種常用的圖形構(gòu)造方法，即把一個三角形繞一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)縮放，再把對應(yīng)點(diǎn)連線后可得另一對相似三角形，也稱為“手拉手”模型.

4. 同型變式

例2可以用同類條件替換進(jìn)行一般性拓展，等腰直角三角形可以變?yōu)槠渌我庑螤畲_定的三角形，解法不變.

變式? 如圖11，在△ABC中，[∠ACB = 90°，tan∠BAC=][43，AD=6，BD=5，] 求CD的最大值.

變式的解法與例1和例2類似，有六種構(gòu)造方式，如圖12所示是其中之一.

三、多題歸一：把未知問題改為已知問題

陌生問題包含已知問題，復(fù)雜問題包含簡單問題. 當(dāng)然，它們形式上并不完全一樣，往往需要對原問題進(jìn)行分解、組合、構(gòu)造、變換，轉(zhuǎn)化為已知問題或簡單問題，這一過程也是對思維方法和解題能力的訓(xùn)練.

例3? 如圖13，AB = 4，M是AB的中點(diǎn)，PM = 1，∠BPC = 90°，PB = PC，求AC的最小值.

容易發(fā)現(xiàn)此題圖中含有與例2相同的部分，于是遷移其方法. 如圖14，構(gòu)造等腰直角三角形BMN（把△BCP旋轉(zhuǎn)縮放，得△BNM），可證得△CBN ∽ △PBM. 同樣可得△ACN中有兩邊長度確定，或看成點(diǎn)C在半徑為[2]的⊙N上，易求AC的最小值為[AN-CN=2.]

圖15的構(gòu)造方式可以解決問題嗎？

圖15所示的構(gòu)造方式似乎與例2的思路相同，但以此種構(gòu)造無法完成解題，這是為什么呢？

圖15的構(gòu)造方式導(dǎo)致PM = 1這個條件無法利用，所以此種構(gòu)造無效. 其實(shí)此題與例2的問題情境不同，例3中的AC與例2中CM的角色是不一樣的，它并不是兩個共邊三角形第三點(diǎn)的連線. 前提變了，情境不同，方法當(dāng)然不能套用了. 這時需要根據(jù)條件特征把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

1. 中點(diǎn)的轉(zhuǎn)化一：把已知線段放大

我們可以通過構(gòu)造把例3轉(zhuǎn)化成與例2情境完全相同的問題. 如圖16，倍長BP，構(gòu)造等腰直角三角形BCD，于是有AD = 2，AB = 4，問題情境與例2相同.

此時，刪掉P，M兩點(diǎn)，即如圖17所示，這樣與例2的圖形結(jié)構(gòu)和條件特征完全相同. 現(xiàn)在可以直接遷移例2的方法，把等腰直角三角形BCD分別繞三個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)縮放使之與AB，AC，AD中的某條線段重合，依然可以產(chǎn)生與例2相同的六種構(gòu)圖方式，讀者可自行嘗試.

圖16的構(gòu)造可以從中點(diǎn)的角度思考：把△BPM以點(diǎn)B為中心縮放，構(gòu)造“A”型相似，即把定長線段PM放大2倍得到定長線段AD，從而實(shí)現(xiàn)條件的遷移轉(zhuǎn)化，變?yōu)榍懊嬉呀?jīng)解決的問題. 這種抽象概括、轉(zhuǎn)化與化歸正是數(shù)學(xué)的基本思想和核心能力.

2. 中點(diǎn)的轉(zhuǎn)化二：把所求線段縮小

我們再用類比或?qū)ΨQ的思維考慮：把△ABC以點(diǎn)B為中心縮放，構(gòu)造“A”型相似，即可把所求線段AC縮小一半得DM，如圖18所示，同樣可以構(gòu)造出與例題相同的結(jié)構(gòu)，求DM的最小值即可得到AC的最小值.

對于圖18中的四邊形PMBD，同樣可以有六種構(gòu)造方式求DM的最小值，此處不再贅述.

3. 高位視角：軌跡觀念具有普適性

從軌跡觀念來看，無需對原問題進(jìn)行改造，只要確定動點(diǎn)C的軌跡即可. 如圖19，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)M為圓心、PM為半徑的圓，線段PB繞定點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍得線段BC，所以將點(diǎn)P的軌跡作同樣的變換可得點(diǎn)C的軌跡，即把⊙M繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍，得到點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)N為圓心、[2]為半徑的圓. 這樣把問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A到定圓⊙N的最短路徑問題，連接AN交⊙N于C1，AC1即為所求最小值，如圖20所示.

四、一以貫之：把核心策略方法遷移推廣

學(xué)生在解題中所獲得的經(jīng)驗(yàn)、結(jié)論、方法和策略要能夠遷移到相同或相似的問題解決中，在解決新問題時要適時地分析和發(fā)現(xiàn)其中所包含的不變的、熟悉的內(nèi)容，創(chuàng)造性地應(yīng)用已掌握的策略和方法，并加以發(fā)展改造，使其適用于新問題. 雖然具體問題千變?nèi)f化，但是解決問題所用的基本策略和思維方法卻是不變的、相通的，這就要求學(xué)生在解題時不僅要識其“形”，更要得其“神”.

1. 從特殊到一般的遷移

例4? 如圖21，正方形BEFG的頂點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上，AB = 4，求AF的最小值.

我們首先可以把圖形簡化，圖中的BG，F(xiàn)G與問題并無實(shí)在的聯(lián)系，可以刪掉，如圖22所示.

與例2相比，圖22中仍有一個形狀確定的等腰直角三角形BEF，稍有不同的是：與其有兩個公共點(diǎn)的△ABE中是確定一邊及一邊上的高（AB為定長，點(diǎn)E到AB的距離為定長）. 這里的不同之處從軌跡視角看，例2是點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值（點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離為定長），此題是點(diǎn)到線的距離為定值（點(diǎn)E到直線AB的距離為定長），一個軌跡是圓，一個軌跡是線，屬同類問題，解題方法當(dāng)然可以遷移.

如圖23，構(gòu)造等腰直角三角形BDP，可證△BPF ∽ △BDE，得∠BPF = ∠BDE = 45°，∠DPF = 90°. 所以點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是過點(diǎn)P垂直于DP的線段. 易知當(dāng)AF⊥PF時，AF取最小值，最小值為[62.]

從軌跡的視角來看，點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是線段CD，線段BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍得到線段BF，所以點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是線段CD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍得到的線段[CD，] 如圖24所示. 還可以采用如圖25和圖26所示的構(gòu)造方法.

圖27的構(gòu)造方法可以解決問題嗎？

初看圖形似乎看不出什么思路，但是我們要明白解題的基本原則是“條件用足，模型完整，則問題得解”. 問題解決的前提是所構(gòu)造的模型能夠使條件進(jìn)行充分地轉(zhuǎn)化利用. 以此來分析，如圖28，圖中△ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°并放大[2]倍得△DBF，這樣得到與點(diǎn)F相關(guān)的條件是什么？顯然，條件要從△ABE中轉(zhuǎn)化到△DBF中，△ADE滿足的條件是AB = 4，點(diǎn)E到AB的距離為4. 相應(yīng)地，此條件通過相似關(guān)系傳遞到△BDF中得[BD=42，] 點(diǎn)F到BD的距離為[42，] 可知AF與FM，AN共線時取得最小值. 由點(diǎn)F到BD的距離為[42]亦可推知點(diǎn)F的軌跡是到BD距離為[42]的平行線[CD，] 這樣便轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A到定線段[CD]的最短路徑問題，當(dāng)[AF⊥CD]時取得最小值.

2. 從一般到特殊的遷移

例5? 如圖29，在四邊形ABCD中，∠BAD = 90°，∠BCD = 30°，AD = 2AB，BC = 2，CD = 1，求AC的長.

此題與前面的問題相比，圖形結(jié)構(gòu)與條件特征具有相似性. 不同之處在于這里的A，B，C，D四點(diǎn)都是定點(diǎn)，故此題更具有特殊性，前面的一般方法適用于此題.

如圖30，構(gòu)造Rt△ACP，使AC = 2AP，則△ACP ∽ △ADB. 再得△ABP ∽ △ADC，相似比為[1∶2.] 得[BP=][12CD=12，] ∠ABP = ∠ADC. 所以∠CBP = 360° - ∠ABP - ∠ABC = 360° - ∠ADC - ∠ABC = ∠BAD + ∠BCD = 120°.

如圖31，在△BCP中已知兩邊及其夾角，解三角形即可求得[CP=212.] 在圖30中，再由[AC∶CP=][AD∶BD=2∶5，] 得[AC=1055.]

此類問題的解決方法不但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸、運(yùn)動變換等基本思想方法，還蘊(yùn)含著深刻的哲理. 在圖30中，△ADB的三邊比例是已知的、形狀是確定的，AC是一條孤立的線段，它沒有在含特定條件的三角形中，與另兩條已知線段BC，CD無聯(lián)系. 故以△ADB的形狀為模板構(gòu)造與之相似的△ACP，更重要的是，這對相似三角形相互作用，產(chǎn)生了另一對相似三角形（△ACD和△APB），從而再產(chǎn)生豐富的邊角關(guān)系使問題得以解決. 這一過程頗有“一生二，二生三，三生萬物”的意境. 從這個層次理解問題就會有豁然開朗、萬物一理的深刻感悟，不但有助于學(xué)生對此類問題的理解和掌握，而且再以此遷移到其他方面的學(xué)習(xí)，還會產(chǎn)生更大的效益，得到更大的收獲.

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞. 怎樣解題[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

[2]卜以樓. 生長數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2018.

收稿日期：2020-08-25

作者簡介：談志國（1977— ），男，中學(xué)一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)思維開發(fā)研究.