換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

賴振華

摘?要：換元法是初中數(shù)學(xué)解題中最為重要的、常見的方法，巧妙借助換元法對初中數(shù)學(xué)問題進行轉(zhuǎn)化和化歸等，進而使得問題解答更加簡單明了.本論文以初中數(shù)學(xué)為研究對象，對換元法在初中數(shù)學(xué)解題中具體應(yīng)用進行了詳細的研究和分析.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);換元法;解題;應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）17-0013-02

在初中數(shù)學(xué)新課程標準中明確提出，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)首要目標就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，獲得必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)基本技能等，并對最基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)等進行理解，進而充分體會初中數(shù)學(xué)中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法等.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須要充分借助“換元法”以提升學(xué)生的解題效率.

一、換元法概述

換元法又稱之為輔助元素法、變量代換法，主要是將某一個式子看做成一個整體，并用另一個變量去代替它.換元的實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，是用一種變數(shù)形式對另一種變數(shù)的形式進行取代，進而使得問題得到了有效的簡化.可以說，在使用換元法這一方法對初中數(shù)學(xué)問題進行解答的時候，其關(guān)鍵就在于合適地選擇出“新元”，并將其引入到數(shù)學(xué)問題中進行適當?shù)拇鷵Q，進而找到數(shù)學(xué)問題的解題思路.

具體來說，在使用換元法解決數(shù)學(xué)問題的時候，其解題的步驟就是：換元——求解——回代——檢驗.具體來說，最為基本的換元方法主要有三種：（1）局部換元：又被稱之為整體換元.主要是在已知或者未知的過程中，某一個代數(shù)式出現(xiàn)了幾次.在解題的時候，就可以利用某一個字母對其進行代替，進而將數(shù)學(xué)問題進行簡化.甚至有的時候，在進行局部換元的時候，必須要將數(shù)學(xué)問題進行變形之后，才能借助這一方式進行解決.例如，在解不等式：4x+2x-2≥0的時候，就可以采用局部換元的形式進行，先設(shè)2x=t（t>0），在這種情況下，就可以將不等式進行簡化，進而使得學(xué)生更加方便求解. （2）三角換元：該換元方法主要應(yīng)用在去根號、變換為三角形式進行求解的過程中，在進行換元的時候，主要是利用已知代數(shù)式中與三角知識中的聯(lián)系點進行換元.例如，在求函數(shù)y=x+1-x的值域的時候，學(xué)生在對其進行解決的時候，就可以借助三角換元的形式，將這一函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，使其成為學(xué)生熟悉的三角函數(shù)問題.學(xué)生在對本道題進行分析的時候，發(fā)現(xiàn)x∈[0，1]，隨之就可以將其與三角函數(shù)進行聯(lián)系，設(shè)x=sin2α，α∈（0，π/2）.通過換元轉(zhuǎn)化，復(fù)雜的函數(shù)問題瞬間就變得簡單了，更加易于學(xué)生求解.（3）均值換元：主要是在對某些數(shù)學(xué)問題進行解答的過程中，兩個未知量的和是已知，這種時候在對其進行解答的過程中，就可以將這兩個未知量用他們的均值、一個新的變量進行表示，進而將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單.例如，在求解x+y=S類型的數(shù)學(xué)問題時，就可以采用均值換元的方式，設(shè)x=S/2+t，y=S/2-t之后再對數(shù)學(xué)問題進行解答.

總而言之，在對數(shù)學(xué)問題進行解決的過程中，換元法是最為常用的數(shù)學(xué)解題方式.通過換元法的應(yīng)用，使得整個數(shù)學(xué)運算更加簡便，進一步提升了學(xué)生的解題效率.

二、換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

1.在因式分解中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，多項式的因式分解歷來是教學(xué)、考試的重點.就因式分解這一部分的內(nèi)容來說，雖然總體難度不是特別大，但是涉及到的基礎(chǔ)知識卻非常多.例如：加減乘除、平方、代數(shù)式等，學(xué)生在進行該部分數(shù)學(xué)問題的解決過程中，必須要對因式分解與整式乘法之間的關(guān)系，并對新舊知識之間的比較進行探索，進而掌握因式分解的主要方法.

而在進行因式分解問題解答的過程中，換元法則是學(xué)生最為常用的方法，并深得學(xué)生的青睞.具體來說，換元法在因式分解中應(yīng)用的時候，首先應(yīng)將原代數(shù)式中的某個部分，用新元對其進行代替，以達到減少因式項數(shù)的目的，進而使得問題變得更加簡單.

例如，在解方程1x2+4x+6+1x2+4x-10+1x2+4x+16=0的時候，就可以采用換元法的方式，設(shè)x2+4x-10=t，則該因式就會變?yōu)?t+16+1t+1t+26=0，在這種情況下，這一復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題就變得更加簡單，便于了學(xué)生的解決.

2.在解方程組問題中的應(yīng)用

方程組也是初中數(shù)學(xué)中最為重要的內(nèi)容，在對這部分數(shù)學(xué)問題進行解答的時候，學(xué)生只有明確找出未知條件、已知條件兩者的關(guān)系，或者將方程組中所隱蔽的已知條件之間的關(guān)系進行明確的時候，才能將新知識進行轉(zhuǎn)化，使其成為舊知識，進而對其進行有效的解決.而在這一過程中，則離不開換元法的應(yīng)用.

例如，在對2x2-6x-1+3x2-3x+2=0這一方程進行解答的時候，多數(shù)學(xué)生都對其無從下手.面對這一情況，就可以引導(dǎo)學(xué)生采用換元的方式進行解答，將這一無理方程進行轉(zhuǎn)化，促使其成為有理方程.具體來說，在換元的時候，可設(shè)x2-3x+2=y，通過這一換元，整個方程式就變?yōu)?y2+3y-5=0，進而學(xué)生就可以充分借助所學(xué)的舊知識對其進行求解.

3.在整式運算中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，整式運算是學(xué)生最為常見的運算問題，同時整式運算也相對比較復(fù)雜.許多學(xué)生面對這一問題，常常無從下手，不知道如何對其進行解決.據(jù)此，教師在引導(dǎo)學(xué)生對其進行解答的時候，可充分借助換元法的形式，將相同的部分看做一個整體，并利用新元對其進行替代，進而這一復(fù)雜的問題進行轉(zhuǎn)換，使其成為一個簡單的數(shù)學(xué)問題.

例如，在對（1-2-3-…-998）（2+3+4+…+999）-（1-2-3-…-999）（2+3+4+…+998）這一整式進行運算的時候，就可以充分借助換元法，將（2+3+4+…+999）設(shè)置為a，將（2+3+4+…+998）設(shè)為b，那么該整式運算就會簡化為（1-b）a-（1-a）b，進而使得整個整式運算更加簡單.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會遇到比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如果直接按照原始的方式對其進行求解，不僅使得數(shù)學(xué)問題變得十分棘手，并且致使學(xué)生在對數(shù)學(xué)問題進行解決的過程中，常常出現(xiàn)無從下手、頻頻出現(xiàn)錯誤等現(xiàn)象.因此，在指導(dǎo)學(xué)生對這些數(shù)學(xué)問題進行解決的過程中，就可以引導(dǎo)學(xué)生充分借助換元法的方式，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進行簡化，進而促使學(xué)生對其進行順利解決.

參考文獻：

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