關(guān)于“阿氏圓”模型的探究與思考

施德儀

[摘? 要] “挖掘教材價(jià)值，總結(jié)模型”是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)所倡導(dǎo)的一種模式. 在教學(xué)中需要有意識(shí)地引入一些常用的數(shù)學(xué)模型，利用模型探究來深化知識(shí)理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 文章主要探究初中數(shù)學(xué)重要的幾何模型——“阿氏圓”模型.

[關(guān)鍵詞] “阿氏圓”;模型;解讀;應(yīng)用;拋物線;思考

模型背景

“PA+k·PB”型是初中數(shù)學(xué)常見的最值類型之一，當(dāng)k=1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為常見的“飲馬問題”模型來求解;而當(dāng)k為不等于1的正數(shù)時(shí)，則需要變化思路來加以研究，一般有兩種情形：一是點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則為經(jīng)典的“胡不歸”問題;二是點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)，則為“阿氏圓”問題，即已知平面上有A，B兩點(diǎn)，則所有滿足PA+k·PB （k≠1）的點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓. 由于其最早是由阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故又稱為“阿波羅尼斯圓”. 利用“阿氏圓”模型的結(jié)論及策略，有助于問題思路的構(gòu)建，適度拓展模型，有利于解析綜合性問題.

構(gòu)建解讀

如圖1，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A和點(diǎn)B都在圓外，點(diǎn)P為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA和PB，試分析“PA+k·PB”取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置.

上題突破的關(guān)鍵是處理“k·PB”的大小. 若在線段OB上截取OC，使得OC=k·r，則可以確定△BPO與△PCO相似，從而有k·PB=PC. 后續(xù)則可轉(zhuǎn)化為研究“PA+PC”的最小值，其中點(diǎn)A和點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，顯然可以直接利用共線原理來求最值.

深入探究其圖像，由逆向思維可將“阿氏圓”模型視為“母子型相似+兩點(diǎn)間線段最短”. 點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A，B為定點(diǎn)，PA和PB不斷變化，解決該問題時(shí)首先需要合理構(gòu)造母子型相似三角形，利用其性質(zhì)來轉(zhuǎn)化問題，即在OB上找到一點(diǎn)C，使得■=■=k，此時(shí)便有△BPO∽△PCO.

而在實(shí)際解析時(shí)需要明晰問題模型，因此把握模型的結(jié)構(gòu)尤為重要. 以圖2“阿氏圓”模型圖像為例，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，變直線BP為系線，突破的關(guān)鍵是確定系點(diǎn)C，從而確保其中的“母子”三角形相似，即△BPO∽△PCO.

解題策略

從突破過程來看，共分為兩個(gè)階段：一是確定系點(diǎn)，構(gòu)建相似三角形;二是利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理，分析三點(diǎn)共線情形，完成動(dòng)點(diǎn)位置確定. 具體解題時(shí)可以按照如下策略及步驟進(jìn)行：

第一步，連接動(dòng)點(diǎn)與圓心、定點(diǎn)與圓心，如上述所構(gòu)建的模型，連接OB和OP;

第二步，計(jì)算■，確定線段比為k的情形，如上述模型中的■=k;

第三步，在線段OB上確定系點(diǎn)C，構(gòu)造相似三角形，由相似性質(zhì)提取線段比例關(guān)系，如上述模型中的■=■.

典例講評

上述對“阿氏圓”模型進(jìn)行了詳細(xì)解讀及解析策略探究，但針對不同的問題情形需要具體分析，要學(xué)會(huì)準(zhǔn)確識(shí)別模型，添加輔助線. 下面結(jié)合例題探究解析過程.

例題 如圖3，在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，點(diǎn)A在OC上，OA=3，點(diǎn)B在OD上，OB=5，點(diǎn)P是■上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求2PA+PB的最小值.

分析 要求2PA+PB的最小值，其中k≠1，且點(diǎn)P為圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，顯然屬于“阿氏圓”問題模型. 因此解析的關(guān)鍵是尋找線段比與k相關(guān)的情形，確定系點(diǎn)的位置.

解答？搖 連接OP，其中k=2，因?yàn)镺C=6，OA=3，OB=5，所以■=■，■=■. 可將■=■視為■=■，因此可在OA延長線上取一點(diǎn)H，使得OH=2OP=12（如圖4）. 此時(shí)就有■=■=■，又∠AOP=∠POH，所以無論點(diǎn)P如何移動(dòng)，始終有△PAO∽△HPO. 由相似性質(zhì)可得PH=2PA，所以2PA+PB=PH+PB，其中點(diǎn)H和點(diǎn)B為定點(diǎn)，顯然當(dāng)H，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PB取得最小值，且最小值為BH=■=13，即2PA+PB的最小值為13.

評析？搖 上述解析過程把握圖像結(jié)構(gòu)及k值大小，從而確定了“阿氏圓”模型，在此基礎(chǔ)上分析線段比值，確定系點(diǎn)位置. 對于“阿氏圓”模型，剖析的關(guān)鍵是深刻理解探究系點(diǎn)實(shí)則是通過構(gòu)建相似三角形將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段和問題，而在實(shí)際轉(zhuǎn)化時(shí)需要把握圖像特點(diǎn)，合理利用圓的性質(zhì)條件.

拓展探究

“阿氏圓”模型可視為常規(guī)的平面幾何問題，而函數(shù)與幾何的融合是近幾年中考的命題趨勢，對于“阿氏圓”模型同樣也不例外. 近幾年中考及模擬考試題中出現(xiàn)了一些以拋物線為背景融“阿氏圓”模型的考題. 對于該類試題，除了需要合理按照模型突破的方法和步驟解析外，還需要充分利用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的關(guān)聯(lián)，以及拋物線的性質(zhì)，才能順利解題. 下面以一道考題為例，詳細(xì)探究解題細(xì)節(jié).

考題 如圖5，已知拋物線的解析式為y=-x2+bx+c，拋物線與直線AB交于點(diǎn)A（-4，-4）和B（0，4），直線AC的解析式為y=-■x-6，直線AC與y軸交于點(diǎn)C. 點(diǎn)E是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，延長垂線與AC交于點(diǎn)F，與拋物線交于點(diǎn)G.

（1）求拋物線的解析式.

（2）連接GB，EO，若四邊形GEOB為平行四邊形，試求點(diǎn)G的坐標(biāo).

（3）①y軸上有一點(diǎn)H，連接EH和HF，試分析點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，四邊形AEFH為矩形，并求出點(diǎn)E和點(diǎn)H的坐標(biāo);

②在①成立的前提下，以點(diǎn)E為圓心、EH的長為半徑作圓，點(diǎn)M為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求■AM+CM的最小值.

解析 容易求得拋物線的解析式為y=-x2-2x+4. 在此主要分析（3）問的第②小問，由（3）①問可知以下點(diǎn)的坐標(biāo)：E（-2，0），H（0，-1）. 又A（-4，-4），所以EH=■，AE=2■. 如圖6，設(shè)AE與⊙E交于點(diǎn)N，取EN的中點(diǎn)P，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，-2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為-■，-1，PE=■. 連接PC與⊙E的交點(diǎn)即為■AM+CM取得最小值時(shí)點(diǎn)M的位置，點(diǎn)P為“阿氏圓”模型的系點(diǎn)，具體原因如下.

因?yàn)镋M=EH=■，顯然■=■，■=■，所以△PEM∽△MEA. 根據(jù)相似性質(zhì)可得PM=■AM，從而有■AM+CM=PM+CM. 因?yàn)辄c(diǎn)P和點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，當(dāng)P，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，PM+CM取得最小值，此時(shí)PM+CM=PC. 由上述信息可求得PC=■，所以■AM+CM的最小值為■.

評析？搖 上述第（3）②問的問題模型實(shí)則就是初中常見的“阿氏圓”模型，顯然突破的關(guān)鍵就是確定模型中的“系點(diǎn)”. 可利用相似比將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段和問題，即“■AM+CM→PM+CM”，然后利用三點(diǎn)共線確定線段和的最小值. 與純幾何模型問題相比，融合拋物線的“阿氏圓”模型更注重對點(diǎn)坐標(biāo)橋梁作用的利用，即可用點(diǎn)的坐標(biāo)推導(dǎo)線段長、推理線段比，這些內(nèi)容是后續(xù)挖掘三角形相似的關(guān)鍵.

教學(xué)思考

“阿氏圓”模型的解析思路可為求解含參線段和最值問題提供參考，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形結(jié)構(gòu)，打開解題突破口. 下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 深度挖掘模型，理解突破本質(zhì)

“阿氏圓”模型是隱含在數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典模型，深入探究模型結(jié)構(gòu)、總結(jié)破解方法有助于整合教材資源，強(qiáng)化學(xué)生對教材定理、模型的理解. “阿氏圓”模型是基于圓的性質(zhì)、母子型相似模型和兩點(diǎn)之間線段最短定理所構(gòu)建的一種特殊的動(dòng)點(diǎn)最值模型，教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型特點(diǎn)，挖掘模型結(jié)構(gòu)，把握模型條件，歸納模型結(jié)論，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ徒馕龅臉?gòu)建過程，把握模型相似變換的數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成對模型的深刻認(rèn)識(shí).

2. 適度延伸拓展，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)的思維方式是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，在“阿氏圓”模型的探究及應(yīng)用過程中，學(xué)生對相似變換和共線定理有了更為深刻的領(lǐng)悟，能夠準(zhǔn)確地辨析模型，理解模型，用模型的特征規(guī)律來探究問題. 實(shí)際上，“阿氏圓”模型并不是一個(gè)單純的幾何模型，而是眾多數(shù)學(xué)定理、定義、規(guī)律、方法的融合，對其適度拓展可形成新的問題模型. 例如，上述基于平面直角坐標(biāo)系將其與拋物線相關(guān)聯(lián)，形成了函數(shù)與幾何背景下的“阿氏圓”模型，這也是中考命題的新趨勢. 因此，探究模型時(shí)，需要基于知識(shí)關(guān)聯(lián)拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系拋物線的性質(zhì)特征來挖掘“阿氏圓”，形成新問題的解析策略，拓展學(xué)生的思維方式.

3. 滲透思想方法，提升核心素養(yǎng)

“阿氏圓”模型的突破，實(shí)則是相似轉(zhuǎn)化的過程. 在該過程中，通過截取線段、構(gòu)建相似模型，能將含參線段和問題轉(zhuǎn)化為一般的線段和問題，其中運(yùn)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和模型思想. 開展“阿氏圓”模型探究，不僅應(yīng)關(guān)注模型的解析思路，還應(yīng)立足模型的突破思想，從思想層面理解模型的本質(zhì)及意義，這也是初中數(shù)學(xué)模型探究教學(xué)的重要任務(wù). 因此，在模型探究時(shí)，應(yīng)合理滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和模型思想，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，深刻體會(huì)思想方法解析問題的過程，領(lǐng)悟思想與知識(shí)之間密不可分的關(guān)系，逐步提升學(xué)生的核心素養(yǎng).