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    淺析換元法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2020-09-10 04:23:56許濤
    小作家報(bào)·教研博覽 2020年24期
    關(guān)鍵詞:換元法初中數(shù)學(xué)應(yīng)用

    許濤

    摘要:解題訓(xùn)練是筆紙化應(yīng)試教育背景下的最為常見的一種訓(xùn)練形式,也是評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果、應(yīng)用能力最直接、最便捷、最公平的形式之一。為此,在常態(tài)的教學(xué)過程中,如何提高學(xué)生的解題能力、啟發(fā)學(xué)生的解題思維、促進(jìn)學(xué)生的能力生長(zhǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐需要重點(diǎn)研究的一項(xiàng)課題。筆者結(jié)合換元法在初中數(shù)學(xué)中的實(shí)踐與研究,談?wù)劮椒ㄅc思想滲透的達(dá)成策略。

    關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);換元法;應(yīng)用

    中圖分類號(hào):G4? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A? 文章編號(hào):(2020)-24-134

    隨著教育改革的不斷推進(jìn),數(shù)學(xué)思想越來越受重視,有關(guān)換元法的研究和運(yùn)用也取得突破性發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,解答一些復(fù)雜的因式分解問題常用到換元法,即對(duì)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項(xiàng)式,如果將其中某些部分看成一個(gè)整體,用新字母代替,可以將復(fù)雜問題變得明朗化和簡(jiǎn)單化,在減少多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),降低多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有積極作用。

    一、換元法在因式分解中的應(yīng)用

    因式分解是初中數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一,是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一項(xiàng)有力工具。在解因式分解時(shí),需要用新元來替換式中的某個(gè)部分,從而減少因式項(xiàng)數(shù),最終讓復(fù)雜的因式分解變得簡(jiǎn)單。

    例1:分解因式:(b+c-2a)3+(c+a-2b)3+(a+b-2c)3。

    解析:如果先去掉括號(hào),然后再進(jìn)行分解,過程會(huì)相當(dāng)煩瑣且運(yùn)算量巨大。如果我們注意到(b+c-2a)+(c+a-2b)+(a+b-2c)=0,則可通過換元法將復(fù)雜的情況轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題。

    解答:設(shè)(b+c-2a)=x,(c+a-2b)=y,(a+b-2c)=z,則有:x+y+z=0,

    又 x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz- xz), 則 有:x3+y3+z3-3xyz=0,

    因此,原式= x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3(b+c-2a)(c+a-2b)(a+b-2c)。

    如果能夠掌握換元法求解參數(shù)試題,那么數(shù)字試題就能夠輕松解答。

    二、換元法求解分?jǐn)?shù)方程和無理方程

    分?jǐn)?shù)方程和無理方程的難度要大于普通方程,因此需要換元法來降低方程的求解難度。

    例2:解方程:2x2+1x2-7x+7x+2=0。

    解析:首先,我們要將原方程進(jìn)行簡(jiǎn)化,即原方程=2[(x-1x)2+2]-7(x-1x)+2=0,

    設(shè)x-1x=y,則上述方程可化為:2y2-7y+6=0,解方程得y1=2,y2=32當(dāng)y=2時(shí),x-1x=2,即x=1±2,當(dāng)y=32時(shí),x-1x=32,得x=-12或x=2,再檢驗(yàn)這些根,得這些根都是原方程的解。

    例3:解方程:2x2-6x-1+3x2-3x+2=0。

    解析:本題需要從題目中的根號(hào)入手,讓根號(hào)內(nèi)外通過增減項(xiàng)變得一致,然后利用換元法將二次根式進(jìn)行替換,最終將無理方程轉(zhuǎn)換為有理方程進(jìn)行求解。

    解答:原方程=2(x2-3x+2)+3x2+3x+2-5=0,

    設(shè)x2+3x+2=y,則原方程化為:2y2+3y-5=0,

    最終得到:y1,y2=-52,

    當(dāng)y=1時(shí),x2+3x+2=1,即x2-3x+2=1, 解得x1=3+52通過檢驗(yàn),y=-52要舍去,因此,原方程的根為x2=3-52。x1=3+52,x2=3-52。

    三、換元法求解高次方程

    整式方程未知數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程,稱為高次方程。

    例4:(1)已知方程(2x2+1)2-2x2-3=0,設(shè)y=2x2+1,則原方程可化為??? ;

    (2)仿照上述解法解方程:(x2+2x)2-3x2-6x=0。

    解析:(1)設(shè)y=2x2+1,則原式左邊=(2x2+1)2-(2x2+1)-2=y2-y-2,

    ∴原方程可化為y2-y-2=0。

    (2)設(shè)x2+2x =y,則原式左邊=(x2+2x)2-3(x2+2x)=y2-3y;

    ∴y2-3y=0,即y(y-3)=0,即y=0或3。

    當(dāng)y=0時(shí),則x2+2x=0,∴x(x+2)=0,解得x=-2或0;

    當(dāng)y=3時(shí),則x2+2x=3,∴x2+2x-3=0,解得x=-1或3。

    故方程的解為-1,-2,0,3。

    通過解題過程我們可以看到,換元法能夠有效降低方程的冪次,降低試題的難度,提升學(xué)生計(jì)算的速度和效率,因此,教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重傳授這種數(shù)學(xué)思維,使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用。

    四、換元法巧解方程組

    學(xué)生運(yùn)用換元法求解方程組能夠有效消元,簡(jiǎn)化求解過程和步驟,從而提升解題的速度和效率。

    例5:解方程組:

    (1)2x+y-1x-y=33x+y+4x-y=10;(2)x+y2+x-y3=7x+y3+x-y4=-1。

    解析:如果正常求解這個(gè)方程組,會(huì)比較麻煩。我們可以把x+y,x-y分別看為一個(gè)整體,進(jìn)行“換元”,然后再進(jìn)行方程的求解,這樣較為簡(jiǎn)單。

    解答:(1)設(shè)1x+y=m,1x-y=n,化簡(jiǎn)上述方程組得:2m-n=33m+4n=10,

    解得m=2n=1,即x+y=12x-y=1,解得x=34y=-14。

    (2)設(shè)x+y=m,x-y=n,則原方程組可化為m2+n3=7m3+n4=-1,

    解得m=6n=12,∴x+y=6x-y=12,

    最終解得x=9,y=-3。

    通過解題過程我們可以得到,利用換元法能夠有效降低方程的運(yùn)算難度,提升解題速度,因此教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相關(guān)技巧,提升數(shù)學(xué)思維和水平。

    總之,數(shù)學(xué)教師在授課過程中應(yīng)當(dāng)加大訓(xùn)練的強(qiáng)度和力度,總結(jié)經(jīng)典習(xí)題的解題方法,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感,幫助他們?nèi)〉美硐氲姆謹(jǐn)?shù),從而進(jìn)入心目中的高中進(jìn)行深造學(xué)習(xí)。

    參考文獻(xiàn)

    [1]高占芬.例析換元法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].基礎(chǔ)教育課程,2016(05).

    [2]盧春松.淺析換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(初中版),2014(10).

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